2022-2023學(xué)年北京市東城區(qū)高一下學(xué)期期末統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市東城區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題.共10小題，每小題3分，共30分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知向量．若∥，則（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，且∥，所以，解?故選：D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由可得，.故選：B.3.某中學(xué)為了解在校高中學(xué)生的身高情況，在高中三個(gè)年級(jí)各隨機(jī)抽取了的學(xué)生，并分別計(jì)算了三個(gè)年級(jí)抽取學(xué)生的平均身高，數(shù)據(jù)如下表：年級(jí)高一高二高三抽樣人數(shù)363430平均身高則該校高中學(xué)生的平均身高可估計(jì)為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知：抽取的總?cè)藬?shù)為，各年級(jí)的頻率依次為，所以該校高中學(xué)生的平均身高可估計(jì)為.故選：C.4.已知圓錐的軸截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題知，如圖，為圓錐的軸截面，邊長(zhǎng)均為，則圓錐的高，底面半徑，故圓錐體積.故選：A.5.設(shè)為實(shí)數(shù)，若，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，，因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，解得.故選：B.6.將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)〖解析〗式為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，圖象向左平移個(gè)單位后，得，排除AB；由，C正確；由，D錯(cuò).故選：C.7.已知長(zhǎng)方形墻把地面上兩點(diǎn)隔開，該墻與地面垂直，長(zhǎng)10米，高3米．已測(cè)得米，米．現(xiàn)欲通過計(jì)算，能唯一求得兩點(diǎn)之間的距離，需要進(jìn)一步測(cè)量的幾何量可以為（）A.點(diǎn)到的距離 B.長(zhǎng)度和長(zhǎng)度C.和 D.長(zhǎng)度和〖答案〗D〖解析〗連接，在中，，，，所以，所以，，對(duì)于A，若測(cè)量點(diǎn)到的距離，則在或中只有一條邊長(zhǎng)度是已知，無(wú)法求解的長(zhǎng)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若測(cè)量長(zhǎng)度和長(zhǎng)度，則在中有兩邊長(zhǎng)度是已知，或中只有一條邊長(zhǎng)度是已知，無(wú)法求解的長(zhǎng)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若測(cè)量和，則在或中只有一條邊是已知，無(wú)法求解的長(zhǎng)，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若測(cè)量長(zhǎng)度和，則中，可求出，而，所以由余弦定理得，從而可求出，所以D正確.故選：D.8.設(shè)為非零向量，，則“夾角為鈍角”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由，平方得，即，又因?yàn)椋?，所以，所以?shī)A角為鈍角或平角，所以“夾角為鈍角”是“”的充分不必要條件.故選：A.9.如圖，直三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)．以下結(jié)論中正確的是（）A.存在點(diǎn)，使B.不存在點(diǎn)，使C.對(duì)任意點(diǎn)，都有D.存在點(diǎn)，使平面〖答案〗C〖解析〗A選項(xiàng)，由于平面，，平面，則一定異面，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，根據(jù)直三棱柱性質(zhì)，平面，平面，故，又，，平面，故平面，又平面，故，顯然，即，故重合時(shí)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，直棱柱的側(cè)面必是矩形，而，故矩形成為正方形，則，B選項(xiàng)已經(jīng)分析過，平面，由平面，故，又，平面，故平面，又平面，則必然成立，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，取中點(diǎn)，連接，根據(jù)棱柱性質(zhì)可知，和平行且相等，故平面可擴(kuò)展成平面，過作，垂足為，根據(jù)平面，平面，故，顯然，故，由，，平面，故平面，若平面，則，過作//，交于，連接，于是共面，又，平面，故平面，由于平面，故，延長(zhǎng)交于，易得//，則，而在線段上，這是不可能的，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.10.如圖，質(zhì)點(diǎn)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，的角速度大小為，起點(diǎn)為射線與的交點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：）的函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)樵趩挝粓A上的角速度大小為，起點(diǎn)為射線與的交點(diǎn)，所以，，所以動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：）的函數(shù)，由，得，因?yàn)?，所以，，，，所以?dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：s）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，，.故選：B.二、填空題.共5小題，每小題4分，共20分．11.已知，，則___________.〖答案〗1〖解析〗因?yàn)?故〖答案〗為：.12.在邊長(zhǎng)為的正方形中，為中點(diǎn)，則__________．〖答案〗〖解析〗由題知，.故〖答案〗為：.13.下表是某市6月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)統(tǒng)計(jì)表．由表判斷，從6月__________日開始，連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大．日期1234567891011121314空氣質(zhì)量指數(shù)6079905038263249486252383037〖答案〗3〖解析〗由表可知，第3天開始，連續(xù)三天的數(shù)據(jù)波動(dòng)最大，此時(shí)的方差最大.故〖答案〗為：3.14.已知為復(fù)數(shù)，且，寫出滿足上述條件的一個(gè)復(fù)數(shù)__________；的最大值為__________．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗（空1）時(shí)，符合題意；（空2）復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)一條向量，滿足向量的三角不等式，于是，解得.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.15.金剛石也被稱作鉆石，是天然存在的最硬的物質(zhì)，可以用來(lái)切割玻璃，也用作鉆探機(jī)的鉆頭．金剛石經(jīng)常呈現(xiàn)如圖所示的“正八面體”外形．正八面體由八個(gè)全等的等邊三角形圍成，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．下面給出四個(gè)結(jié)論：①平面；②平面平面；③過點(diǎn)存在唯一一條直線與正八面體的各個(gè)面所成角均相等；④以正八面體每個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正方體的棱長(zhǎng)是該正八面體棱長(zhǎng)的．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．〖答案〗①④〖解析〗對(duì)于①，根據(jù)正八面體性質(zhì)可知，，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，故①正確；對(duì)于②，如下圖所示，取中點(diǎn)，連接，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)可知，所以是二面角的平面角，設(shè)該正八面體棱長(zhǎng)為，則，，則在中，，所以，所以平面與平面不垂直，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，直線與正八面體的各個(gè)面所成角均相等，將其平移后使其過點(diǎn)，則過點(diǎn)至少存在兩條直線與正八面體的各個(gè)面所成角均相等，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，如下圖所示，取中點(diǎn)，的中心，連接，則即正方體的一條棱，設(shè)該正八面體棱長(zhǎng)為，則，，根據(jù)，，得，所以，所以以正八面體每個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正方體的棱長(zhǎng)是該正八面體棱長(zhǎng)的，故④正確.故〖答案〗為：①④.三、解答題.共5小題，共50分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過程．16.在中，角所對(duì)的邊為，．（1）求；（2）若，求的面積．解：（1）因?yàn)?，，在中，由正弦定理得，所以．?）因?yàn)?，，所以，在中，，根?jù)余弦定理得，整理得，解得或（舍），所以．17.某市舉辦“強(qiáng)國(guó)有我，愛我中華”科技知識(shí)競(jìng)賽，賽后將參賽的2000名學(xué)生成績(jī)分成4組：①，②，③，④，并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，公布了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）估計(jì)這2000名學(xué)生科技知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）；（2）某同學(xué)獲知自己的成績(jī)進(jìn)入本次競(jìng)賽成績(jī)前，估計(jì)該同學(xué)的成績(jī)不低于多少分？解：（1）因?yàn)?，所以這2000名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)可以估計(jì)為83.5．（2）因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)占總數(shù)的，該同學(xué)的成績(jī)進(jìn)人本次競(jìng)賽成績(jī)前，所以，所以可以估計(jì)該同學(xué)的成績(jī)不低于92分．18.已知函數(shù)．（1）若為偶函數(shù)，求的值；（2）從下列三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定，并求在區(qū)間上的最大值與最小值．條件①：；條件②：為的一個(gè)零點(diǎn)；條件③：圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）因?yàn)?，所以的定義域?yàn)椋驗(yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，即，所以．（2），若，，若，，其中，選擇條件①②：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故，當(dāng)時(shí)，，，得，，設(shè)滿足上面兩式，即，，則，，，，故，，，，故若是，的解，則，，滿足時(shí)也必定是方程的解，故函數(shù)不唯一，不符合題意.選擇條件①③：因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，所以，即，所以，即，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，取得最大值3；當(dāng)，即時(shí)，取得最小值0．選擇條件②③：因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，所以，即，所以，即，因?yàn)闉榈囊粋€(gè)零點(diǎn)，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故，當(dāng)時(shí)，即，所以，所以，因?yàn)椋?，?dāng)，即時(shí)，取得最大值3；當(dāng)，即時(shí)，取得最小值0．19.如圖，四棱錐的底面是菱形，側(cè)面是正三角形，是上一動(dòng)點(diǎn)，是中點(diǎn)．（1）當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，求證：∥平面；（2）若，求證：；（3）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，所以∥，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以∥平面．?）證明：如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)閭?cè)面是正三角形，所以，因?yàn)榈酌媸橇庑?，且，所以是等邊三角形．所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫裕?）如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗睦忮F的底面是菱形，側(cè)面是正三角形，所以，所以，又，AB、BE在面ABE內(nèi)，所以平面，過作∥交于點(diǎn)，因?yàn)椤巍?，所以點(diǎn)平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，∥，所以，所以．20.對(duì)于三維向量，定義“變換”：，其中，．記，．（1）若，求及；（2）證明：對(duì)于任意，經(jīng)過若干次變換后，必存在，使；（3）已知，將再經(jīng)過次變換后，最小，求的最小值．解：（1）因?yàn)?，，，所?（2）設(shè)，假設(shè)對(duì)，則均不為0，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，與矛盾，故假設(shè)不正確，綜上，對(duì)于任意，經(jīng)過若干次變換后，必存在，使．（3）設(shè)，因?yàn)?，所以有或，?dāng)時(shí)，可得三式相加得，又，可得，當(dāng)時(shí)，也可得，于是，設(shè)的三個(gè)分量為這三個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，的三個(gè)分量為這三個(gè)數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，的三個(gè)分量為，則的三個(gè)分量為的三個(gè)分量為，所以，所以，由，可得，因?yàn)?，所以任意的三個(gè)分量始終為偶數(shù)，且都有一個(gè)分量等于2，所以的三個(gè)分量只能是三個(gè)數(shù)，的三個(gè)分量只能是三個(gè)數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為505．北京市東城區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題.共10小題，每小題3分，共30分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知向量．若∥，則（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋摇?，所以，解?故選：D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由可得，.故選：B.3.某中學(xué)為了解在校高中學(xué)生的身高情況，在高中三個(gè)年級(jí)各隨機(jī)抽取了的學(xué)生，并分別計(jì)算了三個(gè)年級(jí)抽取學(xué)生的平均身高，數(shù)據(jù)如下表：年級(jí)高一高二高三抽樣人數(shù)363430平均身高則該校高中學(xué)生的平均身高可估計(jì)為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知：抽取的總?cè)藬?shù)為，各年級(jí)的頻率依次為，所以該校高中學(xué)生的平均身高可估計(jì)為.故選：C.4.已知圓錐的軸截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題知，如圖，為圓錐的軸截面，邊長(zhǎng)均為，則圓錐的高，底面半徑，故圓錐體積.故選：A.5.設(shè)為實(shí)數(shù)，若，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，，因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，解得.故選：B.6.將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)〖解析〗式為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，圖象向左平移個(gè)單位后，得，排除AB；由，C正確；由，D錯(cuò).故選：C.7.已知長(zhǎng)方形墻把地面上兩點(diǎn)隔開，該墻與地面垂直，長(zhǎng)10米，高3米．已測(cè)得米，米．現(xiàn)欲通過計(jì)算，能唯一求得兩點(diǎn)之間的距離，需要進(jìn)一步測(cè)量的幾何量可以為（）A.點(diǎn)到的距離 B.長(zhǎng)度和長(zhǎng)度C.和 D.長(zhǎng)度和〖答案〗D〖解析〗連接，在中，，，，所以，所以，，對(duì)于A，若測(cè)量點(diǎn)到的距離，則在或中只有一條邊長(zhǎng)度是已知，無(wú)法求解的長(zhǎng)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若測(cè)量長(zhǎng)度和長(zhǎng)度，則在中有兩邊長(zhǎng)度是已知，或中只有一條邊長(zhǎng)度是已知，無(wú)法求解的長(zhǎng)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若測(cè)量和，則在或中只有一條邊是已知，無(wú)法求解的長(zhǎng)，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若測(cè)量長(zhǎng)度和，則中，可求出，而，所以由余弦定理得，從而可求出，所以D正確.故選：D.8.設(shè)為非零向量，，則“夾角為鈍角”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由，平方得，即，又因?yàn)?，即，所以，所以?shī)A角為鈍角或平角，所以“夾角為鈍角”是“”的充分不必要條件.故選：A.9.如圖，直三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)．以下結(jié)論中正確的是（）A.存在點(diǎn)，使B.不存在點(diǎn)，使C.對(duì)任意點(diǎn)，都有D.存在點(diǎn)，使平面〖答案〗C〖解析〗A選項(xiàng)，由于平面，，平面，則一定異面，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，根據(jù)直三棱柱性質(zhì)，平面，平面，故，又，，平面，故平面，又平面，故，顯然，即，故重合時(shí)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，直棱柱的側(cè)面必是矩形，而，故矩形成為正方形，則，B選項(xiàng)已經(jīng)分析過，平面，由平面，故，又，平面，故平面，又平面，則必然成立，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，取中點(diǎn)，連接，根據(jù)棱柱性質(zhì)可知，和平行且相等，故平面可擴(kuò)展成平面，過作，垂足為，根據(jù)平面，平面，故，顯然，故，由，，平面，故平面，若平面，則，過作//，交于，連接，于是共面，又，平面，故平面，由于平面，故，延長(zhǎng)交于，易得//，則，而在線段上，這是不可能的，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.10.如圖，質(zhì)點(diǎn)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，的角速度大小為，起點(diǎn)為射線與的交點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：）的函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)樵趩挝粓A上的角速度大小為，起點(diǎn)為射線與的交點(diǎn)，所以，，所以動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：）的函數(shù)，由，得，因?yàn)?，所以，，，，所以?dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：s）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，，.故選：B.二、填空題.共5小題，每小題4分，共20分．11.已知，，則___________.〖答案〗1〖解析〗因?yàn)?故〖答案〗為：.12.在邊長(zhǎng)為的正方形中，為中點(diǎn)，則__________．〖答案〗〖解析〗由題知，.故〖答案〗為：.13.下表是某市6月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)統(tǒng)計(jì)表．由表判斷，從6月__________日開始，連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大．日期1234567891011121314空氣質(zhì)量指數(shù)6079905038263249486252383037〖答案〗3〖解析〗由表可知，第3天開始，連續(xù)三天的數(shù)據(jù)波動(dòng)最大，此時(shí)的方差最大.故〖答案〗為：3.14.已知為復(fù)數(shù)，且，寫出滿足上述條件的一個(gè)復(fù)數(shù)__________；的最大值為__________．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗（空1）時(shí)，符合題意；（空2）復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)一條向量，滿足向量的三角不等式，于是，解得.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.15.金剛石也被稱作鉆石，是天然存在的最硬的物質(zhì)，可以用來(lái)切割玻璃，也用作鉆探機(jī)的鉆頭．金剛石經(jīng)常呈現(xiàn)如圖所示的“正八面體”外形．正八面體由八個(gè)全等的等邊三角形圍成，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．下面給出四個(gè)結(jié)論：①平面；②平面平面；③過點(diǎn)存在唯一一條直線與正八面體的各個(gè)面所成角均相等；④以正八面體每個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正方體的棱長(zhǎng)是該正八面體棱長(zhǎng)的．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．〖答案〗①④〖解析〗對(duì)于①，根據(jù)正八面體性質(zhì)可知，，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故①正確；對(duì)于②，如下圖所示，取中點(diǎn)，連接，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)可知，所以是二面角的平面角，設(shè)該正八面體棱長(zhǎng)為，則，，則在中，，所以，所以平面與平面不垂直，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，直線與正八面體的各個(gè)面所成角均相等，將其平移后使其過點(diǎn)，則過點(diǎn)至少存在兩條直線與正八面體的各個(gè)面所成角均相等，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，如下圖所示，取中點(diǎn)，的中心，連接，則即正方體的一條棱，設(shè)該正八面體棱長(zhǎng)為，則，，根據(jù)，，得，所以，所以以正八面體每個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正方體的棱長(zhǎng)是該正八面體棱長(zhǎng)的，故④正確.故〖答案〗為：①④.三、解答題.共5小題，共50分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過程．16.在中，角所對(duì)的邊為，．（1）求；（2）若，求的面積．解：（1）因?yàn)?，，在中，由正弦定理得，所以．?）因?yàn)椋?，所以，在中，，根?jù)余弦定理得，整理得，解得或（舍），所以．17.某市舉辦“強(qiáng)國(guó)有我，愛我中華”科技知識(shí)競(jìng)賽，賽后將參賽的2000名學(xué)生成績(jī)分成4組：①，②，③，④，并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，公布了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）估計(jì)這2000名學(xué)生科技知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）；（2）某同學(xué)獲知自己的成績(jī)進(jìn)入本次競(jìng)賽成績(jī)前，估計(jì)該同學(xué)的成績(jī)不低于多少分？解：（1）因?yàn)椋赃@2000名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)可以估計(jì)為83.5．（2）因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)占總數(shù)的，該同學(xué)的成績(jī)進(jìn)人本次競(jìng)賽成績(jī)前，所以，所以可以估計(jì)該同學(xué)的成績(jī)不低于92分．18.已知函數(shù)．（1）若為偶函數(shù)，求的值；（2）從下列三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定，并求在區(qū)間上的最大值與最小值．條件①：；條件②：為的一個(gè)零點(diǎn)；條件③：圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）因?yàn)?，所以的定義域?yàn)?，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，即，所以．（2），若，，若，，其中，選擇條件①②：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故，當(dāng)時(shí)，，，得，，設(shè)滿足上面兩式，即，，則，，，，故，，，，故若是，的解，則，，滿足時(shí)也必定是方程的解，故函數(shù)不唯一，不符合題意.選擇條件①③：因?yàn)楹瘮?shù)圖象