第1章一元二次方程（典型例題與跟蹤訓(xùn)練）-2024-2025學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第1章一元二次方程（典型例題與跟蹤訓(xùn)練）-數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)蘇科版典型例題典型例題1．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為、，且，求m的值．2．社區(qū)利用一塊矩形空地修建了一個(gè)小型停車場(chǎng)，其布局如圖所示．已知，，，陰影部分設(shè)計(jì)為停車位，要鋪花磚，其余部分均為寬度為的道路．已知鋪花磚的面積為．(1)求道路的寬是多少？(2)該停車場(chǎng)共有車位30個(gè)，據(jù)調(diào)查分析，當(dāng)每個(gè)車位的月租金為400元時(shí)，可全部租出．若每個(gè)車位的月租金每上漲5元，就會(huì)少租出1個(gè)車位．求當(dāng)每個(gè)車位的月租金上漲多少元時(shí)，停車場(chǎng)的月租金收入為10920元．精選好題精選好題一、單選題1．若，，為實(shí)數(shù)，則與的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．的大小關(guān)系與的取值有關(guān)2．已知m，n是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值（

）A． B．3 C．1 D．3．將一元二次方程化為一般形式為（

）．A． B．C． D．4．對(duì)于一元二次方程，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家還研究過其幾何解法．以方程為例加以說(shuō)明．?dāng)?shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方注》中記載的方法是：如圖，將四個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形紙片拼成一個(gè)大正方形，則大正方形的邊長(zhǎng)是，面積是四個(gè)矩形的面積與中間小正方形的面積之和，即，據(jù)此易得．小明用此方法解關(guān)于的方程，其中構(gòu)造出同樣的圖形，已知小正方形的面積為，則的值為（）A． B． C． D．5．已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是（

）A．2017 B．2018 C．2022 D．20246．某工廠一月份的產(chǎn)值是萬(wàn)元，之后每個(gè)月產(chǎn)值的平均增長(zhǎng)率為，已知第一季度的總產(chǎn)值是萬(wàn)元．為了求出，下列方程正確的是（

）A． B．C． D．7．若一個(gè)直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)和斜邊長(zhǎng)分別是方程的兩根，則該直角三角形的面積為（

）A．12 B．10 C． D．68．對(duì)于關(guān)于的方程，下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解B．當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解C．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解D．當(dāng)時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解二、填空題9．若關(guān)于的方程一個(gè)根是1，則另一根為．10．已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則a的值為．11．已知某小區(qū)的房?jī)r(jià)在兩年內(nèi)從每平方米萬(wàn)元上漲到每平方米萬(wàn)元，設(shè)該小區(qū)房?jī)r(jià)平均每年增長(zhǎng)的百分率為，根據(jù)題意可列方程為．12．據(jù)權(quán)威部門發(fā)布的消息，2019年第一季度安徽省城鎮(zhèn)居民人均可支配收入約為萬(wàn)元，若第三季度安徽省城鎮(zhèn)居民人均可支配收人為y萬(wàn)元，平均每個(gè)季度城鎮(zhèn)居民人均可支配收入增長(zhǎng)的百分率為x，則y與x之間的函數(shù)表達(dá)式是．13．的三邊a，b，c的長(zhǎng)度是的解，則的周長(zhǎng)是．14．如圖，一塊長(zhǎng)方形綠地長(zhǎng)，寬，在綠地中開辟三條道路后，綠地面積縮小到原來(lái)的，則可列方程為．15．如圖，一個(gè)菱形兩條對(duì)角線長(zhǎng)的和是，面積是．設(shè)，則，根據(jù)題意可列方程為．16．下列圖形都是由完全相同的圓點(diǎn)“●”和五角星“★”按一定規(guī)律組成的．已知第個(gè)圖形中有個(gè)“●”和個(gè)“★”，第個(gè)圖形中有個(gè)“●”和個(gè)“★”，第個(gè)圖形中有個(gè)“●”和個(gè)“★”，，則第個(gè)圖形中“★”的個(gè)數(shù)是“●”的個(gè)數(shù)的倍．三、解答題17．解一元二次方程：(1)(2)18．已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：此一元二次方程總有實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，若為整數(shù)，求整數(shù)的值．19．甲和乙工程隊(duì)同時(shí)施工合修一段長(zhǎng)度為米的公路，原計(jì)劃甲工程隊(duì)與乙工程隊(duì)的人數(shù)比為，且甲工程隊(duì)每人每天可修20米，乙工程隊(duì)每人每天可修10米．修筑了天后，施工進(jìn)行調(diào)整，從甲隊(duì)抽調(diào)了a名工人到乙隊(duì)，抽調(diào)后甲、乙兩隊(duì)人數(shù)比為且甲工程隊(duì)每人每天比原來(lái)多修，乙工程隊(duì)每人每天比原來(lái)多修，結(jié)果比原計(jì)劃提前10天完成任務(wù)，求a的值．20．為美化市容，改善居民生活環(huán)境，區(qū)政府投入總資金9400萬(wàn)元修建一個(gè)游園．為使游園早日造福于市民，承建單位經(jīng)預(yù)算拿出總資金用于購(gòu)買某種名貴成樹進(jìn)行綠化．施工中，第一次用16萬(wàn)元從某林場(chǎng)購(gòu)回若干棵；后經(jīng)了解該林場(chǎng)出售此種名貴成樹有優(yōu)惠條件：即購(gòu)買20萬(wàn)元以上者每棵樹優(yōu)惠40元，于是承建單位第二次將預(yù)算購(gòu)買名貴成樹的余下資金一次投入，因此比第一次多購(gòu)買回200棵該種成樹，問承建單位兩次共購(gòu)回這種名貴成樹多少棵？21．某網(wǎng)店為滿足航空航天愛好者的需求，推出了“中國(guó)空間站”模型．己知該模型平均每天可售出20個(gè)，每個(gè)盈利40元．為了擴(kuò)大銷售，該網(wǎng)店準(zhǔn)備適當(dāng)降價(jià)，經(jīng)過一段時(shí)間測(cè)算，每個(gè)模型每降低1元，平均每天可以多售出2個(gè)．(1)若每個(gè)模型降價(jià)4元，平均每天可以售出多少個(gè)模型？此時(shí)每天獲利多少元？(2)在每個(gè)模型盈利不少于25元的前提，要使“中國(guó)空間站”模型每天獲利1200元，每個(gè)模型應(yīng)降價(jià)多少元？答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)典型例題答案1．(1)且(2)的值為【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程，完全平方公式的變形求值，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、一元二次方程根的判別式得出、，進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，，再由完全平方公式的變形得到，由此解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，，即，解得，∴且；（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系，得，，∵，∴，，，∴或，解得（且，故舍去），，∴的值為．2．(1)6m(2)20元【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程是解題關(guān)鍵．（1）由題意知，道路的寬為米，根據(jù)矩形的面積公式列出方程并解答即可；（2）設(shè)車位的月租金上漲元，則租出的車位數(shù)量是個(gè)，根據(jù)：月租金每個(gè)車位的月租金車位數(shù)，列出方程并解答即可．【詳解】（1）解：由題意得，整理得：，解得：（舍去），，答：道路的寬為米．（2）解：設(shè)當(dāng)每個(gè)車位的月租金上漲a元時(shí)，停車場(chǎng)的月租金收入為10920元，根據(jù)題意得，，整理得，，解得或（舍去）．答：當(dāng)每個(gè)車位的月租金上漲20元時(shí)，停車場(chǎng)的月租金收入為10920元．精選好題答案參考答案：題號(hào)12345678答案AABCADDC1．A【分析】本題考查了整式的加減，配方法的應(yīng)用．直接利用整式的加減運(yùn)算法則結(jié)合偶次方的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴．故選：A．2．A【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，，代入整理后的代數(shù)式，即可求解．【詳解】解：∵m，n是一元二次方程的兩個(gè)根，∴，，∴，故選：A．3．B【分析】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，解題的關(guān)鍵是移項(xiàng)得到一般式．【詳解】解：一元二次方程化為一般形式為，故選：B．4．C【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，仿照題干，正確理解一元二次方程的幾何解法是解題關(guān)鍵．參照已知方法，將四個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形紙片拼成一個(gè)大正方形，求出大正方形的邊長(zhǎng)為10，得到，再根據(jù)小正方形的邊長(zhǎng)為，小正方形的邊長(zhǎng)的面積是4，求出，即可得到的值．【詳解】解：由題意可知，將四個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形紙片拼成一個(gè)大正方形，則大正方形的邊長(zhǎng)是，面積是四個(gè)矩形的面積與中間小正方形的面積之和，∵，小正方形的面積為，∴大正方形的面積為，∴大正方形的邊長(zhǎng)為，∴，∴，∵小正方形的邊長(zhǎng)為，即，∵，即，故，∴，∵，∴，∴，故選：C．5．A【分析】本題考查了一元二次方程根的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的解得出，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，代入代數(shù)式即可求解．【詳解】解：∵、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，．∵、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，．故選：．6．D【分析】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用.每個(gè)月產(chǎn)值的平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)一月份的產(chǎn)值是萬(wàn)元，表示之后兩個(gè)月的產(chǎn)值，根據(jù)已知第一季度的總產(chǎn)值是萬(wàn)元列方程即可.【詳解】解：每個(gè)月產(chǎn)值的平均增長(zhǎng)率為，則二月份產(chǎn)值為，三月份產(chǎn)值為，則故選：D7．D【分析】本題考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，先利用因式分解法解方程得到三角形的兩條邊長(zhǎng)分別3、5，再計(jì)算出第三邊長(zhǎng)為4，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算該三角形的面積．【詳解】解：，，或，所以，，即三角形的兩條邊長(zhǎng)分別3、5，所以第三邊長(zhǎng)為，所以該三角形的面積．故選：D．8．C【分析】此題考查了一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根的判別式．當(dāng)時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根．【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，方程為，解得x=1，方程有解，原說(shuō)法錯(cuò)誤；B、當(dāng)時(shí)，方程為，，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，原說(shuō)法錯(cuò)誤；C、當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，說(shuō)法正確；D、當(dāng)時(shí)，，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，原說(shuō)法錯(cuò)誤；故選C．9．【分析】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，即可得到答案．【詳解】解：由題意得：，關(guān)于的方程一個(gè)根是1，，故答案為：．10．【分析】本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程的根與的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．由根與學(xué)生的關(guān)系可得，再進(jìn)一步解答可得答案．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，即，解得．故答案為．11．【分析】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用之增長(zhǎng)降低率問題，一般的，若設(shè)變化前的量為，變化后的量為，平均變化率為，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為：．根據(jù)相等關(guān)系：平均每年增長(zhǎng)的百分率即可列出方程．即可列出方程．【詳解】解：根據(jù)題意，得：．故答案為：．12．【分析】本題考查了根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，第一季度安徽省城鎮(zhèn)居民人均可支配收入約為萬(wàn)元，第二季度安徽省城鎮(zhèn)居民人均可支配收入是元，第三季度安徽省城鎮(zhèn)居民人均可支配收人為元，則函數(shù)解析式即可求得．【詳解】解：平均每個(gè)季度城鎮(zhèn)居民人均可支配收入增長(zhǎng)的百分率為x，根據(jù)題意可得：y與x之間的函數(shù)關(guān)系為：故答案為：13．3或18或13【分析】本題考查了解一元二次方程和三角形的三邊關(guān)系定理，能求出符合的所有情況是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，解得：，①當(dāng)三角形的三邊為1，1，1，此時(shí)符合三角形的三邊關(guān)系定理，能組成三角形，此時(shí)三角形的周長(zhǎng)是；②當(dāng)三角形的三邊為6，6，6，此時(shí)符合三角形的三邊關(guān)系定理，能組成三角形，此時(shí)三角形的周長(zhǎng)是；③當(dāng)三角形的三邊為1，1，6，此時(shí)不符合三角形的三邊關(guān)系定理，不能組成三角形；④當(dāng)三角形的三邊為1，6，6，此時(shí)符合三角形的三邊關(guān)系定理，能組成三角形，此時(shí)三角形的周長(zhǎng)是；所以三角形的周長(zhǎng)是3或18或13，故答案為3或18或13．14．【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意，找到等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖知，綠地面積等于原來(lái)綠地面積減道路面積列出方程即可．【詳解】解：由題意，得，故答案為：15．【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，由菱形兩條對(duì)角線長(zhǎng)的和是可得，再根據(jù)菱形的面積為可得，即可列出方程，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵菱形兩條對(duì)角線長(zhǎng)的和是，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是菱形，面積是，∴，∴故答案為：，．16．【分析】本題考查了規(guī)律型——圖形的變化類，解一元二次方程，根據(jù)圖形的變化尋找規(guī)律即可，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的變化尋找規(guī)律，總結(jié)規(guī)律及掌握解一元二次方程．【詳解】解：由第個(gè)圖形中有個(gè)“●”和個(gè)“★”，第個(gè)圖形中有個(gè)“●”和個(gè)“★”，第個(gè)圖形中有個(gè)“●”和個(gè)“★”，，∴第個(gè)圖形中有個(gè)“●”和個(gè)“★”，∵圖形中“★”的個(gè)數(shù)是“●”的個(gè)數(shù)的倍，∴，解得：，（舍去），故答案為：．17．(1)，；(2)【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握公式法和因式分解法是解題的關(guān)鍵．（1）用公式法求解；（2）因式分解法求解．【詳解】（1）解：由題意可知:，∴，∴原方程的解為：，；（2）解：，∴或，解得或，∴原方程的解為：．18．(1)見解析(2)或4或6【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握公式：①方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③方程沒有實(shí)數(shù)根；④．（1）根據(jù)根的判別式，即可證明出方程總有實(shí)數(shù)根；（2）利用根與系數(shù)關(guān)系求出，從而列出關(guān)于的式子，根據(jù)為整數(shù)即得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：．無(wú)論為何實(shí)數(shù)，總有；即：，一元二次方程總有實(shí)數(shù)根．（2）解：據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，，為整數(shù)，且為整數(shù)．，，或2或6或0．又，或4或6．19．a(chǎn)的值為20【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程（分式方程）是解題的關(guān)鍵．設(shè)原計(jì)劃甲工程隊(duì)有人，則乙工程隊(duì)有人，由抽調(diào)后甲、乙兩隊(duì)人數(shù)比為可求出，利用工作時(shí)間工作總量工作效率可求出原計(jì)劃的工作時(shí)間，由抽調(diào)后比原計(jì)劃提前10天完成任務(wù)，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃甲工程隊(duì)有人，則乙工程隊(duì)有人，依題意得：，解得：，原計(jì)劃的工作時(shí)間為（天．抽調(diào)后比原