KS5U2024高考壓軸卷-數(shù)學(xué)（理）（全國甲卷） 含解析

KS5U2024高考壓軸卷全國甲卷數(shù)學(xué)試卷(理工農(nóng)醫(yī)類)說明：1．本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4頁．考生作答時，須將答案答在答題卡上，在本試卷、草稿紙上答題無效．考試結(jié)束后，將答題卡交回．2．本試卷滿分150分，120分鐘完卷．第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.歐拉公式把自然對數(shù)的底數(shù)，虛數(shù)單位i，cosθ和sinθ聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，若復(fù)數(shù)滿足，則正確的是（）A.的共軛復(fù)數(shù)為 B.的實(shí)部為1C.的虛部為i D.的模為13.在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是（）A.16 B.19 C.21 D.244.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.5.執(zhí)行下面的程序框圖，輸出的（）A. B.C. D.6.已知向量，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)滿足約束條件，則的最大值為（）A. B.2 C. D.37.2023年7月28日至8月8日，第31屆世界夏季大學(xué)生運(yùn)動會在成都市舉行，組委會將5名大學(xué)生分配到A，B，C三個路口進(jìn)行引導(dǎo)工作，每個路口至少分配一人，每人只能去一個路口．若甲、乙要求去同一個路口，則不同的分配方案共有（）A.18種 B.24種 C.36種 D.48種8.α，β，γ為不同的平面，m，n，l為不同的直線，則m⊥β的一個充分條件是A. B.C. D.9.如今我國物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進(jìn)了社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展和資源整合．已知某類果蔬的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系．(a，b．為常數(shù))，若該果蔬在7℃的保鮮時間為288小時，在21℃的保鮮時間為32小時，且該果蔬所需物流時間為4天，則物流過程中果蔬的儲藏溫度(假設(shè)物流過程中恒溫)最高不能超過（）A.14℃ B.15℃ C.13℃ D.16℃10.“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．如圖是以正方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體，這是一個有八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長為，則該多面體外接球的表面積為（）A. B.C. D.11.設(shè)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是C上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若則C的離心率為（）A. B. C.3 D.212.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且，，則不等式的解集是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷(非選擇題共90分)本卷包括必考題和選考題兩部分，第13~21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．二、填空題：共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在答題卡上．13.已知為偶函數(shù)，則______.14.已知的三邊長，則的面積為__________.15.已知兩點(diǎn)，若直線上存在唯一點(diǎn)P滿足，則實(shí)數(shù)m的值為__________．16.已知F為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A、B，若拋物線C在A、B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)P，則的最小值為_______．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知為各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和,.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為,若對恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.18.某公司為了確定下季度的前期廣告投入計(jì)劃，收集并整理了近6個月廣告投入量x(單位：萬元)和收益y(單位：萬元)的數(shù)據(jù)如表(其中有些數(shù)據(jù)污損不清)：月份123456廣告投入量27810收益20303437他們分別用兩種模型①，②進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個模型?（2）殘差絕對值大于2的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除．（i）剔除異常數(shù)據(jù)后，求出（1）中所選模型的回歸方程；（ii）若廣告投入量x=19，則（1）中所選模型收益的預(yù)報(bào)值是多少萬元?(精確到0.01)附：對于一組數(shù)據(jù)其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：.19.如圖，在多面體中，四邊形為菱形，平面平面，平面平面,是等腰直角三角形，且.（1）證明：平面平面；（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值的取值范圍.20.已知橢圓的離心率為其左右焦點(diǎn)分別為下頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，的面積為（1）求橢圓C的方程;（2）設(shè)不過原點(diǎn)O的直線交C于M、N兩點(diǎn)，且直線的斜率依次成等比數(shù)列，求面積的取值范圍．21.設(shè)函數(shù)，．（1）試研究在區(qū)間上的極值點(diǎn)；（2）當(dāng)時，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．請考生在22、23二題中任選一題作答．注意：只能做所選定的題目．如果多做，則按所做第一個題目計(jì)分，做答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑．[選修4--4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程；（2）點(diǎn)分別為曲線與直線上的動點(diǎn)，求的最小值.[選修4--5:不等式選講]23.已知a、b、c、d均為正數(shù)，且．（1）證明:若，則;（2）若，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．KS5U2024高考壓軸卷全國甲卷數(shù)學(xué)試卷(理工農(nóng)醫(yī)類)答案1【KS5U答案】B【KS5U解析】因?yàn)?，，所?故選：B.2【KS5U答案】D【KS5U解析】由可得，所以，可得，所以的共軛復(fù)數(shù)為，即A錯誤；的實(shí)部為0，即B錯誤；的虛部為，所以C錯誤；的模為1，可知D正確.故選：D3【KS5U答案】B【KS5U解析】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，所以的展開式中含項(xiàng)為，所以展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是.故選：B4【KS5U答案】A【KS5U解析】由三角函數(shù)定義得所以.故選：A.5【KS5U答案】A【KS5U解析】根據(jù)流程框圖可知，第一次計(jì)算結(jié)果；第二次循環(huán)計(jì)算可得；第三次循環(huán)計(jì)算可得，不滿足，循環(huán)結(jié)束，此時輸出.故選：A6【KS5U答案】D【KS5U解析】易知，所以約束條件即為，畫出可行域如下圖陰影部分所示：將目標(biāo)函數(shù)變形可得，當(dāng)其在軸上的截距最小時，的取值最大；對直線，令，則，則，顯然當(dāng)直線平移到過點(diǎn)時，取最大值3.故選：D7【KS5U答案】C【KS5U解析】第一步：先將5名大學(xué)生分成三組，每組人數(shù)為1，1，3或1，2，2；當(dāng)分為1，1，3時，且甲、乙要求去同一個路口，則甲、乙必須在3人組，因此只需從剩下的3人中任選一人，其余兩人各自一組，共有種分法；當(dāng)分為1，2，2時，且甲、乙要求去同一個路口，則將剩下的3人分成兩組即可，共有種分法；第二步：再將分好的三組人員分配到三個路口，共有種分配方案；因此共種.故選：C8【KS5U答案】A【KS5U解析】因?yàn)棣?，β，γ為不同的平面，m，n，l為不同的直線，則m⊥β的一個充分條件是，選A9【KS5U答案】A【KS5U解析】依題意，，則，即，顯然，設(shè)物流過程中果蔬的儲藏溫度為t℃，于是，解得，因此，所以物流過程中果蔬的儲藏溫度最高不能超過14℃.故選：A10【KS5U答案】A【KS5U解析】將“阿基米德多面體”補(bǔ)全正方體，如下圖所示：不妨取兩棱中點(diǎn)為，由題知，易知，可得，所以正方體的棱長為2，該多面體的外接球即為正方體的棱切球，所以棱切球的直徑為該正方體的面對角線，長度為，因此該多面體的外接球的半徑為，所以其表面積為.故選：A11【KS5U答案】D【KS5U解析】令雙曲線的焦點(diǎn)，設(shè)，則，即有，，同理，而，故，因此，即，所以雙曲線C的離心率.故選：D12【KS5U答案】C【KS5U解析】構(gòu)造函數(shù)，則；因?yàn)椋援?dāng)時，，即，此時在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即，此時在上單調(diào)遞減；又，所以，即；所以函數(shù)圖象上的點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)也在函數(shù)圖象上，即函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，不等式變形為，即；可得，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，解得.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)，判斷出其單調(diào)性，再由得出其對稱性解不等式即可.13【KS5U答案】【KS5U解析】法一：特殊值法：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時，為偶函數(shù)，符合題意.法二：定義法：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，化簡得，所以，解得.故答案為：14.【KS5U答案】【KS5U解析】由余弦定理有，所以，所以的面積.15【KS5U答案】【KS5U解析】設(shè)點(diǎn)，則，由，得，因此點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，顯然直線與此圓相切，則，解得，所以實(shí)數(shù)m的值為.故答案為：16【KS5U答案】5【KS5U解析】由拋物線可知，顯然直線的斜率一定存在，可設(shè)直線的方程為，；如下圖所示：聯(lián)立拋物線和直線的方程，消去可得；由韋達(dá)定理可得；利用焦點(diǎn)弦公式可得；由可得，求導(dǎo)可得，所以拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，由，整理可得；同理可得點(diǎn)處的切線方程為；聯(lián)立解得，即；可得；所以，令，則；利用對勾函數(shù)性質(zhì)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；即的最小值為5.故答案為：5【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在求解拋物線在某點(diǎn)處的切線方程時，經(jīng)常利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程表達(dá)式即可解得交點(diǎn)坐標(biāo)，再由焦點(diǎn)弦公式得出的表達(dá)式可求得最小值.17【KS5U答案】（1）；（2）1.【分析】（1）先求得的值，然后利用與的關(guān)系推出數(shù)列為等差數(shù)列，由此求得的通項(xiàng)公式；（2）首先結(jié)合（1）求的表達(dá)式，然后用裂項(xiàng)法求得，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求得的最大值．【小問1詳解】當(dāng)時，由題設(shè)得，即，又，解得.由知：.兩式相減得：，即.由于，可得，即，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以.【小問2詳解】由得：.因?yàn)椋?，則數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，故實(shí)數(shù)的最大值是.18【KS5U答案】（1）模型①；（2）（i）；（ii）.【分析】（1）觀察殘差圖，利用殘差波動大小選擇.（2）（i）利用給定數(shù)據(jù)，計(jì)算最小二乘法公式中相關(guān)量，求出回歸直線方程；（ii）利用求得的回歸方程進(jìn)行數(shù)據(jù)估計(jì).【小問1詳解】由于模型①殘差波動小，應(yīng)該選擇模型①.【小問2詳解】（i）剔除異常數(shù)據(jù)，即3月份的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，，，，，，，所以所選模型的回歸方程為.（ii）若廣告投入量，則該模型收益的預(yù)報(bào)值是(萬元).19（1）.證明如圖，取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)?，平面平面，平面平面，所以平?同理，平面.所以.又和是等腰直角三角形，所以，四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)?，所以平面平?（2）解:如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，過平行于的直線為軸，在平面內(nèi)垂直于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則.所以.設(shè)平面的法向量為，則令，得，所以.設(shè)平面的法向量為，則令，得，所以.所以.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以所以，所以平面與平面所成銳二面角的取值范圍是.【命題意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)立體幾何問題，主要考查空間線線?線面位置關(guān)系，空間二面角等基礎(chǔ)知識；考查推理論證能力，空間想象能力，運(yùn)算求解能力；考查直觀想象，邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，應(yīng)用意識.20【KS5U答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率及的面積列式可得結(jié)果；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理及條件得到m與k的關(guān)系，由點(diǎn)到直線的距離公式、弦長公式表示面積，構(gòu)造函數(shù)可得結(jié)果.【小問1詳解】依題意，又，又，所以，所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】由題意可知，直線的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線：，，聯(lián)立直線和橢圓，化簡得，由題意可知，即，且，則，又直線的斜率依次成等比數(shù)列。即，則，所以且，設(shè)點(diǎn)O到直線的距離為，又，所以，令，，顯然在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，即，所以，故面積的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓中三角形的面積問題時，一般需要設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，弦長公式，點(diǎn)到直線距離公式等，表示出三角形的面積，再利用構(gòu)造函數(shù)或基本不等式的方法求解即可.21【KS5U答案】（1）無極值點(diǎn)；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性，判斷函數(shù)的極值點(diǎn).（2）按分類探討，利用（1）中信息，結(jié)合不等式性構(gòu)造函數(shù)并推理得，當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性判斷即得.【小問1詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則在上單調(diào)遞增，即有，于函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，所以在區(qū)間上沒有極值點(diǎn).【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)，則，設(shè)，求導(dǎo)得，設(shè)，求導(dǎo)得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，有，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，即，則對任意的恒成立，當(dāng)時，，則當(dāng)時，對任意的恒成立，當(dāng)時，設(shè)，求導(dǎo)得，顯然，而函數(shù)在上的圖象連續(xù)不斷，則存在實(shí)數(shù)，使得對于任意的，均有，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時，，即，不符合題意，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：①通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；②利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．③根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．22【KS5U答案】（1）曲線為，直線為（2）【分析】（1）利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式將曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)，結(jié)合直