一文搞定基本不等式二次不等式19類題型（老師版）

更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學一文搞定基本不等式，二次不等式19類題型TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型一基本不等式的直接使用題型二“1”的妙用：乘1法和1的代換一、乘“1”法二、“1”的代換題型三配湊法題型四整體法或換元（與）單分母換元本號資料全部#來源于微信公眾號：數(shù)學#第六感雙分母換元題型五二次比一次型題型六和，積，平方和互相轉(zhuǎn)化題型七消元法題型八因式分解型題型九齊次式：分離常數(shù)型題型十同除型題型十一根式平方和為定值型題型八判斷基本不等式能否成立（易錯）題型九基本不等式恒成立與能成立問題題型十基本不等式的實際應用問題（涉及調(diào)和平均）題型十一對勾函數(shù)題型十二一元二次方程，不等式?？紗栴}R上的恒成立·判別式法本號資料全部來源*于微信公眾號：數(shù)學第六感有區(qū)間限制的恒成立恒成立·變更主元能成立問題解含參一元二次不等式一元二次方程根的分布題型十三與指數(shù)對數(shù)結(jié)合的基本不等式問題題型十四萬能“k”法題型十五不等式的性質(zhì)中檔題匯編一、利用基本不等式求最值的技巧(1)利用基本不等式解題時一定要注意應用的前提:“一正”“二定”“三相等”。所謂“一正”是指正數(shù),“二定”是指應用基本不等式求最值時,和或積為定值,“三相等”是指滿足等號成立的條件。(2)在利用基本不等式求最值時,要根據(jù)式子的特征靈活變形,配湊出積、和為常數(shù)的形式,然后再利用基本不等式。本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)#學第六感(3)條件最值的求解通常有兩種方法:一是將條件靈活變形,利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子,然后利用基本不等式求解最值;二是對條件使用基本不等式,建立所求目標函數(shù)的不等式求解二、調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)≤平方平均數(shù)：若，則（當且僅當時取“=”）使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三個條件缺一不可．容易出問題的地方，在于能否“取等”,如，三、常用不等式鏈：（主要用于和積轉(zhuǎn)換）四、對分母進行換元若分母中出現(xiàn)有“+”，“－”符號可以考慮進行換元如，可以令，則有，求的最小值，就變成了常規(guī)的乘“1”法五、不等式中恒成立問題的求解恒成立問題是高考中的高頻考點,由于我們所學知識有限,與函數(shù)有關(guān)的問題我們還只能就一次、二次函數(shù)進行一些討論,盡管恒成立問題在函數(shù)、數(shù)列、解析幾何中都會有涉及,但我們目前只能了解這類基本解答模型,還不能就更多內(nèi)容進行深入討論。求解含有參數(shù)的不等式的恒成立問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用。(1)判別式法：對于含有參數(shù)的一元二次不等式問題,若能把不等式轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)或二次方程,則通過根的判別式或數(shù)形結(jié)合思想,可使問題順利解決,這里一定要注意對含參數(shù)的二次項系數(shù)進行分類討論。(2)變更主元：在有幾個變量的問題中,常常有一個變量處于主要地位,我們稱之為主元。在解含有參數(shù)的不等式時,有時若能換一個角度,變參數(shù)為主元,則可以得到意想不到的效果。（3）數(shù)形結(jié)合法（4）變量分離法：如果能夠?qū)?shù)分離出來,建立起明確的參數(shù)和變量x的關(guān)系,那么a>y恒成立?a>ymax;a<y六、含參不等式的求解問題(1)一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0,Δ>0)的解集的端點值是一元二次方程ax2+bx+c=0的實根(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像在x軸上方的部分,滿足不等式ax2+bx+c>0;圖像在七、柯西不等式：課本之外的，基本用不到若，則（當且僅當，即時取等號）.八、“萬能K法”（也是基本用不到，屬于湊數(shù)的）設(shè)K法的三個步驟：⑴問誰設(shè)誰：求誰，誰就是K；⑵代入整理：整理成某個變量的一元二次方程（或不等式）；⑶確認最值：方程有解（或不等式用均值放縮），≥0確定最值九、一元二次不等式(其中a>0)的解集.Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩個不等的實根(x1＜x2)有兩個相等的實根(x1＝x2)沒有實根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}題型一基本不等式的直接使用本號#資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學第六*感（2023上·湖南長沙·高一長郡中學?？迹┤?，，且，則的最小值是________【答案】【詳解】，則，所以，當且僅當時，等號成立，所以有最小值若，，則的最小值為______．【答案】2【簡析】若，，則的最小值為______．【答案】【簡析】已知，，且，則的最小值是________【答案】【詳解】由于，所以，當且僅當時等號成立題型二“1”的妙用：乘1法和1的代換一、乘“1”法（2023上·廣東廣州·高一廣東廣雅中學校考）若正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是________【答案】9【詳解】，當且僅當時等號成立（2023上·廣東深圳·高一深圳中學校考）已知且，則的最小值是．【答案】8【分析】運用“1”的代換及基本不等式即可求得結(jié)果．【詳解】因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號．所以的最小值為8已知，且，求的最小值．【答案】9【詳解（1）因為，，所以，所以，當且僅當，時等號成立，即時等號成立，所以的最小值為．已知正數(shù)x、y滿足，求的最小值為______．本號資料全部來源于微#信公眾號：數(shù)學第六感【答案】【分析】利用1的妙用，由利用基本不等式求解．【詳解】因為正數(shù)、滿足，所以當且僅當，即時，取等號，所以的最小值為若，且，則的最小值為．【答案】5【解析】因為，且，則，可得，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為5．故答案為：5．二、“1”的代換通過常數(shù)“1”的代換，把求解目標化為可以使用基本不等式求最值的式子，達到解題的目的．（2023上·湖南長沙·高一長郡中學?？迹┤?，，且，則有最小是________【答案】5【詳解】，當且僅當，即時，等號成立，所以有最小值5已知，，，則的最小值為．【答案】【分析】利用基本不等式求得的最小值．【詳解】依題意．當且僅當時等號成立．已知實數(shù)x，滿足，則的最小值為（

）A．6 B． C． D．8【答案】C【分析】根據(jù)“1”的變形技巧化簡，再運用均值不等式求解即可．本號*資料全部來源于微信公#眾號：數(shù)學第六感【詳解】由條件可得．當且僅當，即時等號成立正實數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C．5 D．【答案】B【分析】中的“1”用“”代替，分離常數(shù)后利用基本不等式即可求解．【詳解】因為正實數(shù)，滿足，所以，當且僅當，即時等號成立．故的最小值是．已知正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為．【答案】25【解析】因為正實數(shù)x，y滿足，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為25，故答案為：25已知，則的最小值是．【答案】9【分析】根據(jù)已知可將變形為，展開可得，利用基本不等式即可求得結(jié)果．【詳解】，當且僅當時取等號，故的最小值是9題型三配湊法加上一個數(shù)或減去一個數(shù)使和(積)為定值，然后利用基本不等式求解．已知實數(shù)x＞3，則的最小值是（）A．24B．12C．6D．3【解題思路】4x+9x?3=4（x﹣【解答過程】解：∵x＞3，∴x﹣3＞0，4x+9x?3=4（x﹣3）+9當且僅當4x﹣12=9x?3若，則函數(shù)的最小值為（）A．B．C．6D．4【答案】B當時，（）A．有最大值1B．有最大值2C．有最小值5D．有最小值【答案】A【解析】當時，，，所以，當且僅當即時等號成立，所以有最大值1，沒有最小值，故選：A．已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，則(1＋x)(1＋2y)的最大值為（）A．36B．4C．16D．9【答案】D【解析】由題意，，，所以，當且僅當時取“=”．故選：D．已知，，且，則的最小值為（）本號*資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學第六感A．4B．8C．16D．32【答案】C【解析】因為，，且，∴，當且僅當，即，即時，等號成立．故選：C已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為．【答案】2【分析】利用基本不等式中常數(shù)代換技巧求最值即可．【詳解】因為正數(shù)a，b滿足，所以，所以，當且僅當即時，等號成立，所以的最小值為2．題型四整體法或換元（與）單分母換元已知，則的最小值是（）A．6B．8C．4D．9【解題思路】可以設(shè)，則有，求的最小值，用乘“1”法即可【解答過程】解：因為0＜a＜12，所以2a＞0，1﹣2a12a+41?2a=（12a+41當且僅當1?2a2所以12a+若，，，，則的最小值為．【答案】【分析】令，則，由此可將變形為，結(jié)合基本不等式，即可求得答案?！驹斀狻坑深}意，，，，得：，設(shè)，則，故，當且僅當，即時取得等號，故的最小值為（2023·深圳外國語學校?？迹┮阎獂，y為正實數(shù)，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】x，y為正實數(shù)，利用基本不等式求的最小值．【詳解】x，y為正實數(shù)，則，當且僅當，即時等號成立．最小值為6已知，其中，，，則的最小值為．【答案】16【解析】因為，，則，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為16雙分母換元（2022·深圳外國語學校?？迹┤粽龑崝?shù)滿足，則最大值為________【答案】【思路點撥】補充：可以設(shè)，則有，求的最大值【詳解】，則，當且僅當時，等號成立，所以有最大值已知正數(shù)滿足，則的最大值是（）A．B．C．D．【解題思路】設(shè)，則有，求最小值，結(jié)合乘1法即可【解答過程】解：aa+1+4∵a+b＝2，∴a+1+b+1＝4，1a+1+4b+1=14（1a+1+4b+b+1a+1+4(a+1)b+1故14（1+4+b+1a+故aa+1+（2022·深圳外國語學校?？迹┤粽龑崝?shù)滿足，則最小值為________【答案】【詳解】由，當且僅當時，等號成立，所以有最小值已知x，y為正實數(shù)，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】x，y為正實數(shù)，利用基本不等式求的最小值．【詳解】x，y為正實數(shù)，則，當且僅當，即時等號成立．最小值為6已知a，b，c均為正實數(shù)，，則的最小值是．【答案】【分析】根據(jù)題意，將看作一個整體，變形后結(jié)合基本不等式的計算，即可得到結(jié)果．【詳解】因為，即，設(shè)，則，且，原式，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為．題型五二次比一次型（2023上·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學?？迹┣蠛瘮?shù)，的最小值．【答案】【分析】根據(jù)題意，由條件可得，再結(jié)合基本不等式的，代入計算，即可得到結(jié)果．【詳解】因為，且，當且僅當時，即時，等號成立，所以函數(shù)的最小值為函數(shù)的最小值為______．【答案】【分析】將函數(shù)化為，利用基本不等式求其最小值，注意取值條件即可．【詳解】由，又，所以，當且僅當，即時等號成立，所以原函數(shù)的最小值為．當時，求函數(shù)的最小值．【答案】【分析】將函數(shù)變形成，再利用重要不等式即可求出結(jié)果．【詳解】因為，所以，，當且僅當，即時，等號成立，所以函數(shù)的最小值為．求的最小值【答案】【詳解】令，則在是單增，∴當t=2時，y取最小值；即y的最小值為函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對函數(shù)分離常數(shù)，借助基本不等式，分三種情況討論即可．【詳解】結(jié)合題意：，當時，；當時，，當且僅當，即，原式取得最小值；另一方面，因為，所以，即；當時，，當且僅當，即，原式取得最大值；另一方面因為，令，則，所以，所以所以，即；綜上所述：函數(shù)的值域是．題型六和，積，平方和互相轉(zhuǎn)化（2023上·重慶·高一重慶巴蜀中學?？迹┮阎獙崝?shù)，滿足，則的最大值為________【答案】對于選項AB，，則，當且僅當時等號成立，故的最大值為已知，，且，則的最小值為．【答案】9【解析】由，，得，當且僅當時取等號，本號資料全部來源于#微*信公眾號：數(shù)學第六感因此，解得，即，由，而，解得，（2023上·湖南長沙·高一長郡中學?？迹┮阎?，且，則的取值范圍為．【答案】【詳解】由題意，且，當且僅當時，即時等號成立，令，則上式為：，即，解得或（舍），所以的取值范圍為．若，，，則的取值范圍是．【答案】【解析】因為，，由基本不等式可得，即，解得，即，當且僅當時，即當時，等號成立，故的取值范圍是．故答案為：．（2023上·湖南長沙·高一長郡中學?？迹┤?，，且，則的最大值是________【答案】【解析】因為，當且僅當時，等號成立，可得，所以有最大值（2023上·重慶·高一重慶巴蜀中學?？迹┮阎獙崝?shù)，滿足，則的最大值為________【答案】【詳解】，則，當且僅當時等號成立，則，當且僅當時等號成立（2023上·廣東深圳·高一深圳市高級中學?？迹ǘ噙x）若正實數(shù)、滿足，則下列說法正確的是（

）A．有最大值 B．有最大值C．有最小值 D．有最大值【答案】ABC【分析】利用基本不等式逐項判斷，可得出合適的選項．【詳解】因為正實數(shù)、滿足，對于A選項，，當且僅當時，即當時，等號成立，所以，有最大值，A對；對于B選項，，則，當且僅當時，即當時，等號成立，即有最大值，B對；對于C選項，，當且僅當時，即當時，等號成立，即有最小值，C對；對于D選項，因為，所以，，即，當且僅當時，即當時，等號成立，所以，有最小值，D錯若實數(shù)x，y滿足x2＋y2＋xy＝1，則x＋y的最大值是________．．解析：注意到消元有難度，而目標式為x＋y，且條件可以構(gòu)造出x＋y的平方，于是1＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－(eq\f(x＋y,2))2＝eq\f(3,4)(x＋y)2，所以eq\f(4,3)≥(x＋y)2，所以－eq\f(2\r(3),3)≤x＋y≤eq\f(2\r(3),3)，當且僅當x＝y(tǒng)＝eq\f(\r(3),3)時取最大值eq\f(2\r(3),3)．已知正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3（1）求ab的取值范圍；（2）求a＋b的取值范圍；（3）求4a＋b的最小值【分析】（1）正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，可得ab＝EQa＋b＋3≥2\R(,ab)＋3,解出即可得出．（2）正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，可得a＋b＋3＝EQab≤\b\bc\((\l(\F(a＋b,2)))\S\UP6(2),解出即可得出．【解答】解：（1）∵正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，∴ab＝EQa＋b＋3≥2\R(,ab)＋3,即EQ(\R(,ab))\S\UP6(2)－2\R(,ab)－3≥0,解得EQ\R(,ab)≥3,即ab≥9，當且僅當a＝b＝3時取等號，∴ab∈[9，＋∞）．（2）法一：∵正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，∴a＋b＋3＝EQab≤\b\bc\((\l(\F(a＋b,2)))\S\UP6(2),即EQ(a＋b)\S\UP6(2)－4(a＋b)－12≥0,解得a＋b≥6，當且僅當a＝b＝3時取等號法二：消元；法三：配湊構(gòu)造積為定值本號資料全部來#源于微信公眾號：數(shù)學第六感（3），當且僅當時取等號．題型七消元法在解含有兩個以上變元的最值問題時，通過代換的方法減少變元，把問題化為兩個或一個變元的問題，再使用基本不等式求解．已知，，且，則的最小值是________【答案】【詳解】（2023上·廣東廣雅中學高一校考）若正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是________【答案】【詳解】由，則，而，所以，當且僅當時等號成立已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用表示后，根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果．【詳解】因為，由，得，所以，當且僅當時，等號成立．故的最小值為．故選：D若，，且，則的最小值是（

）A．5 B．8 C．13 D．16【答案】C【分析】由可得，從而將化為，利用基本不等式即可求得答案．【詳解】由題意，，得，故，由于，故，當且僅當即時取等號，即，故的最小值是13，故選：C若正實數(shù)x，y滿足x＋2y＋xy＝7，則x＋y的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】由，得，，利用基本不等式求解即可．【詳解】因為x＋2y＋xy＝7，所以，所以．因為，則所以，當且僅當，即x＝1，y＝2時，等號成立，所以x＋y的最小值為3．故選：D（2023·深圳外國語學校高一?？迹ǘ噙x）已知，且，則（

）A． B．的最大值為4C．的最小值為9 D．的最小值為【答案】ACD【詳解】由已知得，又，所以，故A正確；由，當且僅當時取得最小值4，故B錯誤；由上得，所以，當且僅當時取得最小值，故C正確；由，所以，當且僅當時取得最小值，故D正確已知(1)若，求的最小值及此時的值；(2)若，求的最小值及此時的值；(3)若，求的最小值及此時的值．【分析】（1）根據(jù)可得，然后根據(jù)基本不等式結(jié)合系數(shù)“1”的應用即可得到結(jié)果．（2）根據(jù)可得，然后根據(jù)基本不等式結(jié)合系數(shù)“1”的應用即可得到結(jié)果．（3）根據(jù)可得，然后結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果．【詳解】（1），當且僅當時，等號成立，解得；的最小值為1，此時（2），即當且僅當時，等號成立，解得；的最小值為，此時；（3），由，可得當且僅當時，取號的最小值為3，此時題型八因式分解型設(shè)，為正實數(shù)，若，則的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】由，令，，即可得到，則，利用基本不等式計算可得．【詳解】解：因為，為正實數(shù)，且，令，，則，則，當且僅當，即，時取等號．故選：D．（2023··重慶巴蜀中學?？迹┮阎?，，且，則的最小值是（

）A．4 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】將式子變形為，即可利用不等式求解，或者將式子變形為，結(jié)合不等式即可求解．【詳解】方法一：因為，故，解得，故，當且僅當，即，時等號成立．方法二：因為，則，且，故，故，當且僅當，即，時等號成立．故選：C．若，且，則的最小值為（）A．3B．C．D．【答案】D【解析】，且，，且，，，當且僅當，即，時取等號，故的最小值為，故選：D．已知，，，，則的最小值為A．8 B．10 C． D．【答案】C【分析】利用結(jié)合均值不等式求解即可．本號資料全#部來源于微信公眾號#：數(shù)學第六感【詳解】因為，，所以，，所以，當且僅當即時取等號，所以的最小值為，故選：C．題型九分離常數(shù)型若，則函數(shù)的最小值為（）A．4B．5C．7D．9【答案】C【解析】因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以函數(shù)的最小值為；故選：C已知，，，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】將已知條件等式化為，整體代入結(jié)合基本不等式即可得解．【詳解】因為，，，所以，，所以，當且僅當，即，時等號成立，即的最小值為6，故選：B．已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．5【答案】C【分析】由，再利用基本不等式求解即可．【詳解】因為，，，所以，當且僅當即等號成立．題型十同除型已知正數(shù)x，y滿足，則的最大值為．【答案】【解析】∵正數(shù)x，y滿足，∴．當且僅當，即時取等號，則，其最大值為．故答案為：設(shè)正實數(shù)、、滿足，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為正實數(shù)、、滿足，則，則，當且僅當時取等號．故的最大值為．故選：C．已知正實數(shù)x，y滿足5x2＋4xy－y2＝1，求12x2＋8xy－y2的最小值．【答案】【解析】則原式等價于題型十一根式平方和為定值型已知a，b是正實數(shù)，且2a2＋3b2＝10，求的最大值．【簡析】記，則，求最大值已知為正實數(shù)，且，求的最大值若x>0，y>0，且2x2＋eq\f(y2,3)＝8，則xeq\r(6＋2y2)的最大值為________．解析(xeq\r(6＋2y2))2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(y2,3)))≤3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x2＋1＋\f(y2,3),2)))2＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))2．當且僅當2x2＝1＋eq\f(y2,3)，即x＝eq\f(3,2)，y＝eq\f(\r(42),2)時，等號成立．故xeq\r(6＋2y2)的最大值為eq\f(9,2)eq\r(3)．題型八判斷基本不等式能否成立（易錯）（2023·商丘·高一聯(lián)考）（多選）下列函數(shù)中，最小值為2的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)基本不等式求解最值判斷ABC，根據(jù)復合函數(shù)最值求法求解判斷D．【詳解】對于A，，當時，，不符合要求，錯誤；對于B，，當且僅當時取等號，由得顯然不成立，所以等號取不到，即的最小值不是2，錯誤；對于C，因為，所以，，當且僅當時取等號，最小值是2，正確；對于D，，易知，，則，當即或時，有最小值4，即有最小值2，故D正確．（多選）下列命題中，真命題的是（

）A．，都有B．，使得C．任意非零實數(shù)，都有D．若，則的最小值為4【答案】AB【分析】利用不等式的性質(zhì)和均值不等式，以及對勾函數(shù)的單調(diào)性求最值，并根據(jù)全稱命題與特稱命題的真假判斷，即可選出真命題．【詳解】解：對于A，恒成立，則，都有，A選項正確；對于B，當時，，（當且僅當時取等號），，，使得，B選項正確；對于，當時，，C選項錯誤；對于D，當時，，令，在上單調(diào)遞增，，則的最小值不是4，D選項錯誤（多選）下列命題中，真命題的是（

）A．，都有B．，使得C．任意非零實數(shù)，都有D．若，則的最小值為4【答案】AB【分析】利用不等式的性質(zhì)和均值不等式，以及對勾函數(shù)的單調(diào)性求最值，并根據(jù)全稱命題與特稱命題的真假判斷，即可選出真命題．【詳解】解：對于A，恒成立，則，都有，A選項正確；對于B，當時，，（當且僅當時取等號），，，使得，B選項正確；對于，當時，，C選項錯誤；對于D，當時，，令，在上單調(diào)遞增，，則的最小值不是4，D選項錯誤（2023·深圳實驗高一?？迹ǘ噙x）下面結(jié)論正確的是（

）A．若，則的最大值是B．函數(shù)的最小值是2C．函數(shù)（）的值域是D．，且，則的最小值是3【答案】ACD【分析】利用基本不等式求最值判斷ABD，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷C．【詳解】時，．，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值是2，即的最小值是1，從而的最大值是，A正確；，當且僅當時等號成立，但無實數(shù)解，因此等號不能取得，2不是最小值，B錯；時，，，因為，所以時，，時，，時，．所以值域是，C正確；，且，，，則，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值是4－1＝3，D正確．題型九基本不等式恒成立與能成立問題（2023·重慶南開中學高一期末）已知，，，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，再利用基本不等式求函數(shù)最值，最后解關(guān)于實數(shù)的不等式即可．【詳解】因為恒成立，所以．又因為，，，所以，當且僅當，即時等號成立，所以，即，所以（2023上·重慶八中校考）已知且，不等式恒成立，則正實數(shù)m的取值范圍是（）A．m≥2 B．m≥4 C．m≥6 D．m≥8【答案】D【分析】由條件結(jié)合基本不等式可求的范圍，化簡不等式可得，利用二次函數(shù)性質(zhì)求的最大值，由此可求m的取值范圍．【詳解】不等式可化為，又，，所以，令，則，因為，，所以，當且僅當時等號成立，又已知在上恒成立，所以因為，當且僅當時等號成立，所以m≥8，當且僅當，或，時等號成立，所以m的取值范圍是若不等式對恒成立，則實數(shù)m的最大值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】分離參數(shù)使不等式化為，使乘以利用基本不等式求出的最小值即可求解．【詳解】將不等式化為，只需當時，即可，由，當且僅當時取等號，故，故m的最大值為9．（2023上·湖北黃岡·高一統(tǒng)考）對滿足的任意正實數(shù)x，y，不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是．（用區(qū)間或集合的形式表示）【答案】【分析】先根據(jù)“1”的代換結(jié)合基本不等式得出，．進而由已知得出，求解即可得出答案．【詳解】因為，當且僅當，且，即，時取等號．所以，．又不等式恒成立，所以，所以，解得．所以，的取值范圍為．若正實數(shù)滿足，且不等式有解，則實數(shù)的取值范圍．【答案】或【分析】要使有解，則大于最小值即可；求出最小值，建立不等式，求出的取值范圍．【詳解】因為，所以，所以，當時，等號成立，因為，所以此時，所以的最小值為，由題可得，解得或．若兩個正實數(shù)滿足，且存在這樣的使不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得滿足，再利用基本不等式中“1”的妙用求得的最小值，最后解不等式即可．本號資料全部來源于微信*公眾號：數(shù)學第六感【詳解】由得，，當且僅當時，等號成立，則使不等式有解，只需滿足即可，解得．題型十基本不等式的實際應用問題（涉及調(diào)和平均）不等式的應用題常以函數(shù)為背景，多是解決現(xiàn)實生活、生產(chǎn)中的優(yōu)化問題，在解題中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，構(gòu)建數(shù)學模型是關(guān)鍵，重點培養(yǎng)數(shù)學建模、數(shù)學運算素養(yǎng)．小李從甲地到乙地的平均速度為，從乙地到甲地的平均速度為，他往返甲乙兩地的平均速度為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)從甲地到乙地的的路程為s，從甲地到乙地的時間為t1，從乙地到甲地的時間為t2，則，，，∴，原油作為“工業(yè)血液”?“黑色黃金”，其價格的波動牽動著整個化工產(chǎn)業(yè)甚至世界經(jīng)濟．小李在某段時間內(nèi)共加油兩次，這段時間燃油價格有升有降，現(xiàn)小李有兩種加油方案：第一種方案是每次加油40升，第二種方案是每次加油200元，則下列說法正確的是（

）A．第一種方案更劃算B．第二種方案更劃算C．兩種方案一樣D．無法確定【答案】B【解析】分別求出兩種方案的平均油價，結(jié)合基本不等式作出比較即可得出結(jié)論．【詳解】設(shè)小李這兩次加油的油價分別為元升?元升，則：方案一：兩次加油平均價格為，方案二：兩次加油平均價格為，故無論油價如何起伏，方案二比方案一更劃算．甲打算從A地出發(fā)至B地，現(xiàn)有兩種方案：第一種：在前一半路程用速度，在后一半路程用速度，平均速度為；第二種：在前一半時間用速度，在后一半時間用速度，平均速度為；則，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．無法確定【答案】B【解析】第一種：設(shè)總路程為2s，第二種：設(shè)時間為2t，分別求出兩種速度，再進行作差比較大小，即可得到答案．【詳解】第一種：設(shè)總路程為2s，則，第二種：設(shè)時間為2t，則，．《幾何原本》中的幾何代數(shù)法(用幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一方法，很多代數(shù)公理、定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，因此這種方法也被稱之為“無字證明”．如圖所示，AB是半圓O的直徑，點C是AB上一點(不同于A，B，O)，點D在半圓O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于點E，設(shè)AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的“無字證明”為()A．a(chǎn)b≤a＋b2(a＞0，bB．a(chǎn)＋b2＜2aba＋b(a＞0，b＞0，C．2aba＋b≤ab(a＞0，bD．2aba＋b＜ab＜a＋b2(a＞0，b＞【答案】D由AC＝a，BC＝b，可得半圓O的半徑DO＝a＋b2易得DC＝AC·BC＝ab，DE＝∵DE＜DC＜DO，∴2aba＋b＜ab＜a＋b2(a＞0，b＞（多選）給出下面四個結(jié)論，其中不正確的是（）A．兩次購買同一種物品，可以用兩種不同的策略，第一種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定；第二種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品的數(shù)量一定．則若n次(n≥2)購買同一物品，用第一種策略比較經(jīng)濟B．若二次函數(shù)f(x)＝24ax2＋4x－1(a≠0)在區(qū)間(－1，1)內(nèi)恰有一個零點，則由零點存在定理知，實數(shù)a的取值范圍是C．已知函數(shù)f(x)＝|lgx|，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，則3b＋2a的取值范圍是D．設(shè)矩形ABCD(AB＞AD)的周長為24，把△ABC沿AC向△ADC折疊，AB折過去后交DC于點P，設(shè)AB＝x，則△ADP的面積是關(guān)于x的函數(shù)且最大值為【答案】BCD【解析】A選項：設(shè)n＝2，兩次購買的價格分別為，，數(shù)量關(guān)系為：單價＝總價÷數(shù)量設(shè)第一種策略每次花x元購買物品，則單價為（調(diào)和平均數(shù)），設(shè)第二種策略每次買y件物品，則單價為，易證，所以第一種策略比較經(jīng)濟，A正確；B選項：①當時，由零點存在定理②當，代入計算可得時，f(x)＝0的根為1和，滿足條件；時，f(x)＝0的根為－1和，也滿足條件，當時，即時，可得f(x)的對稱軸為，也滿足條件綜上，，B錯誤；C選項：顯然0＜a＜1＜b，且ab=1，，然而，所以取不到，則C錯誤；補充：，取值范圍是D選項：設(shè)，則，，則D錯誤第二屆世界互聯(lián)網(wǎng)大會在浙江省烏鎮(zhèn)開幕后，某科技企業(yè)為抓住互聯(lián)網(wǎng)帶來的機遇，決定開發(fā)生產(chǎn)一款大型電子設(shè)備．生產(chǎn)這種設(shè)備的年固定成本為500萬元，每生產(chǎn)x(x>0)臺，需另投入成本y1萬元．若年產(chǎn)量不足80臺，則y1＝eq\f(1,2)x2＋40x；若年產(chǎn)量不小于80臺，則y1＝101x＋eq\f(8100,x)－2180．每臺設(shè)備售價為100萬元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的電子設(shè)備能全部售完．(1)寫出年利潤y(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(臺)的關(guān)系式；(2)年產(chǎn)量為多少臺時，該企業(yè)在這一電子設(shè)備的生產(chǎn)中所獲利潤最大？解(1)當0＜x＜80時，y＝100x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋40x))－500＝－eq\f(1,2)x2＋60x－500；當x≥80時，y＝100x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(101x＋\f(8100,x)－2180))－500＝1680－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8100,x)))．所以當0＜x＜80時，y＝－eq\f(1,2)x2＋60x－500；當x≥80時，y＝1680－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8100,x)))．(2)當0＜x＜80時，y＝－eq\f(1,2)(x－60)2＋1300，當x＝60時，y取得最大值，最大值為1300．當x≥80時，y＝1680－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8100,x)))≤1680－2eq\r(x·\f(8100,x))＝1500，當且僅當x＝eq\f(8100,x)，即x＝90時，y取得最大值，最大值為1500．所以當年產(chǎn)量為90臺時，該企業(yè)在這一電子設(shè)備的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤為1500萬元．題型十一對勾函數(shù)（2023上·常德市一中?？迹┮阎瘮?shù)．若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得，則，令，利用對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出其范圍．【詳解】由得．根據(jù)函數(shù)的圖象及，則，即，可得，，令，根據(jù)對勾函數(shù)可得在上單調(diào)遞增，則．所以的取值范圍是已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，且，則的取值范圍是_______．【答案】【分析】易知，注意這里取不到等號，所以，函數(shù)在上的值域是．【答案】【分析】將函數(shù)變形為，當時，；當時，，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)可解．【詳解】函數(shù)，當時，；當時，，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知：當時，，則，所以，當時，，則，所以，綜上所述，函數(shù)在上的值域是．題型十二一元二次方程，不等式常考問題R上的恒成立·判別式法（2023上·廣東深圳·高一?？迹┤絷P(guān)于x的不等式對恒成立，則a的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)含參一元不等式恒成立對分類討論即可得a的取值集合．【詳解】當時，不等式化為對恒成立；當，要使得不等式對恒成立，則，解得綜上，a的取值集合為（多選），關(guān)于的不等式恒成立的一個必要不充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由，關(guān)于的不等式恒成立得，求得的取值范圍，然后根據(jù)充分條件與必要條件的概念判斷即可得出答案．本號資料全部#來源于微信公眾號：數(shù)學#第六感【詳解】，關(guān)于的不等式恒成立，則，解得．對于A，因為，符合題意，故A正確；對于B，是充要條件，故B錯誤；對于C，因為，符合題意，故C正確；對于D，因為當時，不一定成立，不符合題意，故D錯誤關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】分和討論，時根據(jù)二次函數(shù)開口向下，且與軸無交點列出不等式即可【詳解】若，得，符合題意若，由題知，解得綜上實數(shù)的取值范圍是有區(qū)間限制的恒成立通過分離參數(shù)將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題本號資料全部來源于微信公眾*號：數(shù)學第六感函數(shù)，當時，恒成立，則a的取值范圍是________【答案】【詳解】因為，所以由可化為：，因為（當且僅當，即時等號成立），所以．所以a的取值范圍為．（2023上·廣東深圳·高一深圳外國語學校?？迹┊敃r，關(guān)于x的不等式恒成立，則的取值范圍是．【答案】【分析】參變分離得，再利用基本不等式求的最小值即可得答案．【詳解】關(guān)于x的不等式恒成立即，時恒成立，，又，當且僅當，即時等號成立，．設(shè)對任意的，不等式恒成立，則a的取值范圍為．【答案】【分析】運用換元法，常變分離法，結(jié)合雙勾函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．【詳解】由，因為，所以，令，由，設(shè)，則有，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，，所以，要想恒成立，只需已知命題：“，使得成立”是真命題，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】利用分離參數(shù)法得，只需求出不等式右邊的最大值即可．【詳解】，，設(shè)，對稱軸為，在上單調(diào)遞增，故，即，，，使得成立，，，，故若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍法一：對勾函數(shù)參變分離后結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)當時，，成立；當時，由題可得對任意恒成立，令，則有，，，令，，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可得，所以，所以當時，，故實數(shù)的取值范圍為；法二：分類討論令，①當時，，對任意，恒成立；②當時，函數(shù)圖象開口向上，若對任意，恒成立，只需，解得，故當時，對任意，恒成立；③當時，對任意，，，恒成立；綜上可知，實數(shù)的取值范圍為．若命題“，使得”是假命題，則的取值范圍是．【答案】【分析】由題意知原命題的否定為真，將問題轉(zhuǎn)換成立二次不等式在定區(qū)間上的恒成立問題了，對對稱軸的位置進行討論即可求解．【詳解】由題意原命題的否定“，使得”是真命題，不妨設(shè)，其開口向上，對稱軸方程為，則只需在上的最大值即可，我們分以下三種情形來討論：情形一：當即時，在上單調(diào)遞增，此時有，解得，故此時滿足題意的實數(shù)不存在；情形二：當即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時有，只需，解不等式組得，故此時滿足題意的實數(shù)的范圍為；情形三：當即時，在上單調(diào)遞減，此時有，解得，故此時滿足題意的實數(shù)不存在；綜上所述：的取值范圍是．恒成立·變更主元轉(zhuǎn)換思維角度，即把變元與參數(shù)變換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍求解．已知時，不等式恒成立，則x的取值范圍為．【答案】【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)關(guān)于a的函數(shù)，則可得，從而可求出x的取值范圍．【詳解】由題意，因為當，不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的函數(shù)，則對任意恒成立，則滿足，解得，即x的取值范圍為若不等式對任意恒成立，實數(shù)x的取值范圍是．【答案】【分析】把題意轉(zhuǎn)化為，設(shè)，由一次函數(shù)的單調(diào)性列不等式組，即可求解．【詳解】可轉(zhuǎn)化為．設(shè)，則是關(guān)于m的一次型函數(shù)．要使恒成立，只需，解得．函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是．【答案】【分析】采用變換主元的策略，看作關(guān)于的一次函數(shù)，利用端點函數(shù)值不小于0建立不等式組求解即可．【詳解】令，當時，恒成立，只需即解得或．所以實數(shù)x的取值范圍是．故答案為：已知函數(shù)y＝mx2－mx－6＋m，若對于1≤m≤3，y＜0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(5),2)<x<\f(1＋\r(5),2)))))【詳解】解y＜0?mx2－mx－6＋m＜0?(x2－x＋1)m－6＜0．∵1≤m≤3，∴x2－x＋1＜eq\f(6,m)恒成立，∴x2－x＋1＜eq\f(6,3)?x2－x－1＜0?eq\f(1－\r(5),2)＜x＜eq\f(1＋\r(5),2)．∴x的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(5),2)<x<\f(1＋\r(5),2)))))．已知12?m?3，不等式x2+mx+【答案】{x＜?1或【詳解】解因為12?m?3時，不等式x2+mx+4>2m+4x恒成立，即m(x?2)+(x?2)2>0恒成立。當x=2時，不等式不成立，所以x≠2。令y=m(x?2)+(x?2)2(其中能成立問題能成立問題可以轉(zhuǎn)化為m>ymin或m＜ymax的形式，從而求y的最大值與最小值，從而求得參數(shù)的取值范圍．若存在實數(shù)，使mA． B． C． D．【答案】A【詳解】滿足題意時，應有：，令，則：m>f(x)min．函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對稱軸為直線x=1∵x∈[2，4]，∴x=2時，f(x)min=f(2)=22?2×2+5=5，∴m>5，即實數(shù)m的取值范圍是(5，+∞)．已知命題：“，使得成立”是真命題，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】利用分離參數(shù)法得，只需求出不等式右邊的最大值即可．【詳解】，，設(shè)，對稱軸為，在上單調(diào)遞增，故，即，，，使得成立，，，，故，關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)不等式有解可得當時，，結(jié)合二次函數(shù)的最值可求得結(jié)果．【詳解】在內(nèi)有解，，其中；設(shè)，則當時，，，解得：，的取值范圍為．若存在x∈R，使得eq\f(4x＋m,x2－2x＋3)≥2成立，求實數(shù)m的取值范圍．若存在x∈R，使得eq\f(4x＋m,x2－2x＋3)≥2成立，求實數(shù)m的取值范圍．解∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，∴m≥2x2－8x＋6能成立，令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，∴m≥－2，∴m的取值范圍為{m|m≥－2}解含參一元二次不等式對于含參數(shù)的一元二次不等式，若二次項系數(shù)為常數(shù)，則可先考慮分解因式，再對參數(shù)進行討論；若不易分解因式，則可對判別式分類討論，分類要不重不漏解關(guān)于的不等式：．【分析】根據(jù)條件得，討論與的大小，求解即可．【詳解】原不等式可化為，討論與的大?。?）當，即時，不等式的解為或；（2）當，即時，不等式的解為；（3）當，即時，不等式的解為或．綜上：當時，不等式的解為或；當時，不等式的解為；當時，不等式的解為或．解下列關(guān)于的不等式：．【分析】將原不等式變形為，對實數(shù)的取值進行分類討論，結(jié)合一次不等式和二次不等式的解法解原不等式，即可得解．【詳解】解：原不等式即為．（i）當時，則，解得，故不等式的解集為；（ii）當時，，解原不等式可得，此時原不等式的解集為；（iii）當時，，解原不等式可得或，此時，原不等式的解集為；（iv）當時，原不等式即為，解得，此時，原不等式的解集為；（v）當時，，解原不等式可得或，此時，原不等式的解集為．綜上所述，當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為．一元二次方程根的分布方程的一根大于1，一根小于1，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】利用一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即得．【詳解】∵方程的一根大于1，另一根小于1，令，則，解得．方程x2＋(m－3)x＋m＝0的兩根都是負數(shù)，則m的取值范圍為．【答案】【分析】由二次方程的兩負根為，有，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得到答案．【詳解】由二次方程的兩負根為，有∴m≥9．故答案為：關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不等實根，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【詳解】關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不等實根，令，則有，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．已知關(guān)于的方程的兩個實根一個小于，另一個大于，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)已知條件及方程的根與函數(shù)零點的等價關(guān)系，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】顯然，關(guān)于的方程對應的二次函數(shù)當時，二次函數(shù)的圖象開口向上，因為的兩個實根一個小于，另一個大于等價于二次函的圖象與軸的兩個零點一個小于0，另一個大于，所以，即，解得；②當時，二次函數(shù)的圖象開口向下，因為的兩個實根一個小于，另一個大于等價于二次函的圖象與軸的兩個零點一個小于0，另一個大于，所以，即，解得；綜上所述，實數(shù)的范圍是．（2023上·河北