考研數(shù)學(xué)二模擬415

考研數(shù)學(xué)二模擬415一、選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.

設(shè)f"(x)在x=0處連續(xù)，且，則______．A.f(0)是f(x)的極大值B.f(0)是f(x)的極小值C.(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)D.f(0)非f(x)的極值，(0，f(0))也非y=f(x)的拐點(diǎn)正確答案：C[解析]由得f"(0)=0，由極限保號(hào)性可知，存在δ＞0，當(dāng)|x|＜δ時(shí)，．

當(dāng)x∈(-δ，0)時(shí)，因?yàn)閘n(1+x)＜0，所以f"(x)＜0；當(dāng)x∈(0，δ)時(shí)，因?yàn)閘n(1+x)＞0，所以f"(x)＞0，于是(0，f(0))為y=f(x)的拐點(diǎn)，選C.

2.

設(shè)y=x3+3ax2+3bx+c在x=-1處取最大值，又(0，3)為曲線的拐點(diǎn)，則______．A.a=1，b=-1，c=3B.a=0，b=-1，c=3C.a=-1，b=1，c=3D.a=1，b=1，c=3正確答案：B[解析]y'=3x2+6ax+3b，y"=6x+6a，則有解得a=0，b=-1，c=3，選B．

3.

設(shè)，其中F為可微函數(shù)，則為______．A.z-xyB.z+xyC.z-2xyD.z+2xy正確答案：B[解析]由得

選B.

4.

設(shè)D為xOy平面上的有界閉區(qū)域，z=f(x，y)在D上連續(xù)，在D內(nèi)可偏導(dǎo)且滿足，若f(x，y)在D內(nèi)沒有零點(diǎn)，則f(x，y)在D上______．A.最大值和最小值只能在邊界上取到B.最大值和最小值只能在區(qū)域內(nèi)部取到C.有最小值無最大值D.有最大值無最小值正確答案：A[解析]因?yàn)閒(x，y)在D上連續(xù)，所以f(x，y)在D上一定取到最大值與最小值，不妨設(shè)f(x，y)在D上的最大值M在D內(nèi)的點(diǎn)(x0，y0)處取到，即f(x0，y0)=M≠0，此時(shí)，這與矛盾，即f(x，y)在D上的最大值M不可能在D內(nèi)取到，同理f(x，y)在D上的最小值m不可能在D內(nèi)取到，選A.

5.

曲線y=x2與所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積為______.

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]選C．

6.

設(shè)三階常系數(shù)齊次線性微分方程有特解y1=ex，y2=2xex，y3=3e-x，則該微分方程為______．A.y'''-y"-y'+y=0B.y'''+y"-y'-y=0C.y'''+2y"-y'-2y=0D.y'''-2y"-y'+2y=0正確答案：A[解析]因?yàn)閥1=ex，y2=2xex，y3=3e-x為三階常系數(shù)齊次線性微分方程的三個(gè)特解，所以其對(duì)應(yīng)的特征方程的特征值為λ1=λ2=1，λ3=-1，其對(duì)應(yīng)的特征方程為

(λ-1)2(λ+1)=0，即λ3-λ2-λ+1=0．

則微分方程為y'''-y"-y'+y=0，選A.

7.

設(shè)四階矩陣A=(α1，α2，α3，α4)，其中α1，α2，α3線性無關(guān)，而α4=2α1-α2+α3，則r(A*)為______．A.0B.1C.2D.3正確答案：B[解析]由α1，α2，α3線性無關(guān)，而α4=2α1-α2+α3。得向量組的秩為3，于是r(A)=3，故r(A*)=1，選B.

8.

設(shè)A為三階矩陣，A的特征值為λ1=λ2=1，λ3=3，對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為α1，α2，α3，令P1=(α1+α3，α2-α3，α3)，則．

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]令

選C．

二、填空題1.

正確答案：[解析]

2.

設(shè)y=f(x)與y=sin2x在(0，0)處切線相同，其中f(x)可導(dǎo)，則正確答案：[解析]由y=f(x)與y=sin2x在(0，0)處切線相同得f(0)=0，f'(0)=2．

由得

3.

正確答案：10π[解析]

4.

由方程所確定的函數(shù)z=z(x，y)在點(diǎn)(1，1，2)處的全微分dz=______．正確答案：[解析]兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)得

則

兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)得，

則，于是

5.

設(shè)函數(shù)y=y(x)在(0，+∞)上滿足，則y(x)=______．正確答案：x(1-cosx)[解析]由可微的定義，函數(shù)y=y(x)在(0，+∞)內(nèi)可微，且或，由一階非齊次線性微分方程的通解公式得

由得C=1，所以y=x(1-cosx)．

6.

設(shè)矩陣不可對(duì)角化，則a=______．正確答案：0或4[解析]由

得λ1=0，λ2=a，λ3=4．

因?yàn)锳不可對(duì)角化，所以A的特征值一定有重根，從而a=0或a=4．

當(dāng)a=0時(shí)，由r(0E-A)=r(A)=2得λ1=λ2=0只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則A不可對(duì)角化，a=0合題意；

當(dāng)a=4時(shí)，

由r(4E-A)=2得λ2=λ3=4只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故A不可對(duì)角化，a=4合題意．

三、解答題共94分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1.

設(shè)f(x)在[0，1]上可導(dǎo)，且f(0)=0，0＜f'(x)＜1，證明：正確答案：[解]令

再令，h(0)=0，h'(x)=2f(x)[1-f'(x)]．

由f(0)=0，0＜f'(x)＜1得f(x)＞0(0＜x≤1)，

則h'(x)=2f(x)[1-f'(x)]＞0(0＜x＜1)，

由得h(x)＞0(0＜x≤1)，從而φ'(x)＞0(0＜x＜1)，

再由得φ(x)＞0(0＜x≤1)，

于是φ(1)＞0，即．

2.

設(shè)拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)(0，0)及(1，2)，其中a＜0，確定a，b，c，使拋物線與x軸所圍成的面積最小．正確答案：[解]由拋物線y=ax2+br+c過點(diǎn)(0，0)及(1，2)得c=0，a+b=2或b=2-a，c=0.

因?yàn)閍＜0，所以b＞0，由ax2+bx=0得x1=0，．

，令S'(a)=0得a=-4，從而b=6，故a=-4，b=6，c=0．

3.

設(shè)f(u)二階連續(xù)可導(dǎo)，z=f(exsiny)，且，求f(x)．正確答案：[解]

由得e2xf"(exsiny)=e2xz+e3xsiny，

或f"-f=exsiny，于是有f"(x)-f(x)=x．

顯然f(x)=C1e-x+C2ex-x．

4.

設(shè)L：(x≥0，y≥0)，過L上一點(diǎn)作切線，求切線與拋物線所圍成面積的最小值．正確答案：[解]首先求切線與坐標(biāo)軸圍成的面積，

設(shè)M(x，y)∈L，過點(diǎn)M的L的切線方程為．

令Y=0，得，切線與x軸的交點(diǎn)為；

令X=0，得，切線與y軸交點(diǎn)為，

切線與橢圓圍成的圖形面積為

其次求最優(yōu)解．

方法一：設(shè)

令

由，得λ=-1(λ=1舍去)，

代入①，得，再代入③，得于是最小面積為

方法二：由①，②，得，x=-2λy，

兩式相除，得，或，代入③，得于是最小面積為

方法三：令

當(dāng)時(shí)所圍成的面積的最小，且最小值為

5.

已知微分方程，作變換u=x2+y2，其中ω=ω(u，v)，求經(jīng)過變換后原方程化成的關(guān)于ω，u，v的微分方程的形式．正確答案：[解]ω=lnz-(x+y)兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)得

ω=lnz-(x+y)兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo)得

解得

代入原方程整理得

6.

計(jì)算二重積分，其中區(qū)域D是由直線x=-2，y=0，y=2及曲線所圍成的平面區(qū)域．正確答案：[解]設(shè)曲線與y軸圍成的平面區(qū)域?yàn)镈0，

則

所以

7.

當(dāng)隕石穿過大氣層向地面高速墜落時(shí)，隕石表面與空氣摩擦產(chǎn)生的高溫使隕石燃燒并不斷揮發(fā)，實(shí)驗(yàn)證明，隕石揮發(fā)的速率(即體積減少的速率)與隕石表面積成正比，現(xiàn)有一隕石是質(zhì)量均勻的球體，且在墜落過程中始終保持球狀，若它在進(jìn)入大氣層開始燃燒的前3s內(nèi)，減少了體積的，問此隕石完全燃盡需要多長時(shí)間?正確答案：[解]設(shè)隕石體積為V，表面積為S，半徑為r，它們都是時(shí)間t的函數(shù)，

因?yàn)椋琒=4πr2，所以

由題設(shè)得，即，其中V0為燃燒前的體積．

解得，再由條件得

所以，令V=0，得t=6，即完全燃盡需要6s．

8.

設(shè)，問a，b，c為何值時(shí)，矩陣方程AX=B有解，有解時(shí)求出全部解．正確答案：[解]令X=(ξ1，ξ2，ξ3)，B=(β1，β2，β3)，矩陣方程化為A(ξ1，ξ2，ξ3)=(β1，β2，β3)，即

當(dāng)a=1，b=2，c=-2時(shí)，矩陣方程有解，

此時(shí)

方程組Aξ1=β1的通解為

方程組Aξ2=β2的通解為

方程組Aξ3=β3的通解為

于是

設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=XTAX經(jīng)過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，又A*α=α，其中α=(1，1，-1)T．9.

求矩陣A；正確答案：[解]顯然A的特征值為λ1=2，λ2=-1，λ3=-1，|A|=2，伴隨矩陣A*的特征值為μ1=1，μ2=-2，μ3=-2．由A*α=α得AA*α=Aα，即Aα=2α，即α=(1，1，-