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第40講數(shù)列的基本知識與概念知識梳理知識點(diǎn)一、數(shù)列的概念(1)數(shù)列的定義:按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.(2)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系:從函數(shù)觀點(diǎn)看,數(shù)列可以看成以正整數(shù)集(或它的有限子集)為定義域的函數(shù)當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值.(3)數(shù)列有三種表示法,它們分別是列表法、圖象法和通項公式法.知識點(diǎn)二、數(shù)列的分類(1)按照項數(shù)有限和無限分:(2)按單調(diào)性來分:知識點(diǎn)三、數(shù)列的兩種常用的表示方法(1)通項公式:如果數(shù)列的第項與序號之間的關(guān)系可以用一個式子來表示,那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式.(2)遞推公式:如果已知數(shù)列的第1項(或前幾項),且從第二項(或某一項)開始的任一項與它的前一項(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示,那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.【解題方法總結(jié)】(1)若數(shù)列的前項和為,通項公式為,則注意:根據(jù)求時,不要忽視對的驗證.(2)在數(shù)列中,若最大,則若最小,則必考題型全歸納題型一:數(shù)列的周期性例1.(2024·全國·高三專題練習(xí))在數(shù)列中,已知,,,且,則(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】由,可得,因為,所以,整理得,由于,解得,從而,,可知,因為,所以.故選:C.例2.(2024·全國·高三專題練習(xí))在數(shù)列中,,對所有的正整數(shù)都有,則(

)A.

B.

C.

D.【答案】B【解析】由得,兩式相加得,,是以6為周期的數(shù)列,而,.故選:B.例3.(2024·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習(xí))斐波那契數(shù)列可以用如下方法定義:,且,若此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個新數(shù)列,則數(shù)列的第100項為(

)A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】由題意有,且,若此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個新數(shù)列,則,,,,,,,,,則數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列,則,則數(shù)列的第100項為3,故選:.變式1.(2024·全國·高三對口高考)已知數(shù)列中,,則(

)A. B. C.2 D.1【答案】A【解析】數(shù)列中,,可知,,,故數(shù)列是以3為最小正周期的周期數(shù)列,所以.故選:A變式2.(2024·全國·高三對口高考)設(shè)函數(shù)定義如下,數(shù)列滿足,且對任意自然數(shù)均有,則的值為(

)x1234541352A.1 B.2 C.4 D.5【答案】B【解析】由對任意自然數(shù)均有,且,可得,,,,,,所以數(shù)列是項為周期的周期數(shù)列,且前四項分別為,所以.故選:B.變式3.(2024·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)校考模擬預(yù)測)在數(shù)列中,已知,當(dāng)時,是的個位數(shù),則(

)A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】因為,當(dāng)時,是的個位數(shù),所以,,,,,,,,,,可知數(shù)列中,從第3項開始有,即當(dāng)時,的值以6為周期呈周期性變化,又,故.故選:C.變式4.(2024·北京通州·統(tǒng)考三模)數(shù)列中,,則(

)A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】因為,令,則,求得,令,則,求得,令,則,求得,令,則,求得,令,則,求得,令,則,求得,,所以數(shù)列的周期為,則.故選:C【解題方法總結(jié)】解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項,確定數(shù)列的周期,再根據(jù)周期性求值.題型二:數(shù)列的單調(diào)性例4.(2024·北京密云·統(tǒng)考三模)設(shè)數(shù)列的前n項和為,則“對任意,”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不是充分也不是必要條件【答案】A【解析】數(shù)列中,對任意,,則,所以數(shù)列為遞增數(shù)列,充分性成立;當(dāng)數(shù)列為遞增數(shù)列時,,即,所以,,如數(shù)列不滿足題意,必要性不成立;所以“對任意,”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選:A例5.(2024·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列滿足,若存在實(shí)數(shù),使單調(diào)遞增,則的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】由單調(diào)遞增,得,由,得,∴.時,得①,時,得,即②,若,②式不成立,不合題意;若,②式等價為,與①式矛盾,不合題意.綜上,排除B,C,D.故選:A例6.(2024·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列滿足,若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列,則的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得,兩式相減可得,則,當(dāng)時,可得滿足上式,故,所以,因數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列,即,則整理得,令,則,當(dāng)時,,當(dāng)時,,于是得是數(shù)列的最大項,即當(dāng)時,取得最大值,從而得,所以的取值范圍為.故選:A變式5.(2024·天津武清·高三天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)??奸_學(xué)考試)數(shù)列的通項公式為,則“”是“為遞增數(shù)列”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充要條件【答案】B【解析】由題意得數(shù)列為遞增數(shù)列等價于對任意恒成立,即對任意恒成立,因為,且可以無限接近于0,所以,所以“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件,故選:B變式6.(2024·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列的通項公式為,則“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若數(shù)列為遞增數(shù)列,則,即由,所以有,反之,當(dāng)時,,則數(shù)列為遞增數(shù)列,所以“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充要條件,故選:C.變式7.(2024·江蘇南通·高三期末)已知數(shù)列是遞增數(shù)列,且,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】因為,是遞增數(shù)列,所以,解得,所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為,故選:C變式8.(2024·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列滿足,若是遞增數(shù)列,則的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】因為是遞增數(shù)列,所以,即.如圖所示,作出函數(shù)和的圖象,由圖可知,當(dāng)時,,且.故當(dāng)時,,且,依此類推可得,滿足是遞增數(shù)列,即的取值范圍是.故選:A.變式9.(2024·甘肅張掖·高臺縣第一中學(xué)??寄M預(yù)測)已知數(shù)列為遞減數(shù)列,其前n項和,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

).A. B. C. D.【答案】A【解析】因為,所以數(shù)列為遞減數(shù)列,當(dāng)時,,故可知當(dāng)時,單調(diào)遞減,故為遞減數(shù)列,只需滿足,即.故選:A【解題方法總結(jié)】解決數(shù)列的單調(diào)性問題的3種方法作差比較法根據(jù)的符號判斷數(shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列作商比較法根據(jù)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷數(shù)形結(jié)合法結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷題型三:數(shù)列的最大(?。╉椑?.(2024·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測)數(shù)列和數(shù)列的公共項從小到大構(gòu)成一個新數(shù)列,數(shù)列滿足:,則數(shù)列的最大項等于______.【答案】/1.75【解析】數(shù)列和數(shù)列的公共項從小到大構(gòu)成一個新數(shù)列為:,該數(shù)列為首項為1,公差為的等差數(shù)列,所以,所以因為所以當(dāng)時,,即,又,所以數(shù)列的最大項為第二項,其值為.故答案為:.例8.(2024·全國·高三專題練習(xí))記為數(shù)列的前n項和,若,則的最小值為______.【答案】【解析】依題意,數(shù)列是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,則,于是,令,則有,顯然當(dāng)時,,即,因此當(dāng)時,數(shù)列是遞增的,又,所以的最小值為.故答案為:例9.(2024·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列滿足,,則的最小值為_________【答案】9【解析】由已知可得,,所以當(dāng)時,有.則有,,,,兩邊分別相加可得,,所以.當(dāng)時,滿足條件.所以,,所以.設(shè),根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)時,單調(diào)遞減;當(dāng)時,單調(diào)遞增.又,,所以,當(dāng)或時,有最小值為9.故答案為:9.變式10.(2024·全國·高三專題練習(xí))已知正項數(shù)列滿足,,,若是唯一的最大項,則k的取值范圍為______.【答案】【解析】因為,所以,又,,所以是首項為64,公比為k的等比數(shù)列,則,則,因為是唯一的最大項,所以,即,解得,即k的取值范圍為.故答案為:.變式11.(2024·高三課時練習(xí))數(shù)列的通項公式為若是中的最大項,則a的取值范圍是______.【答案】【解析】當(dāng)時,單調(diào)遞增,因此時,取得最大值為,當(dāng)時,,因為是中的最大項,所以解得,故答案為:.變式12.(2024·北京·高三北京八中校考階段練習(xí))數(shù)列中,,則此數(shù)列最大項的值是__________.【答案】【解析】設(shè),則該數(shù)列當(dāng)時,取最大值,又因為,而,故當(dāng)或時,此數(shù)列取最大項,其值為,,故此數(shù)列最大項的值是:故答案為:變式13.(2024·全國·高三專題練習(xí))已知,若數(shù)列中最小項為第3項,則______.【答案】【解析】因為開口向上,對稱軸為,則由題意知,所以.故答案為:.變式14.(2024·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列的通項公式為,則的最小值為___________.【答案】/【解析】因為,易知數(shù)列為遞增數(shù)列,所以數(shù)列的最小項為,即最小值為.故答案為:【解題方法總結(jié)】求數(shù)列的最大項與最小項的常用方法(1)將數(shù)列視為函數(shù)當(dāng)x∈N*時所對應(yīng)的一列函數(shù)值,根據(jù)f(x)的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象,或利用求函數(shù)最值的方法,求出的最值,進(jìn)而求出數(shù)列的最大(?。╉棧?)通過通項公式研究數(shù)列的單調(diào)性,利用確定最大項,利用確定最小項.(3)比較法:若有或時,則,則數(shù)列是遞增數(shù)列,所以數(shù)列的最小項為;若有或時,則,則數(shù)列是遞減數(shù)列,所以數(shù)列的最大項為.題型四:數(shù)列中的規(guī)律問題例10.(2024·全國·高三專題練習(xí))分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué),它的研究對象普遍存在于自然界中,因此又被稱為“大自然的幾何學(xué)”.按照如圖1所示的分形規(guī)律,可得如圖2所示的一個樹形圖.若記圖2中第n行黑圈的個數(shù)為,則(

)A.110 B.128 C.144 D.89【解析】已知表示第n行中的黑圈個數(shù),設(shè)表示第n行中的白圈個數(shù),則由于每個白圈產(chǎn)生下一行的一個白圈和一個黑圈,一個黑圈產(chǎn)生下一行的一個白圈和2個黑圈,所以,,又因為,,所以,;,;,;,;,;.故選:C.例11.(2024·云南保山·統(tǒng)考二模)我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝126l年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表,即楊輝三角,這是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列,若去除所有為1的項,其余各項依次構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…,則此數(shù)列的第56項為(

A.11 B.12 C.13 D.14【解析】由題意可知:若去除所有的為1的項,則剩下的每一行的個數(shù)為1,2,3,4,...,可以看成構(gòu)成一個首項為1,公差為1的等差數(shù)列,則,可得當(dāng),所有項的個數(shù)和為55,第56項為12,故選:B.例12.(2024·全國·高三專題練習(xí))古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1,3,6,10,第n個三角形數(shù)為.記第n個k邊形數(shù)為,以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達(dá)式:三角形數(shù):;正方形數(shù):;五邊形數(shù):;六邊形數(shù):,可以推測的表達(dá)式,由此計算(

)A.4020 B.4010 C.4210 D.4120【解析】由題意可得:,,,.由此可歸納,所以,故選:B.變式15.(2024·全國·高三專題練習(xí))古希臘科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯對“形數(shù)”進(jìn)行了深入的研究,若一定數(shù)目的點(diǎn)或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形,則這樣的數(shù)稱為三角形數(shù),如1,3,6,10,15,21,…這些數(shù)量的點(diǎn)都可以排成等邊三角形,∴都是三角形數(shù),把三角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列叫做三角數(shù)列類似地,數(shù)1,4,9,16,…叫做正方形數(shù),則在三角數(shù)列中,第二個正方形數(shù)是(

)A.28 B.36 C.45 D.55【解析】由題意可得,三角數(shù)列的通項為,則三角數(shù)列的前若干項為1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,….,設(shè)正方形數(shù)按由小到大的順序排成的數(shù)列為,則,其前若干項為1,4,9,16,25,36,49,…,∴在三角數(shù)列中,第二個正方形數(shù)是36.故選:B.變式16.(2024·全國·高三專題練習(xí))早在3000年前,中華民族的祖先就已經(jīng)開始用數(shù)字來表達(dá)這個世界.在《乾坤譜》中,作者對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”進(jìn)行了一系列推論,用來解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理,如圖.該數(shù)列從第一項起依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60,72,…,若記該數(shù)列為,則(

)A.2018 B.2020 C.2022 D.2024【解析】由題設(shè)中的數(shù)據(jù)可知數(shù)列滿足:,,故,故選:B.變式17.(2024·全國·高三專題練習(xí))觀察下列各式:;;;;;則(

)A.28 B.76 C.123 D.10【解析】設(shè)則通過觀察不難發(fā)現(xiàn):從而故,故選:C.變式18.(2024·全國·高三專題練習(xí))古希臘科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯對“形數(shù)”進(jìn)行了深入的研究,若一定數(shù)目的點(diǎn)或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形,則這樣的數(shù)稱為三角形數(shù),如1,3,6,10,15,21,…這些數(shù)量的點(diǎn)都可以排成等邊三角形,∴都是三角形數(shù),把三角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列叫做三角數(shù)列.類似地,數(shù)1,4,9,16,…叫做正方形數(shù),則在三角數(shù)列中,第二個正方形數(shù)是()A.36 B.25 C.49 D.64【解析】由題意可得,三角數(shù)列的通項為,則三角數(shù)列的前若干項為1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,…,設(shè)正方形數(shù)按由小到大的順序排成的數(shù)列為,則,其前若干項為1,4,9,16,25,36,49,…,∴在三角數(shù)列中,第二個正方形數(shù)是36.故選:A.【解題方法總結(jié)】特殊值法、列舉法找規(guī)律題型五:數(shù)列的恒成立問題例13.(2024·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列的通項公式,前n項和是,對于,都有,則k=______.【答案】5【解析】如圖,為和的圖象,設(shè)兩個交點(diǎn)為,,因為,所以,因為,,所以,結(jié)合圖象可得,當(dāng)時,,即,當(dāng)時,,即,所以當(dāng)時,取得最大值,即.故答案為:5.例14.(2024·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列滿足,若恒成立,則實(shí)數(shù)k的最小值為______.【答案】/1.5【解析】∵,∴數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列,.從而,即k的最小值為.故答案為:例15.(2024·河南鄭州·高三校聯(lián)考階段練習(xí))數(shù)列滿足(,且),,對于任意有恒成立,則的取值范圍是___________.【答案】【解析】從而可得即,因為,所以.故答案為:變式19.(2024·全國·高三專題練習(xí))數(shù)列滿足,若不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】B【解析】,∵不等式恒成立,∴,解得,故選:B.變式20.(2024·河北唐山·高三唐山一中校考階段練習(xí))數(shù)列滿足,,若不等式,對任何正整數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)的最小值為A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意,由此可知,所以,所以,對任何正整數(shù)恒成立,即.考點(diǎn):數(shù)列與不等式.【解題方法總結(jié)】分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為最值問題.題型六:遞推數(shù)列問題例16.(2024·全國·高三專題練習(xí))設(shè)數(shù)列滿足,且,則數(shù)列的前2009項之和為______.【答案】/【解析】由,得,則,,∴數(shù)列是以4為周期的數(shù)列,.由可得,,.故答案為:.例17.(2024·全國·高三專題練習(xí))正項數(shù)列中,,,猜想通項公式為_________.【答案】【解析】方法一:由得,所以為等差數(shù)列,且公差為3,首項為1,故,故,方法二:由得,,由此可猜想故答案為:例18.(2024·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測)數(shù)列滿足,,寫出一個符合上述條件的數(shù)列的通項公式______.【答案】(答案不唯一)【解析】由得:,則當(dāng)時,,,故滿足遞推關(guān)系,又,滿足,滿足條件的數(shù)列的一個通項公式為:.故答案為:(答案不唯一).變式21.(2024·全國·模擬預(yù)測)斐波那契數(shù)列由意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例引入,故又稱為“兔子數(shù)列”,即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,….在實(shí)際生活中,很多花朵(如梅花、飛燕草、萬壽菊等)的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù),斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.斐波那契數(shù)列滿足:,,則是斐波那契數(shù)列中的第______項.【答案】【解析】由可得.故答案為:.變式22.(2024·全國·高三專題練習(xí))將一個2021邊形的每個頂點(diǎn)染為紅、藍(lán)、綠三種顏色之一,使得相鄰頂點(diǎn)的顏色互不相同.問:有多少種滿足條件的染色方法?【解析】記一個n邊形的每個頂點(diǎn)染為紅、藍(lán)、綠三種顏色之一,使得相鄰頂點(diǎn)的顏色互不相同的方法數(shù)為.易知,.對于任意一

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