2023-2024學年北師大版（2019）高一數學必修第二冊第6章5.2 平面與平面垂直（第一課時 二面角）教學設計

2023-2024學年北師大版（2019）高一數學必修第二冊第6章5.2平面與平面垂直（第一課時二面角）教學設計學校授課教師課時授課班級授課地點教具教學內容本節(jié)課的教學內容來自于2023-2024學年北師大版（2019）高一數學必修第二冊第6章5.2節(jié)“平面與平面垂直（第一課時二面角）”。本節(jié)課主要介紹了二面角的概念及其性質，以及如何利用二面角判斷平面與平面是否垂直。具體內容包括：

1.二面角的定義：通過兩個相交平面的交線，將空間劃分為四個區(qū)域，其中一個區(qū)域稱為二面角的內部，其余三個區(qū)域稱為二面角的外部。

2.二面角的性質：二面角的內部是一條直線，二面角的外部是由兩條直線組成的角。在二面角的內部，任意一條直線都與二面角的兩個平面垂直。

3.平面與平面垂直的判斷：若兩個平面的法向量互相垂直，則這兩個平面垂直。

4.二面角的計算：利用空間向量求解二面角的余弦值。

本節(jié)課的內容是學生空間幾何知識體系的重要組成部分，為后續(xù)學習立體幾何其他內容奠定基礎。核心素養(yǎng)目標本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標為空間想象、邏輯推理和數學運算。通過學習二面角的概念和性質，學生能夠建立空間幾何直觀，培養(yǎng)空間想象能力；通過分析平面與平面垂直的判斷方法，學生能夠提升邏輯推理能力；通過計算二面角的余弦值，學生能夠增強數學運算能力。同時，通過小組討論和探究活動，培養(yǎng)學生的合作交流意識和問題解決能力。教學難點與重點1.教學重點

-二面角的定義與性質：理解二面角是由兩個相交平面的交線所劃分的空間區(qū)域，掌握二面角的內部和外部的特征。

-平面與平面垂直的判斷：學習如何利用二面角來判斷兩個平面是否垂直，掌握垂直平面的性質。

-二面角的計算：學會使用空間向量來求解二面角的余弦值，理解向量在空間幾何中的應用。

2.教學難點

-二面角的概念理解：學生可能難以直觀理解二面角是由兩個相交平面的交線所劃分的空間區(qū)域，難以想象二面角的內部和外部。

-平面與平面垂直的判斷：學生可能難以理解如何利用二面角來判斷兩個平面是否垂直，以及如何應用垂直平面的性質。

-二面角的計算：學生可能對空間向量的應用不熟悉，難以掌握如何使用空間向量來求解二面角的余弦值。

針對以上難點，教師可以通過實物模型、動畫演示、圖形繪制等方式幫助學生直觀理解二面角的概念；通過實際例題和練習題，引導學生應用二面角的性質判斷平面與平面是否垂直；通過步驟分明的講解和練習，引導學生掌握使用空間向量計算二面角的方法。教學方法與手段1.教學方法

-引導探究法：通過提出問題，引導學生主動探索二面角的定義和性質，激發(fā)學生的思考和探究興趣。

-案例教學法：通過分析實際案例，讓學生學會如何利用二面角判斷平面與平面是否垂直，提高學生的應用能力。

-小組合作法：組織學生進行小組討論和合作交流，培養(yǎng)學生的團隊合作意識和問題解決能力。

2.教學手段

-多媒體演示：利用多媒體設備展示二面角的模型和實例，讓學生更直觀地理解二面角的概念和性質。

-幾何畫板軟件：利用幾何畫板軟件繪制二面角的圖形，讓學生直觀地觀察和操作二面角，增強學生的空間想象力。

-在線教學平臺：利用在線教學平臺進行課堂互動和練習，提高學生的學習興趣和主動性，及時鞏固所學知識。教學實施過程1.課前自主探索

教師活動：

-發(fā)布預習任務：通過在線平臺或班級微信群，發(fā)布預習資料，包括本節(jié)課的PPT、相關視頻和文檔，明確預習目標和要求。

-設計預習問題：圍繞“二面角”的概念和性質，設計一系列具有啟發(fā)性和探究性的問題，引導學生自主思考。

-監(jiān)控預習進度：利用在線平臺功能或學生反饋，監(jiān)控學生的預習進度，確保預習效果。

學生活動：

-自主閱讀預習資料：學生按照預習要求，自主閱讀預習資料，理解二面角的概念和性質。

-思考預習問題：學生針對預習問題進行獨立思考，記錄自己的理解和疑問。

-提交預習成果：學生將預習成果（如筆記、思維導圖、問題等）提交至平臺或老師處。

教學方法/手段/資源：

-自主學習法：教師引導學生自主思考，培養(yǎng)自主學習能力。

-信息技術手段：利用在線平臺、微信群等，實現預習資源的共享和監(jiān)控。

作用與目的：

-幫助學生提前了解本節(jié)課的主題，為課堂學習做好準備。

-培養(yǎng)學生的自主學習能力和獨立思考能力。

2.課中強化技能

教師活動：

-導入新課：教師通過故事、案例或視頻等方式，引出二面角的概念，激發(fā)學生的學習興趣。

-講解知識點：教師詳細講解二面角的概念和性質，結合實例幫助學生理解。

-組織課堂活動：教師設計小組討論、實驗等活動，讓學生在實踐中掌握二面角的性質。

-解答疑問：教師針對學生在學習中產生的疑問，進行及時解答和指導。

學生活動：

-聽講并思考：學生認真聽講，積極思考老師提出的問題。

-參與課堂活動：學生積極參與小組討論、實驗等活動，體驗二面角的性質。

-提問與討論：學生針對不懂的問題或新的想法，勇敢提問并參與討論。

教學方法/手段/資源：

-講授法：教師通過詳細講解，幫助學生理解二面角的概念和性質。

-實踐活動法：教師設計實踐活動，讓學生在實踐中掌握二面角的性質。

-合作學習法：通過小組討論等活動，培養(yǎng)學生的團隊合作意識和溝通能力。

作用與目的：

-幫助學生深入理解二面角的概念和性質，掌握相關技能。

-通過實踐活動，培養(yǎng)學生的動手能力和解決問題的能力。

-通過合作學習，培養(yǎng)學生的團隊合作意識和溝通能力。

3.課后拓展應用

教師活動：

-布置作業(yè)：教師根據本節(jié)課的內容，布置適量的課后作業(yè)，鞏固學習效果。

-提供拓展資源：教師提供與二面角相關的拓展資源，供學生進一步學習。

-反饋作業(yè)情況：教師及時批改作業(yè)，給予學生反饋和指導。

學生活動：

-完成作業(yè)：學生認真完成老師布置的課后作業(yè)，鞏固學習效果。

-拓展學習：學生利用老師提供的拓展資源，進行進一步的學習和思考。

-反思總結：學生對自己的學習過程和成果進行反思和總結，提出改進建議。

教學方法/手段/資源：

-自主學習法：教師引導學生自主完成作業(yè)和拓展學習。

-反思總結法：教師引導學生對自己的學習過程和成果進行反思和總結。

作用與目的：

-鞏固學生在課堂上學到的二面角知識點和相關技能。

-通過拓展學習，拓寬學生的知識視野和思維方式。

-通過反思總結，幫助學生發(fā)現自己的不足并提出改進建議，促進自我提升。學生學習效果1.知識與技能：

-學生能夠準確地定義二面角，并理解其性質。

-學生能夠掌握判斷兩個平面是否垂直的方法，并能夠運用到實際問題中。

-學生能夠運用空間向量計算二面角的余弦值，增強空間幾何問題的解決能力。

2.過程與方法：

-學生通過自主探索和小組合作，培養(yǎng)了獨立思考和合作交流的能力。

-學生通過實踐操作和問題解決，提高了空間想象和邏輯推理的能力。

-學生學會了如何利用已知條件和數學原理來解決問題，培養(yǎng)了問題解決的能力。

3.情感態(tài)度與價值觀：

-學生在解決數學問題的過程中，體驗到了數學的邏輯性和美感，增強了學習數學的興趣。

-學生通過克服學習中的困難，培養(yǎng)了堅持不懈和自信樂觀的品質。

-學生學會了如何與他人合作，培養(yǎng)了團隊精神和互助合作的意識。作業(yè)布置與反饋1.作業(yè)布置

-布置作業(yè)時，要根據本節(jié)課的教學內容和目標，設計具有針對性和實效性的作業(yè)。例如，可以布置一些有關二面角定義和性質的應用題，讓學生通過解決問題來鞏固所學知識。

-作業(yè)量要適中，避免過多或過少。過多會讓學生感到壓力，過少則不能達到鞏固知識的目的。

-作業(yè)難度要適中，太難或太簡單的作業(yè)都不能有效提高學生的能力?？梢栽O計一些需要學生運用所學知識進行推理和計算的題目，以提高學生的邏輯推理和數學運算能力。

-作業(yè)要求學生獨立完成，培養(yǎng)學生的自主學習能力。同時，可以鼓勵學生相互討論和交流，促進學生之間的合作和互助。

2.作業(yè)反饋

-及時批改學生的作業(yè)，并及時給予反饋。在批改作業(yè)時，要注意學生的解題思路和方法，找出存在的問題并及時指出。

-在反饋時，要具體、明確地告訴學生他們的錯誤所在，并給出改進的建議。例如，如果學生在解題過程中使用了錯誤的公式，要明確告訴他們正確的公式是什么，并解釋為什么這個公式是正確的。

-鼓勵學生提問和答疑。如果學生在作業(yè)中遇到問題，可以鼓勵他們課堂上提出疑問，或者通過微信、QQ等在線方式進行咨詢。

-定期總結學生在作業(yè)中普遍存在的問題，并在課堂上進行講解和復習，以提高學生的學習效果。板書設計一、二面角的定義與性質

1.二面角的定義：由兩個相交平面的交線所劃分的空間區(qū)域

2.二面角的內部和外部：內部是一條直線，外部是由兩條直線組成的角

3.二面角的性質：二面角的內部任意一條直線都與二面角的兩個平面垂直

二、平面與平面垂直的判斷

1.利用二面角判斷平面與平面是否垂直

2.垂直平面的性質：法向量互相垂直

三、二面角的計算

1.利用空間向量求解二面角的余弦值

2.向量在空間幾何中的應用

四、作業(yè)布置

1.有關二面角定義和性質的應用題

2.需要學生運用所學知識進行推理和計算的題目

五、作業(yè)反饋

1.及時批改學生的作業(yè)，及時給予反饋

2.指出存在的問題，給出改進建議

3.定期總結學生在作業(yè)中普遍存在的問題，并在課堂上進行講解和復習

六、板書設計藝術性和趣味性

1.使用圖形、顏色和符號來增加板書的吸引力

2.通過簡潔明了的語言和概括性的表達來突出重點

3.增加一些與教學內容相關的趣味元素，如漫畫、故事等，激發(fā)學生的學習興趣和主動性課后作業(yè)1.請根據二面角的定義和性質，判斷以下兩個平面是否垂直，并說明理由。

①平面ABC與平面DEF相交于直線AB，平面ABC的法向量為a，平面DEF的法向量為b，且a與b垂直。

②平面ABC與平面DEF相交于直線AB，直線AB與平面ABC的法向量a垂直，與平面DEF的法向量b垂直。

2.請計算以下二面角的余弦值。

①二面角α的內部為直線l，平面β的法向量為v1，平面γ的法向量為v2，且l與v1垂直，l與v2垂直。

②二面角α的內部為直線l，平面β的法向量為v1，平面γ的法向量為v2，且l與v1平行，l與v2平行。

3.請說明以下兩個平面是否垂直，并給出證明。

①平面ABC與平面DEF相交于直線AB，直線AB與平面ABC的法向量a垂直，與平面DEF的法向量b垂直。

②平面ABC與平面DEF相交于直線AB，平面ABC的法向量為a，平面DEF的法向量為b，且a與b垂直。

4.請根據二面角的性質，計算以下二面角的余弦值。

①二面角α的內部為直線l，平面β的法向量為v1，平面γ的法向量為v2，且l與v1垂直，l與v2垂直。

②二面角α的內部為直線l，平面β的法向量為v1，平面γ的法向量為v2，且l與v1平行，l與v2平行。

5.請判斷以下兩個平面是否垂直，并說明理由。

①平面ABC與平面DEF相交于直線AB，直線AB與平面ABC的法向量a垂直，與平面DEF的法向量b垂直。

②平面ABC與平面DEF相交于直線AB，平面ABC的法向量為a，平面DEF的法向量為b，且a與b垂直。

答案：

1.①垂直，因為平面ABC的法向量a與平面DEF的法向量b垂直，根據平面與平面垂直的性質，如果兩個平面的法向量垂直，則這兩個平面垂直。

②垂直，因為直線AB與平面ABC的法向量a垂直，與平面DEF的法向量b垂直，根據二面角的性質，二面角的內部任意一條直線都與二面角的兩個平面垂直。

2.①二面角α的余弦值為0，因為直線l與平面β的法向量v1垂直，與平面γ的法向量v2垂直，根據二面角的性質，二面角的內部任意一條直線都與二面角的兩個平面垂直。

②二面角α的余弦值為1，因為直線l與平面β的法向量v1平行，與平面γ的法向量v2平行，根據二面角的性質，二面角的內部任意一條直線都與二面角的兩個平面平行。

3.①垂直，因為直線AB與平面ABC的法向量a垂直，與平面DEF的法向量b垂直，根據二面角的性質，二面角的內部任意一條直線都與二面角的兩個平面垂直。

②垂直，因為平面ABC的法向量a與平面DEF的法向量b垂直，根據平面與平面垂直的性質，如果兩個平面的法向量垂直，則這兩個平面垂直。

4.①二面角α的余弦值為0，因為直線l與平面β的法向量v1垂直，