2021屆陜西省榆林市高三下學(xué)期第三次模擬測試數(shù)學(xué)文試題解析版

2021屆陜西省榆林市高三下學(xué)期第三次模擬測試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】解一元二次不等式求集合，應(yīng)用集合的補運算求即可.【詳解】∵，，∴.故選：C.2．=（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)運算方法計算即可．【詳解】.故選：A.3．從某班名同學(xué)中選出人參加戶外活動，利用隨機數(shù)表法抽取樣本時，先將名同學(xué)按，，，進行編號，然后從隨機數(shù)表第行的第列和第列數(shù)字開始從左往右依次選取兩個數(shù)字，則選出的第個同學(xué)的編號為（）(注：表為隨機數(shù)表的第行與第行)A． B． C． D．【答案】C【分析】按要求兩個數(shù)字為一個號，不大于60且前面未出現(xiàn)的數(shù)，依次寫出即可【詳解】根據(jù)題意得：抽樣編號依次為，，，，第個是.故選：C4．已知平面向量，，，則=（）A．3 B．3 C．4 D．4【答案】A【分析】由得到坐標(biāo)，利用坐標(biāo)求即可.【詳解】∵，∴.故選：A.5．函數(shù)f(x)＝的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】判斷函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，排除B、C；再由x＞1時的函數(shù)值符號，排除A即可.【詳解】解：∵f（﹣x）＝＝f(x)，∴函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，排除選項B和C，當(dāng)x＞1時，ln|x|＝lnx＞0，∴f(x)＞0，排除選項A，故選：D．6．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知a＝1，b＝，A＝，則c＝（）A．1或2 B．1或 C．1 D．3【答案】A【分析】根據(jù)余弦定理，直接求邊.【詳解】解：由余弦定理知，，∴，化簡得，c2﹣3c+2＝0，解得c＝1或2．故選：A．7．已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由切線斜率和切點坐標(biāo)求得后可得結(jié)論．【詳解】由已知，，所以，，又＝，，所以．故選：B．8．已知函數(shù)，且，則（）A． B． C． D．3【答案】C【分析】令，則為奇函數(shù)，根據(jù)已知求出，，再由即可求出答案.【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)，則，則有，故，若，則，故選：C.9．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝4，AB⊥AC，M為BB1的中點，點N在棱CC1上，CN＝3NC1，則異面直線A1N與CM所成角的正切值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】在棱AA1上取一點D，使得AD＝1，連結(jié)CD，DM，則CD＝DM＝，，CD∥A1N，所以∠DCM即為A1N與CM所成的角，運用解三角形的知識求解可得選項．【詳解】解：在棱AA1上取一點D，使得AD＝1，連結(jié)CD，DM，則CD＝DM＝，，CD∥A1N，所以∠DCM即為A1N與CM所成的角，取CM的中點E，連結(jié)DE，所以，故，所以異面直線A1N與CM所成角的正切值為．故選：D．【點睛】思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩條異面直線所成的角．10．已知函數(shù)f(x)＝2sin2x（sin2x+cos2x）﹣1，則下列說法正確的是（）A．f(x)的最小正周期為πB．f(x)的最大值為2C．f(x)在[0，]上是增函數(shù)D．f(x)在[0，]上有4個零點【答案】C【分析】利用二倍角公式以及輔助角公式可得f(x)＝2sin2x（sin2x+cos2x）﹣1＝sin（4x﹣），再由三角函數(shù)性質(zhì)即可求解.【詳解】解：函數(shù)f(x)＝2sin2x（sin2x+cos2x）﹣1＝2sin22x﹣1+2sin2xcos2x＝sin4x﹣cos4x＝sin（4x﹣）．所以函數(shù)的周期為：T＝＝，所以A不正確；函數(shù)的最大值為，所以B不正確；，解得，所以f(x)在[0，]上是增函數(shù)，所以C正確；f(x)在[0，]上有2個零點，所以D不正確．故選：C．11．陽馬，中國古代算數(shù)中的一種幾何體，它是底面為長方形，兩個三角面與底面垂直的四棱錐.已知在陽馬中，平面，且陽馬的體積為9，則陽馬外接球表面積的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用陽馬的體積，結(jié)合外接球的半徑，通過長方體體對角線長以及基本不等式求解外接球的表面積的最小值即可.【詳解】由題意可知陽馬的體積為：，設(shè)陽馬的外接球的半徑為R，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以陽馬的外接球的表面積.故選：C.12．已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F的直線交C于A，B兩點，點A在第一象限，P(0，6)，O為坐標(biāo)原點，則四邊形OPAB面積最小時直線AB的方程是（）A．3x+4y﹣4=0 B．4x+3y﹣4=0C．4x+5y﹣4=0 D．5x+4y﹣4=0【答案】B【分析】由拋物線的方程求出焦點坐標(biāo)，從而設(shè)直線AB的方程為x=my+1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1>0，聯(lián)立直線和拋物線方程，從而可得y1y2=﹣4，通過分割法將四邊形看成三個三角形的和，從而可得S==，設(shè)f(x)=，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求出函數(shù)何時取最小值，即可求出的坐標(biāo)，從而求出直線的方程.【詳解】解：拋物線C：y2=4x的焦點F(1，0)，設(shè)直線AB的方程為x=my+1，聯(lián)立，可得y2﹣4my﹣4=0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1>0，則y1y2=﹣4，四邊形OPAB的面積S==.令f(x)=，則f′(x)=，當(dāng)x∈(0，1)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1，+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=1時，即當(dāng)y1=1時，四邊形OPAB的面積最小，此時A(，1)，B(4，﹣4)，直線AB的方程為4x+3y﹣4=0.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛:本題的關(guān)鍵是用點的縱坐標(biāo)表示出四邊形的面積后，結(jié)合函數(shù)的思想求出何時面積取最大值.二、填空題13．設(shè)x，y滿足約束條件，則的最大值是___________.【答案】5【分析】由已知約束條件畫出可行域，根據(jù)所代表的直線平移，與可行域有交點的情況下要使最大，直線在數(shù)軸上的截距最大，結(jié)合圖形確定臨界點，進而求的最大值.【詳解】由得：，由約束條件作出可行域如圖(陰影部分)：平移直線，要使最大，即直線與可行域有交點時在x或y軸上的截距最大，由圖象可知，當(dāng)直線經(jīng)過點時，截距最大，此時.∴的最大值為5.故答案為：5.14．某產(chǎn)品的零售價x(元)與每天的銷售量(個)統(tǒng)計如下表：x6789y40312421據(jù)上表可得回歸直線方程為，=___________.(用數(shù)字作答)【答案】77【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)求樣本中心點，由樣本中心在回歸直線上，代入即可求.【詳解】由表格數(shù)據(jù)，=(6+7+8+9)=7.5，=(40+31+24+21)=29，故樣本中心(7.5,29)，∴樣本中心代入回歸直線方程，有，解得.故答案為：77.15．《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章給出了弧田（由圓弧和其所對弦所圍成）面積的計算公式：弧田面積（弦矢矢）．公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于圓弧的最高點到弦的距離．如圖，弧田是由圓弧和其所對弦圍成的圖形，若弧田的弧長為，弧所在的圓的半徑為4，則利用九章算術(shù)中的弧田面積公式計算出來的面積與實際面積之差為______．【答案】【分析】設(shè)圓弧所對圓心角的弧度為，由題意求得．再運用扇形面積公式公式和三角形面積公式求得弧田實際的面積，利用九章算術(shù)中的弧田面積公式計算面積，可得答案.【詳解】設(shè)圓弧所對圓心角的弧度為，由題可知，解得．故扇形的面積為，三角形的面積為，故弧田實際的面積為．作分別交，于點，，則，，所以利用九章算術(shù)中的弧田面積公式計算出來的面積為，則所求差值為．故答案為：.

16．已知雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，以O(shè)F1為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點M（異于坐標(biāo)原點O），若線段MF1交雙曲線于點P，且MF2∥OP，則該雙曲線的離心率為_____．【答案】．【分析】將漸近線方程與圓的方程聯(lián)立，求出M（﹣，），P為F1M的中點，求出P（﹣，），代入雙曲線方程即可求解.【詳解】解：設(shè)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），由，解得M（﹣，），因為MF2∥OP，O為F1F2的中點，所以P為F1M的中點，所以P（﹣，），將P的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，可得＝1，化簡可得c2＝2a2，則e＝＝．故答案為：．三、解答題17．在等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}中，已知a1+a2=a3，3a2﹣a5=1，b2=a1a4，b2+b5=36.（1）求{an}，{bn}的通項公式；（2）求數(shù)列{an?bn}的前n項和Tn.【答案】（1）an=n，；（2）.【分析】（1）分別回到等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本量建立方程組，解出基本量，從而就可以求出通項；（2）運用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列中的公比為，由于已知.建立方程組，解得，所以.（2）由（1）得，所以①，2②，①﹣②得，﹣，整理得.18．新能源汽車是指除汽油、柴油發(fā)動機之外所有的其他能源汽車，被認為能減少空氣污染和緩解能源短缺.在當(dāng)今提倡全球環(huán)保的前提下，新能源汽車產(chǎn)業(yè)必將成為未來汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的導(dǎo)向與目標(biāo).新能源汽車也越來越受到消費者的青睞.某機構(gòu)調(diào)查了某地區(qū)近期購車的位車主的性別與購車種類情況，得到數(shù)據(jù)如下：購置新能源汽車購置傳統(tǒng)燃油汽車合計男性女性合計（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有的把握認為是否購置新能源汽車與性別有關(guān)；（2）用分層抽樣的方法按性別從被調(diào)查的購置新能源汽車的車主中選出位，參加關(guān)于“新能源汽車駕駛體驗”的問卷調(diào)查，并從這位車主中隨機抽取位車主贈送一份小禮物，求這位獲贈禮品的車主中至少有位女性車主的概率.附：，.參考數(shù)據(jù)：【答案】（1）有的把握認為購置新能源汽車與性別有關(guān)；（2）.【分析】（1）利用列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算出的觀測值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；（2）分析可知所抽取的位車主中，男性人，記為、、、，女性人，記為、，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】（1）由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，因此，有的把握認為購置新能源汽車與性別有關(guān)；（2）用分層抽樣的方法按性別從被調(diào)查的購置新能源汽車的車主中選出位，男性人，記為、、、，女性人，記為、，選取名學(xué)生共有：、、、、、、、、、、、、、、，共種，其中，事件“從這位車主中隨機抽取位車主贈送一份小禮物，這位獲贈禮品的車主中至少有位女性車主”所包含的基本事件有：、、、、、、、、，共種，所以這位獲贈禮品的車主中至少有位女性車主的概率.【點睛】方法點睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）列舉法；（2）列表法；（3）數(shù)狀圖法；（4）排列組合數(shù)的應(yīng)用.19．如圖，在棱長為6的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E是BB1的中點，點F在棱AB上，且AF=2FB，設(shè)直線BD1、DE相交于點G.（1）證明：GF平面AA1D1D；（2）求B到平面GEF的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接AD1，根據(jù)等比例關(guān)系易得FGAD1，根據(jù)線面平行的判定即可證GF平面AA1D1D；（2）若正方體的棱長為6，求、GE、，由余弦定理求可得，進而求、及G到平面BEF的距離，由等體積知VB﹣GEF=VG﹣BEF即可求B到平面GEF的距離.【詳解】（1）證明：連接AD1，則，∴FGAD1，又AD1平面AA1D1D，F(xiàn)G平面AA1D1D，∴GF平面AA1D1D；（2）由題意，若正方體的棱長為6，則，GE=DE=×，，在△GEF中，由余弦定理可得cos，則sin，∴，，且G到平面BEF的距離為2，設(shè)B到平面GEF的距離為h，由等體積法有VB﹣GEF=VG﹣BEF，∴，解得，故B到平面GEF的距離為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，應(yīng)用等體積法有VB﹣GEF=VG﹣BEF求點面距離.20．已知函數(shù)f(x)=lnx.（1）點P為f(x)圖象上一點，求點P到直線x﹣ey+6=0的距離的最小值；（2）若關(guān)于x的不等式f(x)≤(x2+a﹣1)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）[0，+∞).【分析】（1）當(dāng)與直線x﹣ey+6=0平行的直線與曲線f(x)=lnx切于P(x0，lnx0)時，點P到直線x﹣ey+6=0的距離的最小，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切點，結(jié)合點到直線距離公式即可求解結(jié)果；（2）依條件得a≥2lnx﹣x2+1在(0，+∞)上恒成立，令h(x)=2lnx﹣x2+1求導(dǎo)分析單調(diào)性，求出最大值即可得實數(shù)a的取值范圍．【詳解】解：（1）設(shè)與直線x﹣ey+6=0平行的直線與曲線f(x)=lnx切于P(x0，lnx0)，由f(x)=lnx，得，則，由，得x0=e，則切點P(e，1)，點P到直線x﹣ey+6=0的距離的最小值為；（2）f(x)≤(x2+a﹣1)恒成立，即a≥2lnx﹣x2+1在(0，+∞)上恒成立，令h(x)=2lnx﹣x2+1，則，當(dāng)x∈(0，1)時，h′(x)>0，當(dāng)x∈(1，+∞)時，h′(x)<0，∴h(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減，∴h(x)有最大值為h（1）=2ln1﹣12+1=0.∴實數(shù)a的取值范圍是[0，+∞).【點睛】方法點睛：已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．21．已知橢圓的焦距為，且點在上.（1）求的方程；（2）若直線與相交于，兩點，且線段被直線平分，求(為坐標(biāo)原點)面積的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【分析】（1）由題得，求出即可得出方程；（2）利用點差法可得，設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立，利用弦長公式和點到直線距離公式即可表示出三角形面積，根據(jù)m的取值范圍可求最值.【詳解】解：（1）依題意可知，解得，故的方程為.（2）易得直線的方程為，設(shè)，，為的中點，其中，因為，在橢圓上，所以，兩式相減可得.可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理得，則，解得，則，，則，原點到直線的距離，則的面積.當(dāng)且僅當(dāng)，即時，的面積有最大值，且最大值為.【點睛】方法點睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點為，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程；（3）寫出韋達定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；（5）代入韋達定理求解.22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的傾斜角為a，且過點P（0，﹣2），以直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ．（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線l與曲線C交于不同的兩點M，N，求|PM|+|PN|的最大值．【答案】（1）（x﹣2）2+y2＝4；（2）4．【分析】（1）根據(jù)將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；（2）寫出直線l的參數(shù)方程，代入曲線的直角坐標(biāo)方程可得關(guān)于t的一元二次方程，根據(jù)直線參數(shù)的幾何意義表示出|PM|+|PN|，利用三角函數(shù)的有界性求其最大值.【詳解】（1）曲線