2021-2022學年北師大版必修五-等差數列的性質及應用-學案

第2課時等差數列的性質及應用知識點一等差中項[填一填]如果在a與b之間插入一個數A，使a，A，b成等差數列，那么A就叫作a與b的等差中項，其中A＝eq\f(a＋b,2).[答一答]1．任意兩實數都有等差中項嗎？提示：有．知識點二等差數列的假設干性質[填一填](1)給出等差數列的任意兩項an，am，可得d＝eq\f(an－am,n－m)，an－am＝(n－m)d.(2)結合等差中項公式可知，假設m，n，p∈N＋，且2p＝m＋n，那么2ap＝am＋an.假設m，n，p，q∈N＋，且p＋q＝m＋n，那么ap＋aq＝am＋an.(3)假設數列{an}是公差為d的等差數列，①數列{λan＋b}(λ，b是常數)是公差為λd的等差數列．②抽取下標成等差數列且公差為m的項ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)組成公差為md特殊地，一個等差數列的奇數項、偶數項構成的新數列依然為等差數列．③假設數列{bn}也為等差數列，那么{kan＋mbn}(k，m∈N＋)也成等差數列．[答一答]2．怎樣判斷一個數列是否為等差數列？提示：判斷一個數列是否為等差數列的方法：(1)定義法：假設an－an－1＝d(d是常數，n≥2，且n∈N＋)，那么數列{an}是等差數列．(2)等差中項法：假設2an＝an－1＋an＋1(n≥2，且n∈N＋)，那么數列{an}是等差數列．(3)假設an＝kn＋b(k，b為常數，n∈N＋)，那么數列{an}是等差數列．1．證明{an}為等差數列的方法(1)用定義證明：an－an－1＝d(d為常數，n≥2)?{an}為等差數列．(2)用等差中項證明：2an＋1＝an＋an＋2?{an}為等差數列．(3)通項法：an為n的一次函數?{an}為等差數列．2．三數成等差數列的設法為：a－d，a，a＋d，其中d為公差；四數成等差數列的設法為：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，其公差為2d.類型一等差中項的應用【例1】eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數列，求證：eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)也成等差數列．【思路探究】解答此題的關鍵是如何轉化為恒等式的證明.eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數列，那么eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(2,b)，要證結論成立，只要證明eq\f(b＋c,a)＋eq\f(a＋b,c)＝eq\f(2(a＋c),b)即可．【證明】證明：證法一：因為eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數列，所以eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，即2ac＝b(a＋c)．因為eq\f(b＋c,a)＋eq\f(a＋b,c)＝eq\f(c(b＋c)＋a(a＋b),ac)＝eq\f(c2＋a2＋b(a＋c),ac)＝eq\f(a2＋c2＋2ac,ac)＝eq\f(2(a＋c)2,b(a＋c))＝eq\f(2(a＋c),b)，所以eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)成等差數列，證法二：因為eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數列，所以eq\f(a＋b＋c,a)，eq\f(a＋b＋c,b)，eq\f(a＋b＋c,c)成等差數列，即eq\f(b＋c,a)＋1，eq\f(a＋c,b)＋1，eq\f(a＋b,c)＋1成等差數列，所以eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)成等差數列．規(guī)律方法證明三個數成等差數列，一般可根據定義或等差中項將問題轉化為證明等式成立，根據等差數列各項乘以(或除以)同一個常數(非零整數)或加(或減)同一個常數所得數列仍是等差數列，再結合問題條件亦可證明．a，b，c成等差數列，那么a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否成等差數列？解：因為a，b，c成等差數列，所以a＋c＝2b，又a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a)＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝所以a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)，所以a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差數列．【例2】求以下各題中兩個數的等差中項．(1)20與30；(2)－14與8；(3)1＋eq\r(3)與2－eq\r(3)；(4)a＋b與a－b.【解】(1)20與30的等差中項A＝eq\f(20＋30,2)＝25.(2)－14與8的等差中項A＝eq\f(－14＋8,2)＝－3.(3)1＋eq\r(3)與2－eq\r(3)的等差中項A＝eq\f(1＋\r(3)＋2－\r(3),2)＝eq\f(3,2).(4)a＋b與a－b的等差中項A＝eq\f(a＋b＋a－b,2)＝a.假設m和2n的等差中項為4,2m和n的等差中項為5，那么m與n的等差中項是3解析：由m和2n的等差中項為4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中項為5，得2m＋n＝10.兩式相加，得m＋n＝6，所以m與n的等差中項為eq\f(m＋n,2)＝eq\f(6,2)＝3.類型二等差數列性質的應用【例3】在等差數列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求數列{a【思路探究】由條件可列出兩個關于a1，d的方程，聯(lián)立方程求出a1及d，但解方程的計算量過大，故可考慮利用等差數列的性質求解．【解】∵a1＋a7＝2a4＝a2＋a6∴a1＋a4＋a7＝3a4＝15，解得a4＝∴a2＋a6＝10，且a2a6＝9∴a2，a6是方程x2－10x＋9＝0的兩個根，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,a6＝9))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,a6＝1.))假設a2＝1，a6＝9，那么d＝eq\f(a6－a2,6－2)＝2，∴an＝2n－3；假設a2＝9，a6＝1，那么d＝eq\f(a6－a2,6－2)＝－2，∴an＝13－2n.故數列{an}的通項公式為an＝2n－3或an＝13－2n.規(guī)律方法利用等差數列的性質“假設m＋n＝p＋q，且m，n，p，q∈N＋，那么am＋an＝ap＋aq〞來求等差數列的某一項，可以簡化解題過程，減少計算量．(1)假設{an}為等差數列，且a15＝8，a60＝20，求a75.(2)假設{an}為等差數列，且a1－a3＋a9－a15＋a17＝117，求a3＋a15的值．解：(1)方法一：由條件，得a15＝a1＋14d＝8，①a60＝a1＋59d＝20.②由①②解得a1＝eq\f(64,15)，d＝eq\f(4,15)，故a75＝a1＋74d＝eq\f(64,15)＋74×eq\f(4,15)＝24.方法二：∵{an}為等差數列，∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差數列．設新的等差數列的公差為d1，那么a60＝a15＋3d1＝8＋3d1＝20，解得d1＝4，故a75＝a60＋d1＝24.(2)∵{an}是等差數列，∴a1＋a17＝a3＋a15＝2a9又∵a1－a3＋a9－a15＋a17＝117，∴a9＝117，∴a3＋a15＝2a9＝類型三探索性問題的解法【例4】等差數列{an}中，a15＝33，a45＝153，試問217是否為此數列的項？假設是，說明是第幾項；假設不是，說明理由．【思路探究】這是一個探索性問題，但由于在條件中兩項的值，所以，在求解方法上，可以考慮運用方程思想求解根本量a1和d，也可以利用性質求d，再就是考慮運用等差數列的幾何意義．【解】解法一：由通項公式，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a15＝a1＋14d＝33，,a45＝a1＋44d＝153，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－23，,d＝4.))故an＝－23＋4(n－1)．假設217＝－23＋4(n－1)，得n＝61，符合題意，所以217是等差數列{an}中的項，且為第61項．解法二：由等差數列性質，得a45－a15＝30d＝153－33，即d＝4.又an＝a15＋(n－15)d＝33＋4(n－15)，假設217＝33＋4(n－15)，解得n＝61，符合題意，所以217是等差數列{an}中的項，且為第61項．解法三：由等差數列的幾何意義可知，等差數列的圖像是一些共線的點．由于P(15,33)，Q(45,153)，R(n,217)在同一條直線上．故有eq\f(153－33,45－15)＝eq\f(217－153,n－45)，解得n＝61，符合題意，所以217是等差數列{an}中的項，且為第61項．規(guī)律方法此題給出了三種解法，第一種是根本解法，第二種運用性質求解，第三種運用等差數列的幾何意義求解，在實際解題過程中我們盡量防止繁瑣的運算，采用簡單的方法求解．等差數列{an}的前三項之和為18，前三項平方和為116，且該數列為遞增數列，試判斷110是不是等差數列{an}中的項，如果是，是第幾項？如果不是，說明理由．解：解法一：因為{an}為遞增數列，所以a1<a2<a3.由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＝18，,a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)＝116，,2a2＝a1＋a3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,a2＝6，,a3＝8，))所以d＝a2－a1＝2，an＝4＋2(n－1)＝2n.令2n＝110?n＝55，所以110是等差數列{an}的第55項．解法二：設等差數列前三項為a－d，a，a＋d，于是可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝18，①,(a－d)2＋a2＋(a＋d)2＝116，②))由①得a＝6，代入②得d＝±2.因為該數列是遞增的，所以d＝－2，舍去，所以d＝2.所以an＝6－2＋2(n－1)＝2n，以下同解法一．類型四等差數列的實際應用【例5】甲蟲是行動較快的昆蟲之一，下表記錄了某甲蟲1min內的爬行時間與相應的爬行距離：時間/s123……60距離/cm…49…(1)你能建立一個模型，表示甲蟲的爬行距離和時間之間的關系嗎？(2)利用建立的模型計算：甲蟲1min能爬多遠？爬行49cm需要多長時間？【思路探究】觀察上表可知甲蟲每秒爬行的距離相等，即可建立等差數列模型，最后將數據代入模型即可求得結果．【解】(1)能．以1,2,3，…，60為數列{an}的序號，，…，為數列{an}的對應項，由表可知，該數列從第2項起，每一項與前一項的差都是常數，所以可建立等差數列模型．∵a1＝，d＝，∴甲蟲的爬行距離s關于時間t的關系式是s＝t(t∈N＋，t≤60)．(2)當t＝1min＝60s時，s＝t＝×60＝588(cm)．當s＝49cm時，t＝eq\f(s,9.8)＝eq\f(49,9.8)＝5(s)．答：甲蟲1min能爬588cm，爬行49cm需要5s.規(guī)律方法解決實際問題通常需要建立適當的數學模型，此題首先要能抽象出等差數列模型，這需要根據表中數據的規(guī)律去分析，其次是要分清求解什么．某市出租車的計價標準為元/km，起步價為10元，即最初的4km(不含4km)計費10元．如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，求需要支付的車費．解：根據題意，當該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，乘客需要支付元．所以可以建立一個等差數列{an}來計算車費．令a1＝，表示4km處的車費，公差d＝，那么當出租車行至14km處時，n＝11，此時需要支付車費a11＝＋(11－1)×＝23.2(元)．——多維探究系列——等差數列的性質的靈活運用1．靈活運用等差數列的性質，求等差數列的幾個量，可以簡化運算，提高解題速度及準確性．2．對于性質：“假設m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，那么am＋an＝ap＋aq〞，在應用時，首先找到(或湊出)項數和相等的條件，然后根據需要把一式用另一式代替．解決此類問題要有整體代換意識．【例6】在等差數列{an}中，(1)a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8；(2)a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13【標準解答】(1)解法一：∵a3＋a7＝2a5＝a4＋a6＝a2＋a8∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝∴a2＋a8＝2a5＝解法二：設首項為a1，公差為d.∴a3＋a4＋…＋a7＝a1＋2d＋a1＋3d＋…＋a1＋6d＝5a1＋20d即5a1＋20d＝450，∴a1＋4d＝∴a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2a1＋8d＝(2)方法一：設{an}的首項為a1，公差為d，那么由a3＋a8＋a13＝12，得a1＋7d＝4，∴a1＝4－7d.代入a3a8a13＝28，并整理得(4－5d)×4×(4＋5d)＝28，即d＝±eq\f(3,5).當d＝eq\f(3,5)時，a1＝－eq\f(1,5)，an＝eq\f(3,5)n－eq\f(4,5)；當d＝－eq\f(3,5)時，a1＝eq\f(41,5)，an＝－eq\f(3,5)n＋eq\f(44,5).方法二：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12，∴a8＝a3a8a13＝(a8－5d)a8(a8＋5d)∴16－25d2＝7，∴d＝±eq\f(3,5).當d＝eq\f(3,5)時，an＝a8＋(n－8)d＝eq\f(3,5)n－eq\f(4,5)；當d＝－eq\f(3,5)時，an＝－eq\f(3,5)n＋eq\f(44,5).方法三：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12∴a8＝4，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＋a13＝8，,a3a13＝7，))∴a3，a13是方程x2－8x＋7＝0的兩根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝1，,a13＝7))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝7，,a13＝1.))由a3＝1，a13＝7，得d＝eq\f(a13－a3,13－3)＝eq\f(3,5)，∴an＝a3＋(n－3)d＝eq\f(3,5)n－eq\f(4,5).同理，由a3＝7，a13＝1，得an＝－eq\f(3,5)n＋eq\f(44,5).【名師點評】方法一是“根本量〞法，是通法；方法二運用了等差數列的性質，過程較簡單；方法三是構造方程；運用方程思想求解．在等差數列{an}中：(1)a4＋a5＋a6＋a7＝56，a4·a7＝187，求a1和d；(2)a1＋a5＋a9＝39，a2＋a6＋a10＝48，求a7＋a11＋a15的值．解：(1)∵a4＋a5＋a6＋a7＝2(a4＋a7)＝56，∴a4＋a7＝28，又a4·a7＝187，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝11，,a7＝17))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝17，,a7＝11，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝5，,d＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝23，,d＝－2.))(2)設bn＝an＋an＋4＋an＋8，那么b1＝39，b2＝48，∵{an}是等差數列，∴{bn}是等差數列，公差d′＝b2－b1＝9，∴a7＋a11＋a15＝b7＝b1＋6d′＝39＋54＝93.一、選擇題1．等差數列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，那么a2等于(A)A．3 B．－3C.eq\f(3,2) D．－eq\f(3,2)解析：由等差數列的性質a4＋a5＝a2＋a7，∴a2＝3.2．在等差數列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，那么3a9