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1.4.2充要條件[定義]一般地,如果既有p?q,又有q?p,就記作p?q,稱p是q的充分必要條件,簡稱充要條件簡記:若p?q
,則p與q互為充要條件[思考]下列“若p,則q”形式的命題中,哪些命題與它們的逆命題都是真命題?(1)若兩個三角形的兩角和其中一角所對的邊分別相等,則這兩個三角形全等(2)若兩個三角形全等,則這兩個三角形的周長相等(3)若一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根,則ac<0(4)若是空集,則A與B是空集例3:下列各組命題中,哪些p是q的充要條件?(1)p:四邊形是正方形,q:四邊形的對角線互相垂直且平分;(2)p:兩個三角形相似,q:兩個三角形三邊成比例;(3)p:xy>0,q:x>0,y>0;(4)p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根,q:a+b+c=0(a≠0).變式探究:p是q的什么條件?條件p與結(jié)論q的關(guān)系p是q的什么條件?充分但不必要必要但不充分充要條件既不充分也不必要p作為q的條件共有幾種結(jié)果?課堂練習(xí):課本P22練習(xí)T1習(xí)題1.4T232.課本P234練習(xí)一充分條件與必要條件從集合角度看引申⑶pq,相當于P=Q,即:互為充要條件的兩個事物表示的是——同一事物。如右圖:
⑴p是q的充分不必要條件,相當于PQ,如右圖
⑵p是q的必要不充分條件,相當于PQ,如左圖3.“兩個三角形面積相等”是“兩個三角形全等”的 (
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件充分必要條件的判斷方法:方法一:利用定義:判斷原命題和逆命題的真假方法二:利用集合關(guān)系:
大小BB5.如下電路圖,條件p:“開關(guān)A閉合”條件q:“燈泡L亮”,問p是q的什么條件?
p是q的充分不必要條件p是q的必要不充分條件p是q的充分且必要條件ABLABLAL①ALB。②③④p是q的既不充分也不必要條件.5.已知條件p:x≤1,條件q:x<0,則p是q的________條件.必要不充分6.已知p,q都是r的充分條件,s是r的必要條件,q是s的必要條件.那么:①s是q的什么條件?②r是q的什么條件?③p是q的什么條件?充要充要充分[遷移探究]若將“p為q的充分不必要條件”改為
“p為q的必要不充分條件”呢?例4:已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分條件,求實數(shù)m的取值范圍.練習(xí)四:2.若“x2>1”是“x<a”的必要不充分條件,則a的最大值________.-11.(多選)若-1<x≤3是-3<x<a的充分條件但不是必要條件,則實數(shù)a的值可以是 (
)A.2B.3C.4D.5
CD充要條件的證明,要分清哪個是條件,哪個是結(jié)論,誰是誰的什么條件,由“條件結(jié)論”是證明條件的充分性,由“結(jié)論條件”是證明條件的必要性.【例5】已知⊙O的半徑為r,圓心O到直線的距離為d.求證:d=r是直線l與⊙O相切
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