高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)精講精練(新高考專用)專題1.1集合(原卷版+解析)

專題1.1集合【核心素養(yǎng)】1.與方程、函數(shù)、不等式等相結(jié)合考查集合元素的性質(zhì)，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).2.與不等式相結(jié)合考查集合的基本關(guān)系，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).3.與函數(shù)的概念、不等式、數(shù)軸、Venn圖等相結(jié)合考查集合的運(yùn)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng).知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一元素與集合（1）集合元素的特性：確定性、互異性、無序性．（2）集合與元素的關(guān)系：若a屬于集合A，記作；若b不屬于集合A，記作．（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、區(qū)間法、圖示法．（4）五個(gè)特定的集合及其關(guān)系圖：N*或N＋表示正整數(shù)集，N表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集．知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系(1)子集：若對(duì)任意x∈A，都有x∈B，則A?B或B?A.(2)真子集：若A?B，且集合B中至少有一個(gè)元素不屬于集合A，則AB或BA.(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.(4)空集的性質(zhì)：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集符號(hào)表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為CUA圖形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}求集合A的補(bǔ)集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其實(shí)是給定的條件.從全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素構(gòu)成的集合即為CUA.知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四集合的運(yùn)算性質(zhì)(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(CUA)＝?，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A.常用結(jié)論常用結(jié)論1.若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有2n－1個(gè).2.子集的傳遞性：A?B，B?C?A?C.3.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B?CUA?CUB.4.CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB).?？碱}型剖析?？碱}型剖析題型一：集合的基本概念【典例分析】例1-1.（2023·北京海淀·校考模擬預(yù)測）設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)m=（

）A．0 B． C．0或 D．0或1例1-2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）集合的元素個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【規(guī)律方法】與集合中的元素有關(guān)的問題的三種求解策略(1)研究一個(gè)用描述法表示的集合時(shí)，首先要看集合中的代表元素，即確定這個(gè)集合是數(shù)集還是點(diǎn)集等，然后再看元素的限制條件.(2)根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.(3)集合中的元素與方程有關(guān)時(shí)，注意一次方程和一元二次方程的區(qū)別.【變式訓(xùn)練】變式1-1.（2023·北京東城·統(tǒng)考一模）已知集合，且，則a可以為（

）A．－2 B．－1 C． D．變式1-2.（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)集合，，，則中的元素個(gè)數(shù)為______．題型二：集合間的基本關(guān)系例2-1.（2023·江西·金溪一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知集合，，若，則（

）A． B．0 C．1 D．2例2-2.（2023·廣東茂名·統(tǒng)考二模）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【方法技巧】(1)判斷兩集合之間的關(guān)系的方法：當(dāng)兩集合不含參數(shù)時(shí)，可直接利用數(shù)軸、圖示法進(jìn)行判斷；當(dāng)集合中含有參數(shù)時(shí)，需要對(duì)滿足條件的參數(shù)進(jìn)行分類討論或采用列舉法．(2)要確定非空集合A的子集的個(gè)數(shù)，需先確定集合A中的元素的個(gè)數(shù)，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．(3)根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)值(或取值范圍)的關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、圖示法來解決這類問題．【易錯(cuò)警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時(shí)，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會(huì)造成漏解．【變式訓(xùn)練】變式2-1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，則集合A的子集的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．7 D．8變式2-2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，，則實(shí)數(shù)a的值是________題型三：集合的基本運(yùn)算【典例分析】例3-1.（2023·北京通州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．例3-2．（2023·安徽·校聯(lián)考二模）若集合，則的元素個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5例3-3.（2023·陜西西安·西安一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）若集合，集合，則中整數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）．A．5 B．6 C．7 D．8【規(guī)律方法】如何解集合運(yùn)算問題(1)看元素構(gòu)成:集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問題的關(guān)鍵.(2)對(duì)集合化簡:有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問題簡單明了、易于解決.(3)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合:常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖.(4)創(chuàng)新性問題:以集合為依托，對(duì)集合的定義、運(yùn)算、性質(zhì)進(jìn)行創(chuàng)新考查，但最終化為原來的集合知識(shí)和相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)來解決.【變式訓(xùn)練】變式3-1.（2023春·天津河西·高三天津市新華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．變式3-3.（2023春·江西撫州·高三金溪一中校考階段練習(xí)）已知全集，集合，則集合等于（

）A． B．C． D．題型四：利用集合的運(yùn)算求參數(shù)【典例分析】例4-1.（2023·海南·?？谑协偵饺A僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知、，集合，集合，若，則（

）A． B． C．或 D．例4-2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，集合，且，則（

）A． B． C． D．【規(guī)律方法】利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值或取值范圍的方法①與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點(diǎn)值能否取到；②若集合能一一列舉，則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系，再列方程(組)求解．【易錯(cuò)警示】（1）認(rèn)清元素的屬性．解決集合問題時(shí)，認(rèn)清集合中元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合是正確求解的兩個(gè)先決條件．（2）注意元素的互異性．在解決含參數(shù)的集合問題時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中元素的互異性，否則很可能會(huì)因?yàn)椴粷M足“互異性”而導(dǎo)致錯(cuò)誤．（3）防范空集．在解決有關(guān)等集合問題時(shí)，往往容易忽略空集的情況，一定要先考慮時(shí)是否成立，以防漏解．【變式訓(xùn)練】變式4-1.（2023春·廣東揭陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知集合，若，則的值不可能是（

）A． B． C．0 D．3變式4-2.（2023·天津河?xùn)|·一模）已知集合，，，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．題型五：集合的新定義問題【典例分析】例5-1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）在R上定義運(yùn)算，若關(guān)于x的不等式的解集是集合的子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．例5-2．（2023·湖北·統(tǒng)考二模）已知X為包含v個(gè)元素的集合（，）．設(shè)A為由X的一些三元子集（含有三個(gè)元素的子集）組成的集合，使得X中的任意兩個(gè)不同的元素，都恰好同時(shí)包含在唯一的一個(gè)三元子集中，則稱組成一個(gè)v階的Steiner三元系．若為一個(gè)7階的Steiner三元系，則集合A中元素的個(gè)數(shù)為_____________．【規(guī)律方法】解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點(diǎn)：(1)緊扣新定義．首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；(2)用好集合的性質(zhì)．解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的運(yùn)算與性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】變式5-1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義集合，設(shè)集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．變式5-2.（2023·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對(duì)任意，都有(除數(shù))，則稱是一個(gè)數(shù)域，則下列集合為數(shù)域的是（

）A．N B．Z C．Q D．1．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．2.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若集合，則（

）A． B． C． D．3.（2020·全國高考真題（理））設(shè)集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a=（）A．–4 B．–2 C．2 D．41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．8 D．162．（2023·陜西西安·校聯(lián)考一模）已知集合，則（

）A． B．C． D．3．（2023·陜西寶雞·?？寄M預(yù)測）設(shè)A、B、C是三個(gè)集合，若，則下列結(jié)論不正確的是（

）．A． B． C． D．4.（2023·廣東湛江·統(tǒng)考二模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．5．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？级＃┤艏希?，則（

）A． B． C． D．6．（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預(yù)測）設(shè)集合，，則（

）．A． B． C． D．7．（2023春·河南新鄉(xiāng)·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)x的取值集合為（

）A． B． C． D．8.（2023·天津和平·統(tǒng)考一模）已知全集，則中元素個(gè)數(shù)為（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)9．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知集合，，則的非空子集個(gè)數(shù)為（

）A．7 B．8 C．15 D．1610．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·校聯(lián)考二模）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，且，則（

）A． B． C． D．12.（2023·內(nèi)蒙古包頭·二模）設(shè)集合，且，則（

）A． B． C．8 D．6專題1.1集合【核心素養(yǎng)】1.與方程、函數(shù)、不等式等相結(jié)合考查集合元素的性質(zhì)，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).2.與不等式相結(jié)合考查集合的基本關(guān)系，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).3.與函數(shù)的概念、不等式、數(shù)軸、Venn圖等相結(jié)合考查集合的運(yùn)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng).知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一元素與集合（1）集合元素的特性：確定性、互異性、無序性．（2）集合與元素的關(guān)系：若a屬于集合A，記作；若b不屬于集合A，記作．（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、區(qū)間法、圖示法．（4）五個(gè)特定的集合及其關(guān)系圖：N*或N＋表示正整數(shù)集，N表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集．知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系(1)子集：若對(duì)任意x∈A，都有x∈B，則A?B或B?A.(2)真子集：若A?B，且集合B中至少有一個(gè)元素不屬于集合A，則AB或BA.(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.(4)空集的性質(zhì)：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集符號(hào)表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為CUA圖形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}求集合A的補(bǔ)集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其實(shí)是給定的條件.從全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素構(gòu)成的集合即為CUA.知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四集合的運(yùn)算性質(zhì)(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(CUA)＝?，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A.常用結(jié)論常用結(jié)論1.若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有2n－1個(gè).2.子集的傳遞性：A?B，B?C?A?C.3.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B?CUA?CUB.4.CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB).常考題型剖析?？碱}型剖析題型一：集合的基本概念【典例分析】例1-1.（2023·北京海淀·?？寄M預(yù)測）設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)m=（

）A．0 B． C．0或 D．0或1【答案】C【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分別討論和兩種情況，求解并檢驗(yàn)集合的互異性，可得到答案.【詳解】設(shè)集合，若，，或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；所以或.故選：C例1-2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）集合的元素個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意利用列舉法寫出集合A中的元素即可得出答案．【詳解】集合，所以集合的元素個(gè)數(shù)為9個(gè)．故選：B．【規(guī)律方法】與集合中的元素有關(guān)的問題的三種求解策略(1)研究一個(gè)用描述法表示的集合時(shí)，首先要看集合中的代表元素，即確定這個(gè)集合是數(shù)集還是點(diǎn)集等，然后再看元素的限制條件.(2)根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.(3)集合中的元素與方程有關(guān)時(shí)，注意一次方程和一元二次方程的區(qū)別.【變式訓(xùn)練】變式1-1.（2023·北京東城·統(tǒng)考一模）已知集合，且，則a可以為（

）A．－2 B．－1 C． D．【答案】B【分析】求出集合，結(jié)合元素與集合關(guān)系判斷即可.【詳解】∵，∴，∴，可知，故A、C、D錯(cuò)誤；，故B正確.故選：B變式1-2.（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)集合，，，則中的元素個(gè)數(shù)為______．【答案】4【分析】求出所有的值，根據(jù)集合元素的互異性可判斷個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)榧现械脑?，，，所以?dāng)時(shí)，，2，3，此時(shí)，6，7．當(dāng)時(shí)，，2，3，此時(shí)，7，8．根據(jù)集合元素的互異性可知，，6，7，8．即，共有4個(gè)元素．故答案為：4．題型二：集合間的基本關(guān)系例2-1.（2023·江西·金溪一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知集合，，若，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)，可得兩集合元素全部相等，分別求和，再根據(jù)集合元素的互異性可確定，的值，進(jìn)而得出答案.【詳解】由題意可知，兩集合元素全部相等，得到或，又根據(jù)集合互異性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，則，故選：A例2-2.（2023·廣東茂名·統(tǒng)考二模）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先解出集合,再根據(jù)列不等式直接求解.【詳解】集合，.要使，只需，解得：.故選：A【方法技巧】(1)判斷兩集合之間的關(guān)系的方法：當(dāng)兩集合不含參數(shù)時(shí)，可直接利用數(shù)軸、圖示法進(jìn)行判斷；當(dāng)集合中含有參數(shù)時(shí)，需要對(duì)滿足條件的參數(shù)進(jìn)行分類討論或采用列舉法．(2)要確定非空集合A的子集的個(gè)數(shù)，需先確定集合A中的元素的個(gè)數(shù)，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．(3)根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)值(或取值范圍)的關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、圖示法來解決這類問題．【易錯(cuò)警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時(shí)，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會(huì)造成漏解．【變式訓(xùn)練】變式2-1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，則集合A的子集的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】D【分析】用列舉法表示集合A，再寫出其子集即可作答.【詳解】集合，則集合A的子集有：，共8個(gè)，所以集合A的子集的個(gè)數(shù)為8.故選：D變式2-2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，，則實(shí)數(shù)a的值是________【答案】【分析】根據(jù)，列出元素之間的關(guān)系，即可求解實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，因?yàn)?，，所以，解?當(dāng)時(shí)，，滿足要求.所以.故答案為：.題型三：集合的基本運(yùn)算【典例分析】例3-1.（2023·北京通州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用補(bǔ)集的定義可得正確的選項(xiàng)．【詳解】全集，集合，由補(bǔ)集定義可知：或，即，故選：D．例3-2．（2023·安徽·校聯(lián)考二模）若集合，則的元素個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先化簡集合，然后利用交集運(yùn)算求解.【詳解】由題意得，，故，即共有4個(gè)元素，故選：C．例3-3.（2023·陜西西安·西安一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）若集合，集合，則中整數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)不等式的解法，分別求得集合，，結(jié)合集合并集的運(yùn)算，求得，進(jìn)而得到答案.【詳解】由題意，可得集合，，則，其中集合有，共有個(gè).故選：C.【規(guī)律方法】如何解集合運(yùn)算問題(1)看元素構(gòu)成:集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問題的關(guān)鍵.(2)對(duì)集合化簡:有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問題簡單明了、易于解決.(3)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合:常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖.(4)創(chuàng)新性問題:以集合為依托，對(duì)集合的定義、運(yùn)算、性質(zhì)進(jìn)行創(chuàng)新考查，但最終化為原來的集合知識(shí)和相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)來解決.【變式訓(xùn)練】變式3-1.（2023春·天津河西·高三天津市新華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合，，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【詳解】依題意得，，所以．故選：C．變式3-2.（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考二模）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先解絕對(duì)值不等式求出集合，再求出集合，最后根據(jù)補(bǔ)集、交集的定義計(jì)算可得.【詳解】由，得，所以，不等式的解集為，所以，所以或，所以；故選：A.變式3-3.（2023春·江西撫州·高三金溪一中校考階段練習(xí)）已知全集，集合，則集合等于（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先表示出集合與集合的等價(jià)條件，然后根據(jù)交集，并集和補(bǔ)集的定義進(jìn)行分析求解即可．【詳解】由題意知，，所以，，故選：B．題型四：利用集合的運(yùn)算求參數(shù)【典例分析】例4-1.（2023·海南·?？谑协偵饺A僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知、，集合，集合，若，則（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】利用交集運(yùn)算可得出，可得出，討論、的取值范圍，結(jié)合已知條件檢驗(yàn)可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榧?，集合，若，則，可得，若，則，此時(shí)，，不合乎題意；若，則，此時(shí)，，合乎題意.因此，.故選：D.例4-2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，集合，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，結(jié)合元素的互異性求解.【詳解】因?yàn)榧?，集合，且，所以，所以若，不滿足元素互異性，則或，滿足互異性，所以.故選：C．【規(guī)律方法】利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值或取值范圍的方法①與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點(diǎn)值能否取到；②若集合能一一列舉，則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系，再列方程(組)求解．【易錯(cuò)警示】（1）認(rèn)清元素的屬性．解決集合問題時(shí)，認(rèn)清集合中元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合是正確求解的兩個(gè)先決條件．（2）注意元素的互異性．在解決含參數(shù)的集合問題時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中元素的互異性，否則很可能會(huì)因?yàn)椴粷M足“互異性”而導(dǎo)致錯(cuò)誤．（3）防范空集．在解決有關(guān)等集合問題時(shí)，往往容易忽略空集的情況，一定要先考慮時(shí)是否成立，以防漏解．【變式訓(xùn)練】變式4-1.（2023春·廣東揭陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知集合，若，則的值不可能是（

）A． B． C．0 D．3【答案】B【分析】由集合A中的元素，計(jì)算可能出現(xiàn)在集合B中的元素，得到的值的范圍.【詳解】若，則的值可能是-3，0，3，不可能是-1.故選：B.變式4-2.（2023·天津河?xùn)|·一模）已知集合，，，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)知，討論、求a值，結(jié)合集合的性質(zhì)確定a值即可.【詳解】由知：，當(dāng)，即，則，與集合中元素互異性有矛盾，不符合；當(dāng)，即或，若，則，與集合中元素互異性有矛盾，不符合；若，則，，滿足要求.綜上，.故選：A題型五：集合的新定義問題【典例分析】例5-1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）在R上定義運(yùn)算，若關(guān)于x的不等式的解集是集合的子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)在R上定義運(yùn)算，結(jié)合分式不等式的解法求出不等式的解集，再根據(jù)集合的包含關(guān)系列出不等式，即可得解.【詳解】由得，即，解得，由題設(shè)知，解得.故選：C.例5-2．（2023·湖北·統(tǒng)考二模）已知X為包含v個(gè)元素的集合（，）．設(shè)A為由X的一些三元子集（含有三個(gè)元素的子集）組成的集合，使得X中的任意兩個(gè)不同的元素，都恰好同時(shí)包含在唯一的一個(gè)三元子集中，則稱組成一個(gè)v階的Steiner三元系．若為一個(gè)7階的Steiner三元系，則集合A中元素的個(gè)數(shù)為_____________．【答案】7【分析】令，列舉出所有三元子集，結(jié)合組成v階的Steiner三元系定義，確定中元素個(gè)數(shù).【詳解】由題設(shè)，令集合，共有7個(gè)元素，所以的三元子集，如下共有35個(gè)：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，因?yàn)橹屑蠞M足X中的任意兩個(gè)不同的元素，都恰好同時(shí)包含在唯一的一個(gè)三元子集，所以中元素滿足要求的有：、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；共有15種滿足要求的集合A，但都只有7個(gè)元素.故答案為：7【規(guī)律方法】解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點(diǎn)：(1)緊扣新定義．首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；(2)用好集合的性質(zhì)．解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的運(yùn)算與性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】變式5-1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義集合，設(shè)集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合的新定義求得，從而確定正確答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，故中元素的個(gè)數(shù)為.故選：B.變式5-2.（2023·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對(duì)任意，都有(除數(shù))，則稱是一個(gè)數(shù)域，則下列集合為數(shù)域的是（

）A．N B．Z C．Q D．【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)域的定義，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】，，故N不是數(shù)域，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，同理B選項(xiàng)錯(cuò)誤；任意，都有(除數(shù))，故Q是一個(gè)數(shù)域，C選項(xiàng)正確；對(duì)于集合，，，故不是數(shù)域，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C1．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用補(bǔ)集的定義可得正確的選項(xiàng)．【詳解】由補(bǔ)集定義可知：或，即，故選：D．2.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：D3.（2020·全國高考真題（理））設(shè)集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a=（）A．–4 B．–2 C．2 D．4【答案】B【解析】由題意首先求得集合A,B，然后結(jié)合交集的結(jié)果得到關(guān)于a的方程，求解方程即可確定實(shí)數(shù)a的值.【詳解】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故選：B.1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】解一元二次不等式，并結(jié)合已知用列舉法表示集合A作答.【詳解】解不等式，得，因此，所以集合的子集個(gè)數(shù)為.故選：C2．（2023·陜西西安·校聯(lián)考一模）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出集合，然后根據(jù)集合的并集運(yùn)算可得答案.【詳解】因?yàn)?，所?/p>