考研數(shù)學二分類模擬226

考研數(shù)學二分類模擬226選擇題(下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求)1.

設矩陣，則______．A.A與C相似，B與C相似B.A與C相似，B與C不相似C.A與C不相似，B與C相似D.A與C不相似，B與C不相似正確答案：B[考點]特征值、特征向量及二次型

[解析]由|λE-A|=0可知A的特征值為2，2，1．

因為

3-r(2E-A)=2

所以A可相似對角化，且．

由|λE-B|=0可知B的特征值為2，2，1．

因為

3-r(2E-B)=1

所以B不可相似對角化，顯然C可相似對角化．

所以A～C，但B不相似于C．

綜上所述，應選B．

2.

設A=(aij)3×3滿足A*=2AT，其中A*為A的伴隨矩陣，AT為A的轉置矩陣，如果a21=a22=a23＞0，則a22=______．

A．

B．

C．

D．正確答案：D[考點]矩陣、向量、方程組

[解析]因為A*=2AT，所以Aij=2aij(i，j=1，2，3)，|A*|=|2AT|，即

|A|2=23|AT|，|A|2=8|A|

從而|A|=0或|A|=8．

將行列式|A|按第2行展開，得

故．應選D

3.

已知四維向量組α1，α2，α3，α4線性無關，則下列向量組中線性無關的是______．A.α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1B.α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1C.α1+α2，α2+α3，α3-α4，α4-α1D.α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1正確答案：D[考點]向量

[解析]解1：排除法．

A：(α1-α2)+(α2-α3)+(α3-α4)+(α4-α1)=0；

B：(α1+α2)-(α2+α3)+(α3+α4)-(α4+α1)=0；

C：(α1+α2)-(α2+α3)+(α3-α4)+(α4-α1)=0；

故A，B，C均是線性相關的向量組，應選D．

解2：利用分塊矩陣的乘法．

兩邊取行列式，因α1，α2，α3，α4線性無關，則|α1，α2，α3，α4|≠0，又

故

|α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1|≠0

向量組α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1線性無關，故選D．

4.

設f(x)是(-∞，+∞)上的連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則______．A.當f(x)是奇函數(shù)時，F(xiàn)(x)必是偶函數(shù)B.當f(x)是偶函數(shù)時，F(xiàn)(x)必是奇函數(shù)C.當f(x)是周期函數(shù)時，F(xiàn)(x)必是周期函數(shù)D.當f(x)單調遞增時，F(xiàn)(x)必是單調遞增的正確答案：A[考點]函數(shù)、極限

[解析]選項D錯誤．取f(x)=x，則f(x)為(-∞，+∞)上的單調遞增函數(shù)，再取，而F(x)在(-∞，+∞)上不是單調遞增函數(shù)．

選項C錯誤．取f(x)=1+cosx，則f(x)是周期為2π的周期函數(shù)，再取F(x)=x+sinx，則F(x)不是周期函數(shù)．下面用反證法證明F(x)=x+sinx不是周期函數(shù)．

若F(x)=x+sinx是周期函數(shù)，則存在T＞0，使得對任意的正整數(shù)n．F(x+nT)=F(x)，即(x+nT)+sin(x+nT)=x+sinx，整理得nT=sinx-sin(x+nT)≤|sinx|+|sin(x+nT)|≤2，而當n充分大時，nT必大于2，矛盾．

最后討論選項A與B．因為F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，所以由原函數(shù)存在定理，可設，其中C0為常數(shù)，于是

當f(x)為奇函數(shù)時，由式①知F(-x)=F(x)，所以F(x)是偶函數(shù)，故選項A正確．

當f(x)為偶函數(shù)，且C0≠0時，由式①得

即F(x)不是奇函數(shù)，故選項B錯誤．

再如，取f(x)=x2，，則F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，但F(0)=10086≠0，故F(x)不是奇函數(shù)，所以選項B錯誤．

故正確答案為選項A．

5.

設A是三階實對稱矩陣，λ1，λ2，λ3是A的三個特征值，且滿足m≤λ1≤λ2≤λ3≤n，如果矩陣λE-A是正定矩陣，則常數(shù)λ滿足______．A.λ＜nB.λ＞nC.λ＜mD.λ＞m正確答案：B[考點]特征值、特征向量及二次型

[解析]由λ1，λ2，λ3是A的特征值知，λE-A的三個特征值分別為λ-λ1，λ-λ2，λ-λ3．λE-A是正定矩陣λE-A的三個特征值均大于零，即λ-λ1＞0，λ-λ2＞0，λ-λ3＞0．由m≤λ1≤λ2≤λ3≤n，得

-m≥-λ1≥-λ2≥-λ3≥-n

于是λ-n＞0，即λ＞n．應選B．

6.

設向量組α1，α2，α3為方程組Ax=0的一個基礎解系，下列向量組中也是方程組Ax=0的基礎解系的是______．A.α1+α2，α2+α3，α3-α1B.α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3C.α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1D.α1+α2+α3，2α1-3α2+22α3，3α1+5α2-5α3正確答案：C[考點]線性方程組

[解析]選項A，B，D錯誤．

注意到，基礎解系中的向量要線性無關，而A，B，D選項線性相關．

以A為例說明，B，D留給讀者自己驗證．

在選項A中，令β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3-α1，即

β1=α1·1+α2·1+α3·0

β2=α1·0+α2·1+α3·1

β3=α1·(-1)+α2·0+α3·1

亦即．由于α1，α2，α3線性無關，而，所以β1，β2，β3線性相關；也可由(α1+α2)-(α2+α3)+(α3-α1)=0，排除A．

選項C正確．因為．

由于α1，α2，α3線性無關，而，所以向量組α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1線性無關．又因α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1顯然是齊次方程的解，故他們是基礎解系．

7.

二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的規(guī)范形為______

A．

B．

C．

D．正確答案：B[考點]二次型

[解析]，其由．矩陣A的特征多項式為

由|λE-A|=0，得A的特征值為λ1=λ2=3，λ3=0，于是二次型f的正慣性指數(shù)p=2，負慣性指數(shù)為q=0，故二次型f的規(guī)范形為．應選B．

8.

設A，B是n階矩陣：

命題1：A和AT有相同的特征值；

命題2：若A與B相似，則A，B有相同的特征值；

命題3：若A，B均是實對稱矩陣，則AB和BA有相同的特征值；

命題4：若A是可逆矩陣，則AB和BA有相同的特征值．

上述命題正確的個數(shù)是______．A.1B.2C.3D.4正確答案：D[考點]特征值與特征向量

[解析]命題1，命題2顯然正確．

命題3正確．若AT=A，BT=B，則

|λE-AB|=|(λE-AB)T|=|λE-BTAT|=|λE-BA|

即AB和BA有相同的特征值．

命題4正確．若A可逆，則

A-1(AB)A=(A-1A)BA=BA

即AB相似于BA，故它們有相同的特征值．

4個命題都正確，故應選D．

9.

設A為n階矩陣，且(A-E)3=(A+E)3，其中E為n階單位矩陣，則(A-2E)-1=______．

A．

B．

C．

D．正確答案：D[考點]矩陣、向量、方程組

[解析]因為(A-E)3=(A+E)3，所以

A3-3A2+3A-E=A3+3A2+3A+E

從而3A2+E=0，即，于是

故應選D．

10.

設，則______．A.f(x)在x=a處可導且f'(a)≠0B.f(a)為f(x)的極大值C.f(a)不是f(x)的極值D.f(x)在x=a處不可導正確答案：B[考點]連續(xù)、導數(shù)、微分(Ⅰ)

[解析]因為，所以由極限的保號性，存在充分小的δ＞0，當0＜|x-a|＜δ時，有，從而有f(x)＜f(a)，于是f(a)為f(x)的極大值，故選B．

設a=0，f(x)=-x2，則選項A、C錯誤．由于

而，故，即f'(a)=0，所以選項D錯誤．

11.

設其中g(x)為有界函數(shù)，則f(x)在x=0處______．A.極限不存在B.極限存在，但不連續(xù)C.連續(xù)，但不可導D.可導正確答案：D[考點]連續(xù)、導數(shù)、微分(Ⅰ)

12.

設A是m×n階矩陣，下列命題正確的是______．A.若方程組Ax=0只有零解，則方程組Ax=b有唯一解B.若方程組Ax=0有非零解，則方程組Ax=b有無窮多個解C.若方程組Ax=b無解，則方程組Ax=0一定有非零解D.若方程組Ax=b有無窮多個解，則方程組Ax=0一定有非零解正確答案：D[考點]線性方程組

[解析]選項A錯誤．如只有零解，而無解；

選項B錯誤．如有非零解，而無解；

選項C錯誤．如無解，而只有零解；

選項D正確．若Ax=b有無窮多個解，則，從而r(A)＜n，故方程組Ax=0一定有非零解．

13.

設函數(shù)在(-∞，+∞)內連續(xù)，且，則常數(shù)a，b滿足______．A.a＜0，b＜0B.a＞0，b＞0C.a≤0，b＞0D.a≥0，b＜0正確答案：D[考點]函數(shù)、極限

14.

已知函數(shù)y=y(x)在任意點x處的增量，且當Δx→0時，α是Δx的高階無窮小，y(0)=π，則y(1)等于______．

A．2π

B．π

C．

D．正確答案：D[考點]常微分方程

[解析]由于．又當Δx→0時，α是Δx的高階無窮小，故由微分的定義知．分離變量得，積分得ln|y|=arctanx+C1，即y=Cearctanx．由y(0)=π知C=π，故y(x)=πearctanx，于是，故選D．

15.

設f'(x0)=f"(x0)=0，f"'(x0)＞0，則下列正確的是______．A.f'(x0)是f'(x)的極大值B.f(x0)是f(x)的極大值C.f(x0)是f(x)的極小值D.(x0，f(x0))為y=f(x)的拐點正確答案：D[考點]連續(xù)、導數(shù)、微分(Ⅰ)

[解析]因為f"'(x0)＞0，所以存在δ＞0．當0＜|x-x0|＜δ時，，從而當x∈(x0-δ，x0)時，f"(x)＜0；當x∈(x0，x0+δ)時，f"(x)＞0，即(x0，f(x0))是y=f(x)的拐點，故選D．

16.

已知α=(1，k，1)T是的伴隨矩陣A*的一個特征向量，則α對應的特征值為______．A.-4B.-1C.2D.4正確答案：D[考點]特征值、特征向量及二次型

[解析]|A|=4．

設A的伴隨矩陣A*對應于特征向量α=(1，k，1)T的特征值為λ，則

A*α=λα

給等式兩邊同時左乘A，得

AA*α=λAα，即|A|α=λAα

即

所以

解得λ=1，k=1，λ=4，k=-2．應選D．

17.

設有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0，其中A，B均為m×n矩陣，現(xiàn)有4個命題：

①若Ax=0的解均是Bx=0的解，則r(A)≥r(B)；

②若r(A)≥r(B)，則Ax=0的解均是Bx=0的解；

③若Ax=0與Bx=0同解，則r(A)=r(B)；

④若r(A)=r(B)，則Ax=0與Bx=0同解．

以上命題正確的有______．A.①②B.①③C.②④D.③④正確答案：B[考點]線性方程組

[解析]由于線性方程組Ax=0和Bx=0之間可以無任何關系，此時其系數(shù)矩陣的秩之間的任何關系都不會影響它們各自解的情況，所以②④顯然不正確，利用排除法，可立即得到正確選項為B．

下面證明①③正確．

對于①，由Ax=0的解均是Bx=0的解可知，方程組Bx=0的基礎解系可線性表示Ax=0的基礎解系，從而n-r(A)≤n-r(B)，故r(A)≥r(B)．

對于③，由于A，B為同型矩陣，若Ax=0與Bx=0同解，則其解空間的維數(shù)(即基礎解系包含解向量的個數(shù))相同，即n-r(A)=n-r(B)，從而r(A)=r(B)．

18.

齊次線性方程組Ax=0有非零解的充分必要條件是______．A.|A|=0B.非齊次線性方程組Ax=b有無窮多解C.A的列向量組線性相關D.A的行向量組線性相關正確答案：C[考點]線性方程組

[解析]設A是m×n矩陣，則齊次線性方程組Ax=0有非零解的列向量組線性相關．應選C．

19.

設向量組α1，α2，…，αs的秩為r(r＜s)，則下列說法錯誤的是______．A.α1，α2，…，αs中至少有一組由r個向量組成的部分組線性無關B.α1，α2，…，αs中任何r個線性無關向量組成的部分組與α1，α2，…，αs是等價向量組C.α1，α2，…，αs中任何r個向量的部分組都線性無關D.α1，α2，…，αs中任何r+1個向量的部分組都線性相關正確答案：C[考點]向量

[解析]選項A正確．r(α1，α2，…，αs)=r，由定義α1，α2，…，αs中最大的線性無關的部分向量組中的向量個數(shù)是r個，故至少有一個包含r個向量的部分組線性無關．

選項B正確．向量組的極大線性無關組不一定是唯一的，任何包含r個向量的線性無關部分組均是極大線性無關組，均與原向量組等價．

選項C錯誤．取α1=(1，0)，α2=(2，0)，α3=(0，1)，r(α1，α2，α3)=2，但α1，α2是線性相關的，故選C．

選項D正確．因α1，α2，…，αs中最大的線性無關部分組的向量個數(shù)為r，所以任何r+1個向量的部分組都線性相關．

20.

下列命題中，正確的命題是______．

A．n元非齊次線性方程組Ax=β有唯一解|A|≠0

B．如果齊次線性方程組Ax=0只有零解，則非齊次線性方程組Ax=β有唯一解

C．如果齊次線性方程組Ax=0有非零解，則非齊次線性方程組Ax=β有無窮多解

D．如果非齊次線性方程組Ax=β有兩個不同的解，則齊次線性方程組Ax=0有無窮多解正確答案：D[考點]矩陣、向量、方程組

21.

設A，B為n階矩陣，則下列結論正確的是______．A.若A，B可逆，則A+B可逆B.若A，B可逆，則AB可逆C.若A+B可逆，則A-B可逆D.若A+B可逆，則A，B都可逆正確答案：B[考點]矩陣

[解析]選項A錯誤．取，B=-A，可排除A；

選項B正確．若A，B可逆，則|A|≠0，|B|≠0，又因為|AB|=|A||B|，所以|AB|≠0，于是AB可逆；

選項C錯誤．取，可排除C；

選項D錯誤．取，可排除D．

22.

設矩陣A，B滿足AB=E，其中E是單位矩陣，則______．A.A的行向量組線性無關，B的行向量組線性無關B.A的行向量組線性無關，B的列向量組線性無關C.A的列向量組線性無關，B的行向量組線性無關D.A的列向量組線性無關，B的列向量組線性無關正確答案：B[考點]矩陣、向量、方程組

[解析]設A為m×n階矩陣，B為n×m階矩陣，則E為m階矩陣，于是

m=r(E)=r(AB)≤r(A)≤m

即r(A)=m，從而A的行向量組線性無關．

m=r(E)=r(AB)≤r(B)≤m

即r(B)=m，從而B的列向量組線性無關．應選B

23.

設A是三階矩陣，B是四階矩陣，且|A|=2，|B|=6，則為______．A.24B.-24C.48D.-48正確答案：D[考點]矩陣、向量、方程組

24.

設二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的秩為1，A的各行元素之和均為2，則f在非退化的線性變換x=Py下的規(guī)范形為______．

A．

B．

C．

D．正確答案：D[考點]特征值、特征向量及二次型

[解析]因為A的各行元素之和均為2，所以

即A有一個特征值λ1=2，其對應的特征向量α1=(1，1，1)T．

由二次型

f(x1，x2，x3)=xTAx

的秩為1，知r(A)=1，從而A的另兩個特征值λ2=λ3=0．由λ1=2＞0，知f的正慣性指數(shù)為1，故f在非退化的線性變換下的規(guī)范形．應選D．

25.

設A，B均為n階對稱矩陣，下列結論錯誤的是______．A.AB為對稱矩陣B.設A，B可逆，則A-1+B-1為對稱矩陣C.A+B為對稱矩陣D.kA為對稱矩陣正確答案：A[考點]矩陣

[解析]選項A錯誤．取，而不是對稱矩陣，故選A；

選項B正確．由(A-1+B-1)T=(A-1)T+(B-1)T=(AT)-1+(BT)-1=A-1+B-1，得A-1+B-1為對稱矩陣；

選項C正確．因(A+B)T=AT+BT=A+B，得A+B為對稱矩陣；

選項D正確．因(kA)T=kAT=kA，得kA為對稱矩陣．

26.

設周期函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內可導，周期為4，又，則曲線y=f(x)在點(5，f(5))處的切線斜率為______．

A．

B．0

C．-1

D．-2正確答案：D[考點]連續(xù)、導數(shù)、微分(Ⅰ)

[解析]由已知，可得，即f'(1)=-2．再由導數(shù)的幾何意義知，在點(5，f(5))處的切線斜率為f'(5)．又知f(x)是周期為4的可導函數(shù)，故

故選D．

27.

設A，B，C為n階方陣，滿足A=BC，將A，B按列分塊，記為

(α1，α2，…，αn)=(β1，β2，…，βn)C

下列說法中正確的是______．A.將αi和αj互換后，應將βi，βj互換B.將βi和βj互換后，應將C的第i行和第j行互換C.將αi加到αj后，應將βi加到βjD.將βi加到βj后，應將C的第i行加到第j行正確答案：B[考點]矩陣

[解析]βi和βj互換后，應將C的第i行和第j行互換，因

其中Eij表示互換類初等矩陣，即單位矩陣交換第i行與第j行(交換第i列與第j列)之后所得到的矩陣．應選B．

[考點]矩陣

28.

設f(x)在x=0的鄰域內有定義，且f(0)=0，則f(x)在x=0處可導的充分必要條件是______．

A．

B．

C．

D．正確答案：C[考點]連續(xù)、導數(shù)、微分(Ⅰ)

[解析]選項A錯誤．取顯然，而f(x)在x=0處不連續(xù)，從而不可導．

選項B錯誤．取注意對任意的h都有1-cosh≥0，則

存在，但顯然f(x)在x=0處不可導．

選項C正確．

選項D錯誤．取注意到對充分小的h＞0，h-tanh＜0，則f(h-tanh)=0，故

對充分小的h＜0，h-tanh＞0，則f(h-tanh)=h-tanh，故

所以存在，但顯然f(x)在x=0處不可導．

29.

設，則A與B______．A.相似且合同B.相似不合同C.合同不相似D.不合同也不相似正確答案：C[考點]二次型

[解析]由

|λE-A|=0，|λE-B|=0

分別解得A的特征值為1，3，-5，B的特征值為1，1，-1，又A，B為實對稱矩陣，且A與B的正、負慣性指數(shù)相同，所以合同．而|A|≠|B|，所以不相似．故選C．

30.

設α，β為四維非零列向量，且α⊥β，令A=αβT，則A的線性無關特征向量個數(shù)為______．A.1B.2C.3D.4正確答案：C[考點]特征值與特征向量

[解析]因為α，β為非零向量，所以r(A)=1且λ=0為A的四重特征根．又

因

r(0E-A)=r(A)=1

所以A的線性無關的特征向量個數(shù)為3，故選C．

31.

設A，B皆為n階矩陣，則下列結論正確的是______．A.AB=0當且僅當A=0或B=0B.AB≠0當且僅當A≠0且B≠0C.AB=0且r(A)=n，則B=0D.若AB≠0，則|A|≠0或|B|≠0正確答案：C[考點]矩陣

[解析]選項A，B錯誤．取，可同時排除A，B；

選項D錯誤．取，顯然，但|A|=0且|B|=0；

選項C正確．由AB=0，得r(A)+r(B)≤n，因為r(A)=n，r(B)=0，所以B=0．

32.

設矩陣，矩