第15屆WMO世界數(shù)學(xué)奧林匹克數(shù)學(xué)競賽八年級(jí)B卷復(fù)賽含答案

WMO世界奧林匹克數(shù)學(xué)競賽（中國區(qū)）選拔賽姓名姓名年級(jí)學(xué)校準(zhǔn)考證號(hào)考場賽區(qū)_________父母姓名、聯(lián)系電話_、---------------------------------------裝-----------------------------訂---------------------------線----------------------------------第15屆WMO世界奧林匹克數(shù)學(xué)競賽（中國區(qū)）選拔賽---------------------------------------------------------------------------------考生須知：每位考生將獲得考卷一份。考試期間，不得使用計(jì)算工具或手機(jī)。2.本卷共120分，選擇題每小題4分，填空題每小題5分，解答題共5小題，共50分。3.請(qǐng)將答案寫在本卷上?？荚囃戤厱r(shí)，考卷及草稿紙會(huì)被收回。4.若計(jì)算結(jié)果是分?jǐn)?shù)，請(qǐng)化至最簡。八年級(jí)地方晉級(jí)賽復(fù)賽B卷（本試卷滿分120分，考試時(shí)間90分鐘）選擇題（每小題4分，共40分）1．函數(shù)的自變量的取值范圍是（）A．x≥－2 B．x＞－1C．x≠－1D．x≥－2且x≠－12．如圖，四邊形ABCD、APQR是兩個(gè)全等的正方形，CD與PQ相交于點(diǎn)E，若∠BAP=20°，則∠PEC等于（）A．60° B．65° C．70° D．75°第2題圖第4題圖3．已知，則x的值為（）A．±1 B．－1、2C．1、2D．0、－1大明因急事在運(yùn)行中的自動(dòng)扶梯上行走去二樓，圖中線段OA、OB分別大致表示大明在運(yùn)行中的自動(dòng)扶梯上行走去二樓和靜止站在運(yùn)行中的自動(dòng)扶梯上去二樓時(shí)，距自動(dòng)扶梯起點(diǎn)的距離與時(shí)間之間的關(guān)系．下面四個(gè)圖中，虛線OC能大致表示大明在停止運(yùn)行（即靜止）的自動(dòng)扶梯上行走去二樓時(shí)，距自動(dòng)扶梯起點(diǎn)的距離與時(shí)間關(guān)系的是（）A．B．C．D．5．若關(guān)于x的分式方程有解，則必須滿足條件（）A．m≠n B．m≠－n C．np≠－mq D．p≠－q，m≠n6．如圖，在△ABC中，有一點(diǎn)P在AC邊上移動(dòng)，若AB=AC=5，BC=6，則AP+BP+CP的最小值為（）A．8 B．8.8 C．9.8 D．107．如圖，在一個(gè)大正方形內(nèi)，放入三個(gè)面積相等的小正方形紙片，這三張紙片蓋住的總面積是24平方厘米，且未蓋住的面積比小正方形面積的四分之一還少3平方厘米，則大正方形的面積是（單位：平方厘米）（）A．40 B．25 C．26 D．36第6題圖第7題圖第8題圖第10題圖如圖，點(diǎn)P、Q是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)△PBQ為直角三角形時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）A．秒B．秒或秒C．秒D．秒或秒有一種近似半圓球形狀的隔熱鋼碗，每個(gè)鋼碗的內(nèi)部半徑都是5厘米，厚度都是均勻的0.5厘米，如圖①所示，常見鋼碗疊放的方式如圖②所示．某學(xué)校食堂現(xiàn)在要設(shè)計(jì)一批柜子存放這樣的碗，如果要確保每個(gè)柜子的正面每豎條都放6個(gè)碗，如圖③所示，那么柜子的內(nèi)部高度至少是（）A．16厘米B．17厘米C．18厘米D．19厘米圖①圖②圖③10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y=x上一點(diǎn)P（1，1），C為y軸上一點(diǎn)，連接PC，線段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至線段PD，過點(diǎn)D作直線AB⊥x軸，垂足為B，直線AB與直線y=x交于點(diǎn)A，且BD=2AD，連接CD，直線CD與直線y=x交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）A．（，）B．（3，3） C．（，）D．（，）填空題（每小題5分，共30分）11．若整數(shù)m滿足條件=m+1且m＜，則m的值是____________．12．若實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b+c=0，且a＜b＜c，則一次函數(shù)y=ax+c的圖象不可能經(jīng)過第_______象限．定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于－1，記為i2＝－1，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位．那么i1=i，i2=－1，i3=－i，i4=1，i5=i，i6=－1…，那么i2015＝_____________．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC=78°，過C點(diǎn)作CF∥AB，連接AF與BC相交于點(diǎn)G，若GF=2AC，則∠BAG=_____________．15．已知ax+by=3，ay－bx=5，則（a2+b2）（x2+y2）的值為_____________．如圖，∠AOB=30°，點(diǎn)M、N分別是射線OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，OP平分∠AOB，且OP=6，當(dāng)△PMN的周長取最小值時(shí)，則PM的長為_____________．解答題（共5小題，共50分）17．已知a=+1，b=－1，求－（）的值．（8分）18．求證：817－279－913能被45整除．（9分）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)H在AB上，且∠EHF=90°，求證：CH⊥AB．（10分）受地震的影響，某超市雞蛋供應(yīng)緊張，需每天從外地調(diào)運(yùn)雞蛋1200斤．超市決定從甲、乙兩大型養(yǎng)殖場調(diào)運(yùn)雞蛋，已知甲養(yǎng)殖場每天最多可調(diào)出800斤，乙養(yǎng)殖場每天最多可調(diào)出900斤，從兩養(yǎng)殖場調(diào)運(yùn)雞蛋到超市的路程和運(yùn)費(fèi)如表：到超市的路程（千米）運(yùn)費(fèi)（元/斤?千米）甲養(yǎng)殖場2000.012乙養(yǎng)殖場1400.015（1）若某天調(diào)運(yùn)雞蛋的總運(yùn)費(fèi)為2670元,則從甲、乙兩養(yǎng)殖場各調(diào)運(yùn)了多少斤雞蛋？（5分）（2）設(shè)從甲養(yǎng)殖場調(diào)運(yùn)雞蛋x斤，總運(yùn)費(fèi)為W元，試寫出W與x的函數(shù)關(guān)系式，怎樣安排調(diào)運(yùn)方案才能使每天的總運(yùn)費(fèi)最?。浚?分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y=x+4分別交x、y軸于B、A兩點(diǎn)，將△AOB沿直線l2：y=2x－折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)C處．（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為______________；（3分）（2）若點(diǎn)D沿射線BA運(yùn)動(dòng)，連接OD，當(dāng)△CDB與△CDO面積相等時(shí)，求直線OD的解析式；（4分）（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)D在第一象限時(shí)，沿x軸平移直線OD，分別交x，y軸于點(diǎn)E，F(xiàn)，在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)M（m，3）和點(diǎn)P，使四邊形EFMP為正方形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．（6分）

八年級(jí)B卷答案選擇題（每小題4分，共40分）C2.C3.B4.B5.D6.C7.B8.D9.B10.D5.由分式方程解得x=，由原分式方程有解，得n－2x=≠0．解得m≠n，p=－q．AP+BP+CP=BP+AC，當(dāng)BP⊥AC時(shí)，AP+BP+CP的值最小，作AD⊥BC，AD=，S△ABC==，∴BP=4.8，即AP+BP+CP的最小值為5+4.8=9.8．設(shè)小正方形的邊長為a，大正方形的邊長為b，由這三張紙片蓋住的總面積是24平方厘米，可得ab+a（b－a）=24①，由未蓋住的面積比小正方形面積的四分之一還少3平方厘米，可得（b－a）2=a2－3②，將①②聯(lián)立解方程組可得：a=4，b=5，∴大正方形的邊長為5，∴面積是25．設(shè)時(shí)間為t秒，則AP=BQ=tcm，PB=（4－t）cm，當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，∵∠B=60°，∴PB=2BQ，即4－t=2t，t=，當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，∵∠B=60°，∴BQ=2BP，得t=2（4－t），t=，∴當(dāng)?shù)诿牖虻诿霑r(shí)，△PBQ為直角三角形．9.如圖，CO2=5，CO1=5.5，則O1O2=，六個(gè)碗疊放的總高度是5×+5.5=+5.5，∵112=121，11.52=132.25，則112＜131.25＜11.52，11＜＜11.5，∴16.5＜+5.5＜17，因此高度至少是17厘米．10.過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交AB于N，過D作DH⊥y軸，交y軸于H，∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°，∴∠MCP+∠CPM=90°，∠MPC+∠DPN=90°，∴∠MCP=∠DPN，∵P（1，1），∴OM=BN=1，PM=1，在△MCP和△NPD中，∴△MCP≌△NPD（AAS），∴DN=PM，PN=CM，∵BD=2AD，∴設(shè)AD=a，BD=2a，∵P（1，1），∴BN=2a－1，則2a－1=1，a=1，即BD=2．∵直線y=x，∴AB=OB=3，在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC=PD=，在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM=2，則C的坐標(biāo)是（0，3），設(shè)直線CD的解析式是y=kx+3，把D（3，2）代入得：k=－，即直線CD的解析式是y=－x+3，即解得：，即Q的坐標(biāo)是（，）．填空題（每小題5分，共30分）11.0或－112.三13.－i14.26°15.3416.∵=m+1，∴m+1≥0，即m≥－1，又∵m＜＜1，∴－1≤m＜1且為整數(shù)，∴m=0或－1．∵實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b+c=0，且a＜b＜c，∴a＜0，c＞0，∴一次函數(shù)y=ax+c的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，不可能經(jīng)過第三象限．根據(jù)題意得：i2015=i2014?i＝（i2）1007?i＝－i．如圖，取FG的中點(diǎn)E，連接EC．∵FC∥AB，∴∠GCF=90°，∴EC=FG=AC，∴∠EAC=∠AEC=∠F+∠ECF=2∠F，設(shè)∠BAG=x，則∠F=x，∵∠BAC=78°，∴x+2x=78°，∴x=26°，∴∠BAG=26°．由題意得，ax+by=3①，ay－bx=5②，①2得a2x2+b2y2+2abxy=9③，②2得a2y2+b2x2－2abxy=25④，③+④得a2x2+b2y2+a2y2+b2x2=34，a2（x2+y2）+b2（x2+y2）=34，∴(a2+b2)(x2+y2)=34．16.作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P1，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P2，連P1P2與OA交于點(diǎn)M、與OB交于點(diǎn)N，連PM、PN，則此時(shí)△PMN的周長可取最小值．∵∠AOB=30°，由對(duì)稱性可知∠AOP1=∠AOP，∠BOP2=∠BOP，故∠P1OP2=2∠AOB=60°，又OP1=OP=OP2=6，∴△P1OP2為等邊三角形．易證得△P1OM≌△POM則MP1=MP，∴∠1=∠2，設(shè)∠1=∠2=x，則∠3=2x，又OP平分∠AOB，則在等邊△P1OP2中OP也為角平分線，故OP⊥P1P2，∴∠MPO=90°－2x，∠OPP1=75°，∴90°－2x+x=75°，解得x=15°，∴∠3=30°，在Rt△PMG中，設(shè)PG=m，則PM=2m，MG=，∴P1P2=4MG=4，故4=6，m=，PM=．解答題（共5小題，共50分）17.解：∵a=+1，b=－1，∴ab=（+1）（－1）=1，a－b=+1－+1=2，∴－（）=1－（）=1－（）=1－（）=1－（a－b）=1－2=－1．18.證明：原式=914－99×39－913=328－327－326=326（32－3－1）=326×5=324×32×5=45×324．所以能被45整除．19.證明：∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，∴DE∥BC，DF∥CE，∴四邊形CEDF是平行四邊形．∵∠ACB=90°，∴四邊形CEDF是矩形，得OD=OC=OE=OF．在Rt△EHF中，OH=EF=OE=OF，∴OH=CD=OC=OD，∴在△CHD中，∠CHO=∠OCH，∠OHD=∠ODH．∵∠CHO+∠OCH+∠OHD+∠ODH=180°，∴∠CHO+∠OHD=90°，即CH⊥AB．20.解：（1）設(shè)從甲養(yǎng)殖場調(diào)運(yùn)雞蛋x斤，從乙養(yǎng)殖場調(diào)運(yùn)雞蛋y斤，根據(jù)題意得：解得：∵500＜800，700＜900，∴符合條件．答：從甲、乙兩養(yǎng)殖場各調(diào)運(yùn)了500斤，700斤雞蛋；（2）從甲養(yǎng)殖場調(diào)運(yùn)了x斤雞蛋，從乙養(yǎng)殖場調(diào)運(yùn)了（1200－x）斤雞蛋，根據(jù)題意得：解得：300≤x≤800，總運(yùn)費(fèi)W=200×0.012x+140×0.015×（1200－x）=0.3x+2520，（300≤x≤800），∵W隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=300時(shí)，W最小=2610元，∴每天從甲養(yǎng)殖場調(diào)運(yùn)了300斤雞蛋，從乙養(yǎng)殖場調(diào)運(yùn)了900斤雞蛋，每天的總運(yùn)費(fèi)