數(shù)學(xué)八年級湘教版上冊第一章分式電子課件

本章內(nèi)容第1章分式本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容1.1分式動腦筋1.（1）某長方形畫的面積為Sm2，長為8m，則它的寬為_______m；（2）某長方形畫的面積為Sm2，長為xm，則它的寬為_______m；2.如果兩塊面積分別為x公頃，y公頃的稻田，分別產(chǎn)稻谷akg，bkg，那么這兩塊稻田，平均每公頃產(chǎn)稻谷________kg.代數(shù)式

有什么共同點？說一說

我們已經(jīng)知道，一個整數(shù)m

除以一個非零整數(shù)n，所得的商記作

，稱

為分數(shù).

類似地，一個多項式f除以一個非零整式g（g中含有字母），所得的商記作

，把代數(shù)式

叫作分式，其中f是分式的分子，g是分式的分母，g≠0.例如：

，，，…都是分式.舉例例1

當x取什么值時，分式

的值

（1）不存在；

（2）等于0？解

（1）當2x-3=0，即時，分子的值，因此當時，分式的值不存在.（2）當

x-2=0，即

x=2

時，分式

的值為例2求下列條件下分式

的值.

（1）x=3； （2）x=-0.4.解（1）當x=3時，（2）當x=-0.4時，舉例練習(xí)1.填空：（1）某村有m個人，耕地面積約為50公頃，則該村的人均耕地面積約為_______公頃；（2）某工廠接到加工m個零件的訂單，原計劃每天加工a個，由于技術(shù)改革，實際每天多加工b個，則________天可以完成任務(wù).2.已知分式

，當x取什么值時，分式的值

（1）不存在；

（2）等于0？解

（1）當4x-5=0，即時，分子的值，因此當時，分式的值不存在.（2）當

x+3=0，即

x=-3時，分式

的值為0.3.填表：x…-3-2-10123………說一說填空，并說一說下列等式從左到右變化的依據(jù).（1）；

分數(shù)的分子、分母都乘同一個不為0的數(shù)，分數(shù)的值不變.（2）.8991

分數(shù)的分子、分母都除以它們的一個公約數(shù)，分數(shù)的值不變.與分數(shù)類似，分式有以下基本性質(zhì)：

分式的分子與分母都乘同一個非零整式，所得分式與原分式相等.即對于分式，有①

公式①從左到右看表明：分式的分子與分母都乘同一個非零多項式，所得分式與原分式相等.

公式①從右到左看表明：分式的分子與分母都除以它們的一個公因式，所得分式與原分式相等.

①下列等式是否成立？為什么？議一議舉例例3

根據(jù)分式的基本性質(zhì)填空：（1）

；（2）；（3）.分析（1）因為的分母-a乘-1就能化為a，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子也需乘-1，這樣所得分式才與原分式相等.

（1）

；（2）因為的分母y乘x就能化為xy，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子也需乘x，這樣所得分式才與原分式相等.

（2）（3）因為的分子5x除以x就能化為5，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分母也需除以x，這樣所得分式才與原分式相等.

（3）所以括號中應(yīng)填a2-1.解

（1）因為

，（2）因為

，所以括號中應(yīng)填x2.（3）因為，所以括號中應(yīng)填x-3.

像例3（3）這樣，根據(jù)分式的基本性質(zhì)

（3）x-3

把一個分式的分子與分母的公因式約去（即分子與分母都除以它們的公因式），叫作分式的約分.

像這樣，分子與分母沒有公因式的分式叫作最簡分式.

分式

經(jīng)過約分后得到

，其分子與分母沒有公因式.舉例例4

約分：（1）

；（2）.分析

約分的前提是要先找出分子與分母的公因式.解

（1）（2）

先分解因式，找出分子與分母的公因式，再約分.

約分一般是將一個分式化成最簡分式.

約分可以使求分式的值比較簡便.舉例例5

先約分，再求值：，

其中x=5，y=3.當x=5，y=3時，練習(xí)1.填空：x2-62xy2x2-1yx-1x+y2.約分：3.先約分，再求值：,其中x=2，y=3.當x=2，y=3時，y-x=3-2=1.中考試題例1若分式的值存在，則x的取值范圍是（）.A.x≠1B.x>1C.x=1D.x<1A解析

要使分式的值存在，分母不能為0，所以x-1≠0，x≠1,故選A.中考試題例2若分式的值為零，則x的值等于

.解析

由題意得：

∴x=-1.-1中考試題例3當x=

時，分式的值不存在.解析當分母2x-1=0，即時，分式的值不存在.分式的乘法和除法本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容1.2

根據(jù)分數(shù)的乘、除法法則完成下面的計算：做一做

與分數(shù)的乘、除法類似，分式也可以做乘法和除法.

分式的乘、除法運算法則如下：

分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.

分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分別作為積的分子、分母.如果u≠0，則規(guī)定即例1

計算：舉例

分式運算的最后結(jié)果要化為最簡分式.例2

計算：舉例

分析若分式的分子、分母可以因式分解，則先因式分解再進行計算.練習(xí)1.計算：2.計算：做一做計算：由乘方的意義和分數(shù)乘法的法則，可得n個n個n個類似地，對于任意一個正整數(shù)n，有即分式的乘方是把分子、分母各自乘方．例3

計算：舉例例4計算：舉例

取一條長度為1個單位的線段AB，如圖.做一做

第一步，把線段AB三等分，以中間一段為邊作等邊三角形，然后去掉這一段，就得到4條長度相等的線段組成的折線；線段的條數(shù)每條線段的長度折線總長度第一步：n=14

第二步：把上述折線中的每一條線段重復(fù)第一步的做法.線段的條數(shù)每條線段的長度折線總長度第一步：n=1第二步：n=2第三步：n=3…………416(

)264(

)3按照上述方法一步一步繼續(xù)下去，完成下表：線段的條數(shù)每條線段的長度折線總長度第一步：n=1第二步：n=2第三步：n=34…………1664(

)2(

)3繼續(xù)重復(fù)上述步驟，則第n步得到的折線總長度是多少？練習(xí)1.計算：2.計算：中考試題例1計算：=

.解析中考試題例2化簡：=

.解析x+3中考試題例3

先化簡，再求值：

，其中x=-3.解析當x=-3時，原式=1.3整數(shù)指數(shù)冪——同底數(shù)冪的除法在上節(jié)課我們計算過地球和太陽的體積，如果地球的體積大約是太陽的體積大約為。請問太陽的體積是地球體積的多少倍？

試一試：計算（1）

（2）(a≠0)

（3）

（4）

同底數(shù)冪除法的運算性質(zhì)：

(a≠o，m，n都為正整數(shù)，且m﹥n)

練一練：

例1計算：

想一想：

1000=10（3）8=2（3）

100=10（2）4=2（2）

10=10（1）2=2（1）

1=10（0）1=2（0）

猜一猜：

0.1=10（-1）=2（-1）

0.01=10（-2）=2（-2）

0.001=10（-3）=2（-3）

例2用小數(shù)或分數(shù)表示下列各數(shù)：

解：

三、過手訓(xùn)練：

1、判斷正誤，并改正

，，得2=32、計算：

（n為正整數(shù)）

3、（1）

（2）

=1，則x=

;若

則

，

四、課時小結(jié)：

1.同底數(shù)冪的除法運算法則，底數(shù)不變，指數(shù)相減.

2.都為整數(shù)，“m＞n”的條件可以取消；

3.當m=n時，（a≠0）

4.當m＜n時整數(shù)指數(shù)冪本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容1.3——1.3.2零次冪和負整數(shù)指數(shù)冪同底數(shù)冪相除的法則:同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減.即復(fù)習(xí)m、n為正整數(shù)，m>n1.同底數(shù)冪的除法法則中，a，m，n必須滿足什

么條件？2.如果m=n

或者m<n時，又該怎樣計算呢？答：(1)a≠0探究(1)53÷53=___(3)a2÷a5=

11a()(2)33÷35===

3533()113()3×323探究若53÷53也能適用同底數(shù)冪的除法法則，則53÷53=你認為應(yīng)當規(guī)定50等于多少，任何數(shù)的零次冪都等于1嗎？53÷53=___=5053-350a0=1？？=1任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于1.a0=1(a≠0)規(guī)定：00無意義?。∨e例任何不等于零的數(shù)的-n(n是正整數(shù))次冪,等于這個數(shù)的n次冪的倒數(shù).a-n=(a≠0,n是正整數(shù))an1=（）a1n特別地：a-1=(a≠0)a1指數(shù)從正整數(shù)推廣到了整數(shù)，正整數(shù)指數(shù)冪的各種運算法則對整數(shù)指數(shù)冪都適用.

例1

計算：舉例舉例例2

把下列各式寫成分式：（1）x-2；（2）2xy-3.

找規(guī)律

個0n

個0n(n為正整數(shù))舉例例3

用小數(shù)表示3.6×10-3.解

3.6×10-3=3.6×0.001=0.0036.=3.6×

把0.0036表示成3.6×10-3，這是科學(xué)記數(shù)法.關(guān)鍵是掌握下述公式：0.00…01=10-n.n個0科學(xué)計數(shù)法同樣可以表示絕對值很小的數(shù)舉例例4

2010年，國外科學(xué)家成功制造出世界上最小的晶體管，它的長度只有0.00000004m，請用科學(xué)記數(shù)法表示它的長度.解：0.00000004=4×0.00000001=4×10-8.練習(xí)1.計算：0.50，(-1)0，10-5，，.解

0.50=1，(-1)0=1，10-5=0.00001，2.把下列各式寫成分式：（1）x-3；（2）-5x-2y3.

3.用小數(shù)表示5.6×10-4.解5.6×

10-4

=0.00056.4.2011年3月，英國和新加坡研究人員制造出觀測極限為0.00000005m的光學(xué)顯微鏡，這是迄今為止觀測能力最強的光學(xué)顯微鏡，請用科學(xué)記數(shù)法表示這個數(shù).解0.00000005=5×

10-8.5.鋪地板用的一種正方形地磚的邊長為30

厘米，用科學(xué)記數(shù)法表示它的面積是多

少平方米？答：9×

10-2平方米.冪的意義:a·a·…·an個aan=同底數(shù)冪的乘法運算法則：am

·

an=am+n同底冪的除法運算法則:

am÷an=am–na0=1規(guī)定

個0

個0(n為正整數(shù));nna≠0小結(jié)與復(fù)習(xí)整數(shù)指數(shù)冪本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容1.3——1.3.3整數(shù)指數(shù)冪的運算法則說一說正整數(shù)指數(shù)冪的運算法則有哪些？am·an=am+n(m，n都是正整數(shù))；(am)n=amn(m，n都是正整數(shù))；(ab)n=anbn(n是正整數(shù)).

(a≠0，m，n都是正整數(shù)，且m＞n)；

(b≠0，n是正整數(shù)).探究思考：之前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了零指數(shù)冪和負指數(shù)冪的運算，那么am·an=am+n(m，n都是正整數(shù))這條性質(zhì)能否擴大到m，n都是任意整數(shù)的情形.探究

探究

探究

am

·

an=am+n(a≠0，m，n都是整數(shù)).⑦由此可以得出：探究思考:：其他的性質(zhì)能否也擴大到m，n都是任意整數(shù)的情形？答:：通過驗證，其他的性質(zhì)在m，n為任意整數(shù)時都成立.

由于對于a≠0，m，n都是整數(shù)，有

因此同底數(shù)冪相除的運算法則被包含在公式⑦中.

am

·

an=am+n(a≠0，m，n都是整數(shù))，⑦

由于對于a≠0，b≠0，n是整數(shù)，有

因此分式的乘方的運算法則被包含在公式⑨中.(ab)n=anbn(a≠0，b≠0，n是整數(shù))

⑨am

·

an=am+n(a≠0，m，n都是整數(shù))，(am)n=amn(a≠0，m，n都是整數(shù))，(ab)n=anbn(a≠0，b≠0，n是整數(shù)).⑦⑧⑨所以，整數(shù)指數(shù)冪的運算公式只有如下三個了：例1設(shè)a≠0，b≠0，計算下列各式：

（1）a7·

a-3；（2）(a-3)-2；

（3）a3b(a-1b)-2.舉例解

（1）a7·a-3（2）(a-3)-2=a7+(-3)=a(-3)×(-2)=a4.=a6.（3）a3b(a-1b)-2=a3b·a2b-2=a3+2b1+(-2)=a5b-1=注意：最后結(jié)果一般不保留負指數(shù)，應(yīng)寫成分式形式.舉例例2

計算下列各式：練習(xí)

1.設(shè)a≠0，b≠0，計算下列各式：（4）a-5(a2b-1)3；（1）（2）（3）2.計算下列各式：

小結(jié)與復(fù)習(xí)am

·

an=am+n(a≠0，m，n都是整數(shù))，(am)n=amn(a≠0，m，n都是整數(shù))，(ab)n=anbn(a≠0，b≠0，n是整數(shù)).整數(shù)指數(shù)冪的運算公式：1.在應(yīng)用各公式時，底數(shù)必須是相同的，指數(shù)可以是任意整數(shù).2.注意對于負指數(shù)和零指數(shù)時，a≠0，b≠0的條件.注意點分式的加法和減法本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容1.4做一做

；

；計算：

類似地，同分母的分式的加、減法運算法則是：

同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.

即同分母的分數(shù)相加減，分母不變，把分子相加減.

例1

計算：舉例

分式運算的最后結(jié)果要化為最簡分式.分式運算的最后結(jié)果要化為最簡分式.注意下列等式是否成立？為什么？說一說

因為所以

因為所以例2

計算：舉例練習(xí)1.計算：答案：x-y2.計算：答案：1做一做

；

.計算：

異分母的分數(shù)相加減，要先通分，化成同分母的分數(shù)，再加減.

類似地，異分母的分式進行加、減運算時，也要先化成同分母的分式，然后再加減.

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式化成同分母的分式的過程，叫作分式的通分.動腦筋如何把分式通分？

通分時，關(guān)鍵是確定公分母.

一般取各分母的所有因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的公分母稱為最簡公分母.2x的因式有2，x；

兩式中所有因式的最高次冪的積是6xy，3y的因式有3，y，

所以這兩個分式的最簡公分母為6xy.2x3y

從而可以根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分別把原來各分式的分子和分母都乘同一個適當?shù)恼?，使各分式的分母都化?xy.通分過程如下:舉例例3通分：解

最簡公分母是12xy2.最簡公分母是20a2b2c2.舉例例4通分：解

最簡公分母是x(x-1).最簡公分母是2(x+2)(x-2).練習(xí)1.通分：2.通分：動腦筋

從甲地到乙地依次需經(jīng)過1km的上坡路和2km的下坡路.已知小明騎車在上坡路上的速度為vkm/h，在下坡路上的速度為3vkm/h，則他騎車從甲地到乙地需多長時間？

這是異分母的分式的加法，因此我們應(yīng)先把它們化成同分母的分式，然后再相加，即

小明騎車走1km上坡路和2km下坡路的時間分別為，，那么騎行所需的總時間為.因此，小明騎車從甲地到乙地需.舉例例5計算：解舉例例6計算：解舉例例3

計算：注意

把“x+1”看作“

”，有助于尋找兩個分式的公分母.練習(xí)1.計算：2.計算：3.甲、乙兩城市之間的高鐵全程長1500km，列車運行速度為bkm/h.經(jīng)過長時間試運行后，鐵路部門決定將列車運行速度再提高50km/h，則提速后列車跑完全程要少花多長時間？答：提速后列車跑完全程要少花中考試題例1化簡：的結(jié)果是（）.A.-x-yB.y-xC.x-yD.x+y解析A中考試題例2計算：=

.解析1中考試題例3解析當時，=

.

當時，原式可化為一元一次方程的分式方程本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容1.5動腦筋

某校八年級學(xué)生乘車前往某景點秋游，現(xiàn)有兩條線路可供選擇：線路一全程25km，線路二全程30km；若走線路二平均車速是走線路一的1.5倍，所花時間比走線路一少用10min，則走線路一、二的平均車速分別為多少？

設(shè)走線路一的平均車速為xkm/h，則走線路二的平均車速為1.5xkm/h.又走線路二比走線路一少用10min，即因此，根據(jù)這一等量關(guān)系，我們可以得到如下方程：走線路一的時間-

走線路二的時間=像這樣，分母中含有未知數(shù)的方程叫作分式方程.議一議

分式方程的分母中含有未知數(shù)，我們該如何來求解呢？

聯(lián)想到我們在七年級已經(jīng)學(xué)過一元一次方程的解法，因此我們應(yīng)通過“去分母”，將分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程來求解.方程兩邊同乘6x，得解得x=30.25×6-30×4=x.經(jīng)檢驗，x=30是所列方程的解.

由此可知，走線路一的平均車速為30km/h，走線路二的平均車速為45km/h.

從上面可以看出，解分式方程的關(guān)鍵是把含未知數(shù)的分母去掉，這可以通過在方程的兩邊同乘各個分式的最簡公分母而達到.例1解方程

：舉例解

方程兩邊同乘最簡公分母x(x-2)，得

5x-3(x-2)=0.解得

x=-3.檢驗：把x=-3代入原方程，得因此x=-3是原方程的解.左邊

==右邊分式方程的解也叫作分式方程的根.例2解方程

：舉例解

方程兩邊同乘最簡公分母(x+2)(x-2)，得

x+2=4.解得

x=2.檢驗：把x=2代入原方程，方程兩邊的分式的

分母都為0，這樣的分式?jīng)]有意義.因此，x=2不是原分式方程的根，從而原分式方程無解.

從例2看到，方程左邊的分式的分母x-2是最簡公分母(x+2)(x-2)的一個因式.

這啟發(fā)我們，在檢驗時只要把所求出的未知數(shù)的值代入最簡公分母中，如果它使最簡公分母的值不等于0，那么它是原分式方程的一個根；

如果它使最簡公分母的值為0，那么它不是原分式方程的根，稱它是原方程的增根.

例2

解方程：

解分式方程有可能產(chǎn)生增根，因此解分式方程必須檢驗.說一說解可化為一元一次方程的分式方程的基本步驟有哪些？可化為一元一次方程的分式方程一元一次方程一元一次方程的解把一元一次方程的解代入最簡公分母中，若它的值不等于0，則這個解是原分式方程的根；若它的值等于0，則原分式方程無解.方程兩邊同乘各個分式的最簡公分母求解檢驗練習(xí)1.解下列方程：答案：x=5答案：無解2.解下列方程：答案：x=0答案：x=4動腦筋

A，B兩種型號機器人搬運原料.已知A型機器人比B型機器人每小時多搬運20kg，且A型機器人搬運1000kg所用時間與B型機器人搬運800kg所用時間相等，求這兩種機器人每小時分別搬運多少原料.

設(shè)B型機器人每小時搬運xkg，則A型機器人每小時搬運（x+20）kg.由“A型機器人搬運1000kg所用時間=B型機器人搬運800kg所用時間”由這一等量關(guān)系可列出如下方程：方程兩邊同乘最簡公分母x(x+20)，得1000x=800(x+20).解得x=80.檢驗：把x=80代入x(x+20)中，它的值不等于0，因此x=80是原方程的根，且符合題意.由此可知，B型機器人每小時搬運原料80kg，

A型機器人每小時搬運原料100kg.例3國家實施高效節(jié)能電器的財政補貼政策，某款空調(diào)在政策實施后，客戶每購買一臺可獲得補貼200元，若同樣用11萬元購買此款空調(diào)，補貼后可購買的臺數(shù)比補貼前多10%，則該款空調(diào)補貼前的售價為多少元？舉例分析本題涉及的等量關(guān)系是：

補貼前11萬元購買的臺數(shù)×(1+10%)=補貼后11萬元購買的臺數(shù).解

設(shè)該款空調(diào)補貼前的售價為每臺x元，由上述等量關(guān)系可得如下方程：即方程兩邊同乘最簡公分母x(x-200)，解得

x=2200.得

1.1(x-200)=x.檢驗：把x=2200代入x(x-200)中，它的值不等于0，

因此x=2200是原方程的根，且符合題意.答：該款空調(diào)補貼前的售價為每臺2200元.練習(xí)1.某單位蓋一座樓房，如果由建筑一隊施工，那么180天就可蓋成；如果由建筑一隊、二隊同時施工，那么30天能完成工程總量的.現(xiàn)若由二隊單獨施工，則需要多少天才能蓋成？解設(shè)由二隊單獨施工需x天完成任務(wù)，則

答：由二隊單獨施工，則需225天才能蓋成.2.一艘輪船在兩個碼頭之間航行，順水航行60km

所需時間與逆水航行48km所需時間相同.已