高中數(shù)學(xué) 2-3 2.2 第2課時事件的獨立性同步測試 新人教B版選修2-3

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)2-32.2第2課時事件的獨立性同步測試新人教B版選修2-3一、選擇題1．若事件P與Q相互獨立，則P與eq\x\to(Q)、eq\x\to(P)與Q、eq\x\to(P)與eq\x\to(Q)相互獨立的對數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]D2．設(shè)A與B是相互獨立事件，則下列命題中正確的命題是()A．A與B是對立事件B．A與B是互斥事件C.eq\x\to(A)與eq\x\to(B)不相互獨立D．A與eq\x\to(B)是相互獨立事件[答案]D3．甲、乙兩水文站同時作水文預(yù)報，如果甲站、乙站各自預(yù)報的準(zhǔn)確率為0.8和0.7，那么，在一次預(yù)報中，甲、乙預(yù)報都準(zhǔn)確的概率為()A．0.7 B．0.56C．0.64 D．0.8[答案]B[解析]由題意可知，甲、乙兩站的預(yù)報準(zhǔn)確率是相互獨立的，故所求事件的概率P＝0.8×0.7＝0.56.4．在某道路A、B、C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開放綠燈的時間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車在這個道路上勻速行駛，則三處都不停車的概率為()A.eq\f(35,192) B．eq\f(25,192)C.eq\f(35,576) D．eq\f(21,192)[答案]A[解析]由題意知每個交通燈開放綠燈的概率分別為eq\f(5,12)、eq\f(7,12)、eq\f(3,4).∴所求概率P＝eq\f(5,12)×eq\f(7,12)×eq\f(3,4)＝eq\f(35,192).故選A.5．甲、乙兩人同時報考某一所大學(xué)，甲被錄取的概率為0.6，乙被錄取的概率為0.7，兩人是否被錄取互不影響，則其中至少有一人被錄取的概率為()A．0.12 B．0.42C．0.46 D．0.88[答案]D[解析]由題意知，甲、乙都不被錄取的概率為(1－0.6)(1－0.7)＝0.12.∴至少有一人被錄取的概率為1－0.12＝0.88.故選D.6．從某地區(qū)的兒童中挑選體操學(xué)員，已知兒童體型合格的概率為eq\f(1,5)，身體關(guān)節(jié)構(gòu)造合格的概率為eq\f(1,4).從中任挑一兒童，這兩項至少有一項合格的概率是(假定體型與身體關(guān)節(jié)構(gòu)造合格與否相互之間沒有影響)()A.eq\f(13,20) B．eq\f(1,5)C.eq\f(1,4) D．eq\f(2,5)[答案]D[解析]設(shè)體型合格為事件A，關(guān)節(jié)構(gòu)造合格為事件B，A與B為獨立事件，且P(A)＝eq\f(1,5)，P(B)＝eq\f(1,4)，所以兩項中至少一項合格的概率為P＝1－P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(4,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(2,5).故選D.7．打靶時，甲每次打10次，可中靶8次；乙每次打10次，可中靶7次．若兩人同時射擊一個目標(biāo)，則它們都中靶的概率是()A.eq\f(3,5)B.eq\f(3,4)C.eq\f(12,25)D.eq\f(14,25)[答案]D[解析]由相互獨立事件概率公式得P＝0.8×0.7＝0.56＝eq\f(14,25).故選D.二、填空題8．加工某一零件需經(jīng)過三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為eq\f(1,70)、eq\f(1,69)、eq\f(1,68)，且各道工序互不影響，則加工出來的零件的次品率為__________．[答案]eq\f(3,70)[解析]本題考查獨立事件，對立事件有關(guān)概率的基本知識以及計算方法．設(shè)加工出來的零件為次品為事件A，則eq\x\to(A)為加工出來的零件為正品．P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－(1－eq\f(1,70))(1－eq\f(1,69))(1－eq\f(1,68))＝eq\f(3,70).9．有甲、乙、丙3批飲料，每批100箱，其中各有一箱是不合格的，從3批飲料中各抽出一箱，求：(1)恰有一箱不合格的概率____________；(2)至少有一箱不合格的概率____________．[答案](1)0.029(2)0.03[解析]記抽出“甲飲料不合格”為事件A，“乙飲料不合格”為事件B，“丙飲料不合格”為事件C，則P(A)＝0.01，P(B)＝0.01，P(C)＝0.01.(1)從3批飲料中，各抽取一箱，恰有一箱不合格的概率為P＝P(eq\x\to(A)BC)＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(ABeq\x\to(C))＝0.01×0.992＋0.01×0.992＋0.01×0.992≈0.029.(2)各抽出一箱都合格的概率為0.99×0.99×0.99≈0.97.所以至少有一箱不合格的概率為1－0.97≈0.03.三、解答題10．甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結(jié)束．設(shè)甲每次投籃投中的概率為eq\f(1,3)，乙每次投籃投中的概率為eq\f(1,2)，且各次投籃互不影響．(1)求乙獲勝的概率；(2)求投籃結(jié)束時乙只投了2個球的概率．[解析]設(shè)Ak，Bk分別表示甲、乙在第k次投籃投中，則P(Ak)＝eq\f(1,3)，P(Bk)＝eq\f(1,2)，(k＝1,2,3)．(1)記“乙獲勝”為事件C，由互斥事件有一個發(fā)生的概率與相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式知P(C)＝P(eq\x\to(A)1B1)＋P(eq\x\to(A)1eq\x\to(B)1eq\x\to(A)2B2)＋P(eq\x\to(A)1eq\x\to(B)1eq\x\to(A)2eq\x\to(B)2·eq\x\to(A)3B3)＝P(eq\x\to(A)1)P(B1)＋P(eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(B)1)P(eq\x\to(A)2)P(B2)＋P(eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(B)1)P(eq\x\to(A)2)P(eq\x\to(B)2)P(eq\x\to(A)3)P(B3)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋(eq\f(2,3))2(eq\f(1,2))2＋(eq\f(2,3))3(eq\f(1,2))3＝eq\f(13,27).(2)記“投籃結(jié)束時乙只投了2個球”為事件D，則由互斥事件有一個發(fā)生的概率與相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式知P(D)＝P(eq\x\to(A)1eq\x\to(B)1eq\x\to(A)2B2)＋P(eq\x\to(A)1eq\x\to(B)1eq\x\to(A)2eq\x\to(B)2A3)＝P(eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(B)1)P(eq\x\to(A)2)P(B2)＋P(eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(B)1)P(eq\x\to(A)2)·P(eq\x\to(B)2)P(A3)＝(eq\f(2,3))2(eq\f(1,2))2＋(eq\f(2,3))2(eq\f(1,2))2eq\f(1,3)＝eq\f(4,27).一、選擇題1．從甲口袋中摸出1個白球的概率為eq\f(1,3)，從乙口袋中摸出一個白球的概率為eq\f(1,4)，從兩個口袋中各摸出一球，那么eq\f(11,12)是()A．兩個球都是白球的概率B．兩個球都不是白球的概率C．兩個球恰有一個是白球的概率D．兩個球至少有一個不是白球的概率[答案]D2.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳躍時，均從一片荷葉跳到另一個荷葉)，而且逆時針方向跳的概率是順時針方向跳的概率的兩倍，如圖所示．假設(shè)現(xiàn)在青蛙在A荷葉上，則跳三次之后停在A荷葉上的概率是()A.eq\f(1,3) B．eq\f(2,9)C.eq\f(4,9) D．eq\f(8,27)[答案]A[解析]由已知逆時針跳一次的概率為eq\f(2,3)，順時針跳一次的概率為eq\f(1,3).則逆時針跳三次停在A上的概率為P1＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，順時針跳三次停在A上的概率為P2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,27).所以跳三次之后停在A上的概率為P＝P1＋P2＝eq\f(8,27)＋eq\f(1,27)＝eq\f(1,3).3．如圖，用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng)．當(dāng)K正常工作且A1、A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為()A．0.960 B．0.864C．0.720 D．0.576[答案]B[解析]本題考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算．系統(tǒng)正常工作，則元件K正常．A1，A2至少有一個正常．∴P＝P(K∩A1∩A2)＋P(K∩A1∩eq\o(A,\s\up6(－))2)＋P(K∩eq\o(A,\s\up6(－))1∩A2)＝0.9×0.8×0.8＋0.9×0.8×0.2＋0.9×0.2×0.8＝0.864.二、填空題4．甲、乙兩門高射炮同時向一敵機開炮，已知甲擊中敵機的概率為0.6，乙擊中敵機的概率為0.8，敵機被擊中的概率為________．[答案]0.92[解析]解法1：設(shè)“甲擊中敵機”為事件A，“乙擊中敵機”為事件B，由于事件A、B相互獨立，所以所求的概率為P＝P(A∩B)＋P(eq\x\to(A)∩B)＋P(A∩eq\x\to(B))＝P(A)·P(B)＋P(eq\x\to(A))·P(B)＋P(A)·P(eq\x\to(B))＝0.6×0.8＋0.4×0.8＋0.6×0.2＝0.92.解法2：利用對立事件的公式P＝1－P(eq\x\to(A)∩eq\x\to(B))＝1－P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝1－(1－0.6)(1－0.8)＝0.92.解法3：敵機被擊中為事件A∪B，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)＝0.6＋0.8－0.6×0.8＝0.92.5．(·湖南師大附中高二期中)某班有4位同學(xué)住在同一個小區(qū)，上學(xué)路上要經(jīng)過1個路口．假設(shè)每位同學(xué)在路口是否遇到紅燈是相互獨立的，且遇到紅燈的概率都是eq\f(1,3)，則最多1名同學(xué)遇到紅燈的概率是________．[答案]eq\f(16,27)[解析]P＝(eq\f(2,3))4＋Ceq\o\al(1,4)·(eq\f(1,3))·(eq\f(2,3))3＝eq\f(16,27).三、解答題6．在女子十米跳臺比賽中，已知甲、乙兩名選手發(fā)揮正常的概率分別為0.9,0.85，求(1)甲、乙兩名選手發(fā)揮均正常的概率；(2)甲、乙兩名選手至多有一名發(fā)揮正常的概率；(3)甲、乙兩名選手均出現(xiàn)失誤的概率．[解析]令事件A，B分別表示甲、乙兩名選手發(fā)揮正常，由題意可知，事件A，B相互獨立，且P(A)＝0.9，P(B)＝0.85.(1)兩名選手發(fā)揮均正常的概率P＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.9×0.85＝0.765.(2)對立事件為“甲、乙兩名選手發(fā)揮均正?！?，故所求事件的概率P＝1－P(AB)＝1－0.765＝0.235.(3)依題意可知，所求事件的概率P＝P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝(1－P(A))(1－P(B))＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015.7．甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題．規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才算合格．(1)分別求甲、乙兩人考試合格的概率；(2)求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率．[解析](1)設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，則P(A)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,4)＋C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(60＋20,120)＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2)＋C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(56＋56,120)＝eq\f(14,15).(2)解法1：因為事件A、B相互獨立，所以甲、乙兩人考試均不合格的概率為P(eq\x\to(A)·eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(14,15)))＝eq\f(1,45).所以甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為P＝1－P(eq\x\to(A)·eq\x\to(B))＝1－eq\f(1,45)＝eq\f(44,45).答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為eq\f(44,45).解法2：因為事件A、B相互獨立，所以甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為P＝P(A·eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)·B)＋P(A·B)＝P(A)·P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))·P(B)＋P(A)·P(B)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,15)＋eq\f(1,3)×eq\f(14,15)＋eq\f(2,3