考研數學二分類模擬201

考研數學二分類模擬201一、選擇題1.

定積分

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]這是無界函數的反常積分，x=±1為瑕點，與求定積分一樣，作變量替換x=sint，則

故選B。

2.

設則______A.f(x)=f(x+2π)B.f(x)＞f(x+2π)C.f(x)＜f(x+2π)D.當x＞0時，f(x)＞f(x+2π)；當x＜0時，f(x)＜f(x+2π)正確答案：A[解析]由題意被積函數以2π為周期且為偶函數，由周期函數的積分性質得

因此f(x+2π)-f(x)=0。故選A。

3.

設則g(x)在區(qū)間(0，2)內______A.無界B.遞減C.不連續(xù)D.連續(xù)正確答案：D[解析]因為f(x)在區(qū)間[0，2]上只有一個第一類間斷點(x=1為f(x)的跳躍間斷點)，所以f(x)在該區(qū)間上可積，因而在該區(qū)間內必連續(xù)。故選D。

4.

設則F(x)在x=0處______A.極限存在但不連續(xù)B.連續(xù)但不可導C.可導D.可導性與a有關正確答案：D[解析]當x≤0時，

當x＞0時，

因為

所以F(x)在x=0處連續(xù)。而

即F(x)在x=0處的可導性與a有關。故選D。

5.

設則______A.F(x)在x=0處不連續(xù)B.F(x)在(-∞，+∞)內連續(xù)，但在x=0處不可導C.F(x)在(-∞，+∞)內可導，且滿足F'(x)=f(x)D.F(x)在(-∞，+∞)內可導，但不一定滿足F'(x)=f(x)正確答案：B[解析]方法一：關于具有跳躍間斷點的函數的變限積分，有下述定理。

設f(x)在[a，b]上除點c∈(a，b)外的其他點都連續(xù)，且x=c為f(x)的跳躍間斷點。又設則：

①F(x)在[a，b]上必連續(xù)；

②當x∈[a，b]且x≠c時，F'(x)=f(x)；

③F'(c)不存在，且F'+(c)=f(c+)，F'-(c)=f(c-)。

直接利用上述結論(本題中的c=0)，故選B。

方法二：當x＜0時，當x＞0時，當x=0時，F(0)=0。綜上所述，F(x)=|x|。

顯然，F(x)在(-∞，+∞)內連續(xù)。而

故F(x)在x=0處不可導。故選B。

6.

設函數則______A.x=π是F(x)的跳躍間斷點B.x=π是F(x)的可去間斷點C.F(x)在x=π處連續(xù)不可導D.F(x)在x=π處可導正確答案：C[解析]因為

可見F(π-0)=F(π+0)，所以F(x)在x=π處是連續(xù)的。

由于

可知F'-(π)≠F'+(π)，所以F(x)在x=π處是不可導的。故選C。

二、填空題1.

已知曲線y=f(x)過點且其上任一點(x，y)處的切線斜率為xln(1+x2)，則f(x)=______。正確答案：[解析]由題設可知則

2.

正確答案：-4π[解析]令原式為

3.

正確答案：[解析]方法一：令x-1=sint，則

方法二：該定積分表示的是圓(x-1)2+y2=1與x軸，x=0，x=1所圍成的圖形的面積，即圓面積的故原式=

4.

正確答案：0[解析]方法一：令

In=∫e-xsinnxdx=-e-xsinnx+n∫e-xcosnxdx

=-e-xsinnx-ne-xcosnx-n2I。

所以

則有

方法二：

那么

則故

5.

正確答案：[解析]令則

6.

正確答案：[解析]已知函數可化為

所以

7.

正確答案：[解析]由題設知

在區(qū)間上，x3cos2x是奇函數，sin2xcos2x是偶函數，故

所以，

8.

正確答案：[解析]

9.

設a＞0，則正確答案：[解析]由題干可知，原式可化為

因為是奇函數，所以

根據定積分的幾何意義可得(半徑為a的半圓的面積)。所以

10.

正確答案：[解析]令x-1=t，則有

三、解答題1.

設f(x)在[-π，π]上連續(xù)，且求f(x)。正確答案：解：由于存在，且記為A，于是可得，

則有

從而有

對等式右邊積分，令x=π-t。當x=0時，t=π；當x=π時，t=0。于是

則有

從而

2.

正確答案：解：使用分部積分法和換元積分法。

其中由題意，f(1)=0，因此

3.

正確答案：解：f'(x)=-e-(x-1)2，由分部積分公式可得

4.

設f'(x)=arcsin(x-1)2，f(0)=0，求正確答案：解：由題意

令(x-1)2=t，則上式可化為

5.

已知f'(2)=0及正確答案：解：

6.

設函數定義函數列：

f1(x)=fx)，f2(x)=f[f1(x)]，…，fn(x)=f[fn-1(x)]，…。

記Sn是由曲線y=fn(x)，直線x=1及x軸所圍成平面圖形的面積，求極限正確答案：解：

故

7.

設f(x)在[a，b]上有二階連續(xù)導數，證明

正確答案：證明：連續(xù)利用分部積分法有

移項并整理得

8.

(Ⅰ)設f(x)在(-∞，+∞)上連續(xù)，證明f(x)是以l(l＞0)為周期的周期函數的充要條件是對任意a∈(-∞，+∞)恒有

(Ⅱ)正確答案：解：(Ⅰ)必要性：設由題設

φ'(a)=f(a+l)-f(a)=0，

則φ(a)=c(常數)。設a=0，則c=φ(0)=0，那么

充分性：在兩邊對a求導，得f(a+l)-f(a)=0，故f(x)以l為周期。

(Ⅱ)利用上述性質，將原區(qū)間變換成對稱區(qū)間，從而利于使用函數的奇偶性，于是

在上式第2項中作變量替換x=π-t，即可化為第1項，故

9.

設函數f(x)在[0，π]上連續(xù)，且證明在(0，π)內至少存在兩個不同的點ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0。正確答案：證明：方法一：令0≤x≤π，有F(0)=0，由題設有F(π)=0。

又由題設用分部積分，有

由積分中值定理知，存在ξ∈(0，π)，使得

因為ξ∈(0，π)，sinξ≠0，所以推知存在ξ∈(0，π)，使得F(ξ)=0。再在區(qū)間[0，ξ]與[ξ，π]上對F(x)用羅爾定理，推知存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使得F'(ξ1)=0，F'(ξ2)=0，即f(ξ1)=0，f(ξ2)=0。

方法二：令0≤x≤π，由可知F(0)=F(π)=0，則由羅爾定理可得，存在ξ1∈(0，π)，使f(ξ1)=0。

若在區(qū)間(0，π)內f(x)僅有一個零點ξ1，則在區(qū)間(0，ξ1)與(ξ1，π)內f(x)異號。不妨設在(0，ξ1)內f(x)＞0，在(ξ1，π)內f(x)＜0。于是由有

當0＜x＜ξ1時，cosx＞cosξ1，f(x)(cosx-cosξ1)＞0；當ξ1＜x＜π時，cosx＜cosξ1，仍有f(x)(cosx-cosξ1)＞0，得到0＞0，矛盾。此矛盾證明了f(x)在(0，π)僅有1個零點的假設不正確，故在(0，π)內f(x)至少有2個不同的零點。[解析]要得到f(x)在(0，π)內至少存在兩個不同的零點，可以對f(x)的原函數F(x)=在兩個不同的區(qū)間上運用羅爾定理，使用定理的關鍵是找到F(x)在三個不同的點函數值相同。也可以采取另一種思路：首先由可以得到f(x)在(0，π)內至少存在一個零點，接下來可以反證，假設f(x)的零點是唯一的，進而推出矛盾。

10.

設f(x)在[0，+∞)連續(xù)，且

證明至少存在一點ξ∈(0，