上海市控江中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年上海市控江中學(xué)高三年級(jí)上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試卷2024.9一?填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，7-12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得0分.1.準(zhǔn)線方程是的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.2.若集合，則__________.3.函數(shù)的最小正周期為__________.4.已知事件與事件互斥，且，則__________.5.在四面體中，若底面的一個(gè)法向量，且，則定點(diǎn)到底面的距離為__________.6.計(jì)算：__________.7.一工廠生產(chǎn)了某種產(chǎn)品16800件，他們來自甲?乙?丙3條生產(chǎn)線，為檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣.已知甲?乙?丙3條生產(chǎn)線抽取的個(gè)體數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，則乙生產(chǎn)線生產(chǎn)了__________件產(chǎn)品.8.已知向量，向量，則向量在向量上的投影為__________.9.已知圓錐的母線與底面所成的角為，體積為，則圓錐的底面半徑為__________.10.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（是常數(shù)），則__________.11.已知復(fù)平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)，若，其中是虛數(shù)單位，則向量掃過的面積為__________.12.設(shè)是由正整數(shù)組成且項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列，滿足當(dāng)，都有，已知，則數(shù)列任意相鄰兩項(xiàng)的差的絕對(duì)值不超過1，若對(duì)于中任意序數(shù)不同的兩項(xiàng)和，在剩下的項(xiàng)中總存在序數(shù)不同的兩項(xiàng)和，使得，則的最小值為__________.二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13?14題每題4分，第15?16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13.如果，則下列不等式中一定成立的是（）A.B.C.D.14.函數(shù)在定義域上是（）A.嚴(yán)格增的奇函數(shù)B.嚴(yán)格增的偶函數(shù)C.嚴(yán)格減的奇函數(shù)D.嚴(yán)格減的偶函數(shù)15.教材在推導(dǎo)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式“（其中，）”的過程中，運(yùn)用了以下哪些結(jié)論作為推理的依據(jù)（）①向量坐標(biāo)的定義；②向量數(shù)量積的定義；③向量數(shù)量積的交換律；④向量數(shù)量積對(duì)數(shù)乘的結(jié)合律；⑤向量數(shù)量積對(duì)加法的分配律.A.①③④B.②④⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤16.已知棱長(zhǎng)均為1的正棱柱有個(gè)頂點(diǎn)，從中任取兩個(gè)頂點(diǎn)作為向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)，設(shè)底面的一條棱為.若集合，則當(dāng)中的元素個(gè)數(shù)最少時(shí)，的值為（）A.3B.4C.6D.8三?解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）記，其中為實(shí)常數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，求該函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.18.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）甲?乙兩人每下一盤棋，甲獲勝的概率是0.4，甲不輸?shù)母怕蕿?.9.（1）若甲?乙兩人下一盤棋，求他們下成和棋的概率；（2）若甲?乙兩人連下兩盤棋，假設(shè)兩盤棋之間的勝負(fù)互不影響，求甲至少獲勝一盤的概率.19.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）如圖，已知和都是直角梯形，，，二面角的平面角為.設(shè)分別為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為為雙曲線右支上一點(diǎn).（1）求雙曲線的離心率；（2）設(shè)過點(diǎn)和的直線與雙曲線的右支有另一交點(diǎn)為，求的取值范圍；（3）過點(diǎn)分別作雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為兩點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.21.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，判斷的單調(diào)性；（2）若在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若，任意，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2024—2025學(xué)年上海市控江中學(xué)高三年級(jí)上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試卷2024.9一?填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，7—12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得0分.1.【答案】【解析】拋物線的定義.2.【答案】【解析】解得，所以.3.【答案】2【解析】.4.【答案】0.7【解析】因?yàn)榛コ?，所?5.【答案】【解析】.6.【答案】2【解析】.7.【答案】5600【解析】設(shè)甲?乙?丙三條生產(chǎn)線分別生產(chǎn)件產(chǎn)品，則，解得.8.【答案】【解析】由公式可得向量在向量上的投影為.9.【答案】【解析】設(shè)底面半徑為，因?yàn)閳A錐的母線與底面所成的角為，所以圓錐的高所以，解得.10.【答案】【解析】，所以.11.【答案】【解析】由題意可得，對(duì)應(yīng)的區(qū)域是以為圓心，2為半徑圓以及內(nèi)部構(gòu)成的圓面，而向量掃過的面除了圓面以外還包括圓外的一部分，如圖所示，因此掃過的面積等于，與圓相切于兩點(diǎn)，所以，則，且，所以，所以掃過的面積等于.12.【答案】5454【解析】因?yàn)閿?shù)列任意相鄰兩項(xiàng)的差的絕對(duì)值不超過，所以，又是由正整數(shù)組成且項(xiàng)數(shù)為的增數(shù)列，所以或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，這與在剩下的項(xiàng)中總存在序數(shù)不同的兩項(xiàng)和，使得矛盾，所以，類似的，必有，由得前6項(xiàng)任意兩項(xiàng)之和小于等于3時(shí)，均符合，要最小，則每項(xiàng)盡可能小，且值要盡量小，則，同理，，當(dāng)中間各項(xiàng)為公差為1的等差數(shù)列時(shí)，可使得值最小，且滿足已知條件.由對(duì)稱性得最后6項(xiàng)為，則的最小值.二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13?14題每題4分，第15?16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13.【答案】D【解析】因?yàn)闉閲?yán)格增函數(shù)，所以，故選D.14.【答案】A【解析】令，則，所以為奇函數(shù)，又，為嚴(yán)格增函數(shù)，故選A.15.【答案】D【解析】向量的坐標(biāo)表示用了①，運(yùn)算用了②，用了③的展開運(yùn)算用了④⑤，其中為軸和軸的單位向量，故選D.16.【答案】B【解析】如圖，設(shè)所在的直線為軸，過點(diǎn)且與垂直的直線為軸，過點(diǎn)且與平面垂直的直線為，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，得，設(shè)，則，因?yàn)樵搸缀误w為正棱柱，所以上下底面的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，當(dāng)時(shí)，該幾何體為正三棱柱，做出底面的示意圖（圖一）則，所以，即，共5個(gè)元素當(dāng)，該幾何體為正方體，做出其底面的示意圖（圖二），則，所以，即，共3個(gè)元素，當(dāng)，該幾何體為正六棱柱，作出其底面的示意圖（圖三），則，所以，即，共9個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，該幾何體為正八棱柱，做出其底面的示意圖（圖四），則，所以，即，共9個(gè)元素，故選B.三?解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.【答案】（1）；（2）最大值1，最小值【解析】（1）所以，函數(shù)的最小正周期.（2）.令，則.當(dāng)或，即或時(shí)，.當(dāng)，即時(shí)，.18.【答案】（1）0.5；（2）0.64【解析】（1）用表示甲獲勝，用表示和棋，用表示甲不輸.所以.因?yàn)楹推迮c獲勝是互斥的，由概率的可加性，得.由題意，，因此.所以，甲?乙兩人下一盤棋，他們下成和棋的概率為0.5（2）用分別表示甲在第局獲勝，用分別表示甲在第局平，用分別表示甲在第局輸.則.用表示甲?乙兩人連下兩盤棋，甲至少獲勝一盤.則包含下列5種情況：，則.所以，若甲?乙兩人連下兩盤棋，甲至少獲勝一盤的概率為0.64.19.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）過點(diǎn)分別做直線的垂線并分別交于點(diǎn).四邊形和都是直角梯形，，，由平面幾何知識(shí)易知，，則四邊形和四邊形是矩形，在和，，且，平面是二面角的平面角，則，是正三角形，由平面，得平面平面，是的中點(diǎn)，，又平面平面，可得，而平面，而平面.（2）因?yàn)槠矫?，過點(diǎn)做平行線，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，?所在直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為由，得，取，設(shè)直線與平面所成角為，20.【答案】（1）2；（2）；（3）不存在，見解析【解析】（1）由題，，因此雙曲線的離心率為（2）法一：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線為，則得，此時(shí)當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，設(shè)則聯(lián)立方程得：.則由題意得，因而的取值范圍為法二：由題意，直線不與軸重合，因而設(shè)方程為：，設(shè)則聯(lián)立方程得：由題意，直線與雙曲線恒有交點(diǎn)，且交點(diǎn)均在右支上，則，由，得，因而的取值范圍為（3）由題，漸近線方程為，設(shè)點(diǎn)則（點(diǎn)到直線距離公式給2分，絕對(duì)值轉(zhuǎn)化2分）因而不存在點(diǎn)，使得成