高中數(shù)學 1.1.3導數(shù)的幾何意義同步測試 新人教A版選修2-2

【成才之路】-學年高中數(shù)學1.1.3導數(shù)的幾何意義同步測試新人教A版選修2-2一、選擇題1．(·濟寧梁山一中期中)已知曲線y＝2x3上一點A(1,2)，則點A處的切線斜率等于()A．0 B．2C．4 D．6[答案]D[解析]Δy＝2(1＋Δx)3－2×13＝6(Δx)＋6(Δx)2＋(Δx)3，eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[(Δx)2＋6Δx＋6]＝6，故選D.2．(·安陽中學期末)設曲線y＝ax2在點(1，a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，則a等于()A．1 B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－1[答案]A[解析]∵y′|x＝1＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→1))eq\f(a1＋Δx2－a×12,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2aΔx＋aΔx2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2a＋aΔx)＝2a，∴2a＝2，∴a3．曲線y＝eq\f(1,3)x3－2在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(5,3)))處切線的傾斜角為()A．1 B．eq\f(π,4)C．eq\f(5,4)π D．－eq\f(π,4)[答案]B[解析]∵y′＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f([\f(1,3)x＋Δx3－2]－\f(1,3)x3－2,Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))[x2＋xΔx＋eq\f(1,3)(Δx)2]＝x2，∴切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝1＝1.∴切線的傾斜角為eq\f(π,4)，故應選B.4．設f′(x0)＝0，則曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線()A．不存在 B．與x軸平行或重合C．與x軸垂直 D．與x軸斜交[答案]B[解析]由導數(shù)的幾何意義知B正確，故應選B.5．設f(x)為可導函數(shù)且滿足eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f1－f1－2x,2x)＝－1，則過曲線y＝f(x)上點(1，f(1))處的切線斜率為()A．2 B．－1C．1 D．－2[答案]B[解析]eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f1－f1－2x,2x)＝eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f1－2x－f1,－2x)＝eq\o(lim,\s\do4(－2x→0))eq\f(f[1＋－2x]－f1,－2x)＝f′(1)＝－1.6．曲線y＝x3＋11在點P(1,12)處的切線與y軸交點的縱坐標是()A．－9 B．－3C．9 D．15[答案]C[解析]因為y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx3＋11－x3＋11,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))((Δx)2＋3xΔx＋3x2)＝3x2，所以切線的斜率k＝f′(1)＝3，又因為切點為P(1,12)，故切線方程為3x－y＋9＝0，令x＝0，得y＝9.二、填空題7．已知函數(shù)f(x)＝x3＋2，則f′(2)＝________.[答案]12[解析]f′(2)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2＋Δx3＋2－23－2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2＋Δx－2[2＋Δx2＋2＋Δx·2＋22],Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[4＋4Δx＋(Δx)2＋4＋2Δx＋4]＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[12＋6Δx＋(Δx)2]＝12.8．曲線y＝x3在點(3,27)處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為________．[答案]54[解析]因為f′(3)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(3＋Δx3－33,Δx)＝27，所以在點(3,27)處的切線方程為y－27＝27(x－3)即y＝27x－54.此切線與x軸、y軸的交點分別為(2,0)，(0，－54)．所以切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為S＝eq\f(1,2)×2×54＝54.9．若函數(shù)f(x)＝x－eq\f(1,x)，則它與x軸交點處的切線的方程為________．[答案]2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0[解析]由f(x)＝x－eq\f(1,x)＝0得x＝±1，即與x軸交點坐標為(1,0)或(－1,0)．∵f′(x)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx－\f(1,x＋Δx)－x＋\f(1,x),Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,xx＋Δx)))＝1＋eq\f(1,x2).∴切線的斜率k＝1＋eq\f(1,1)＝2.∴切線的方程為y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)．即2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0.三、解答題10．求曲線y＝eq\f(1,x)－eq\r(x)上一點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－\f(7,4)))處的切線方程．[解析]∴y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x)))－\r(x＋Δx)－\r(x),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(－Δx,xx＋Δx)－\f(Δx,\r(x＋Δx)＋\r(x)),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1,xx＋Δx)－\f(1,\r(x＋Δx)＋\r(x))))＝－eq\f(1,x2)－eq\f(1,2\r(x)).∴y′|x＝4＝－eq\f(1,16)－eq\f(1,4)＝－eq\f(5,16)，∴曲線在點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－\f(7,4)))處的切線方程為：y＋eq\f(7,4)＝－eq\f(5,16)(x－4)．即5x＋16y＋8＝0.一、選擇題11．(·嘉興高二檢測)已知直線ax－by－2＝0與曲線y＝x3在點P(1,1)處的切線互相垂直，則eq\f(a,b)為()A．eq\f(2,3) B．－eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)[答案]D[解析]由導數(shù)的定義可得y′＝3x2，∴y＝x3在點P(1,1)處的切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝1＝3，由條件知，3×eq\f(a,b)＝－1，∴eq\f(a,b)＝－eq\f(1,3).12．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線方程是x－2y＋1＝0，則f(1)＋2fA．eq\f(1,2) B．1C．eq\f(3,2) D．2[答案]D[解析]∵(1，f(1))在直線x－2y＋1＝0上，∴1－2f(1)＋1＝0，∴f又∵f′(1)＝eq\f(1,2)，∴f(1)＋2f′(1)＝1＋2×eq\f(1,2)＝2.故選D.13．已知y＝f(x)的圖象如圖，則f′(xA)與f′(xB)的大小關系是()A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能確定[答案]B[解析]由圖可知，曲線在點A處的切線的斜率比曲線在點B處的切線的斜率小，結(jié)合導數(shù)的幾何意義知f′(xA)<f′(xB)，選B.二、填空題14．如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中A，B，C的坐標分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)，則eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝__________________.[答案]－2[解析]由導數(shù)的概念和幾何意義知，eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝f′(1)＝kAB＝eq\f(0－4,2－0)＝－2.15．設f(x)＝f′(1)＋eq\r(x)，則f(4)＝________.[答案]eq\f(5,2)[解析]f′(1)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f′1＋\r(1＋Δx)－f′1＋1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(1,\r(1＋Δx)－1)＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝eq\f(1,2)＋eq\r(x)，∴f(4)＝eq\f(1,2)＋eq\r(4)＝eq\f(5,2).三、解答題16．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一點P(1，－2)，過點P作直線l.(1)求使直線l和y＝f(x)相切且以P為切點的直線方程；(2)求使直線l和y＝f(x)相切且切點異于點P的直線方程．[解析](1)y′＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx3－3x＋Δx－x3＋3x,Δx)＝3x2－3.則過點P且以P(1，－2)為切點的直線的斜率k1＝f′(1)＝0，∴所求直線方程為y＝－2.(2)設切點坐標為(x0，xeq\o\al(3,0)－3x0)，則直線l的斜率k2＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－3，∴直線l的方程為y－(xeq\o\al(3,0)－3x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－3)(x－x0)又直線l過點P(1，－2)，∴－2－(xeq\o\al(3,0)－3x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－3)(1－x0)，∴xeq\o\al(3,0)－3x0＋2＝(3xeq\o\al(2,0)－3)(x0－1)，∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1(舍去)或x0＝－eq\f(1,2).故所求直線斜率k＝3xeq\o\al(2,0)－3＝－eq\f(9,4)，于是：y－(－2)＝－eq\f(9,4)(x－1)，即9x＋4y－1＝0.17．(·臨沂質(zhì)檢)已知曲線y＝x2＋1，是否存在實數(shù)a，使得經(jīng)過點(1，a)能夠作出該曲線的兩條切線？若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．[解析]∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(x＋Δx2＋1－x2－1,Δx)＝2x＋Δx，∴y′＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0)