考研數學二模擬404

考研數學二模擬404一、選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.

設f(x)=ln(1+x2)-x2，則當x→0時f(x)是g(x)的______A.低階無窮小量．B.高階無窮小量．C.同階但不等價的無窮小量．D.等價無窮小量．正確答案：D[解析]

則

所以，當x→0時，f(x)是g(x)的等價無窮小量．

2.

已知f(x)在x=a，x=b兩點處可導，且f(a)=f(b)，則A.f'(a)-f'(b)．B.f'(a)-2f'(b)．C.f'(a)+2f'(b)．D.f'(a)+f'(b)．正確答案：C[解析]

3.

設函數f(x)在(-∞，+∞)內除x=0點外二階可導，其一階導數的圖形如圖所示，則f(x)有______

A.兩個極大值點，兩個極小值點，一個拐點．B.兩個極大值點，兩個極小值點，兩個拐點．C.三個極大值點，兩個極小值點，兩個拐點．D.兩個極大值點，三個極小值點，兩個拐點．正確答案：C[解析]由圖可知，當x＜x1時，f'(x)＞0，當x∈(x1，x2)時，f'(x)＜0，則x=x1為f(x)的極大值點；當x∈(x2，0)時，f'(x)＞0，則x=x2為f(x)的極小值點；當x∈(0，x3)時，f'(x)＜0，則x=0為f(x)的極大值點；當x∈(x3，x4)時，f'(x)＞0，則x=x3為f(x)的極小值點；當x＞x4時，f'(x)＜0，則x=x4為f(x)的極大值點．

綜上，f(x)有三個極大值點，兩個極小值點．

又f"(x)有兩個零點，且一階導數在兩個零點兩側增減性有變化，所以f(x)有兩個拐點．

4.

微分方程y"-y'-6y=(2x+3)e-2x的特解為______A.(ax+b)e-2x．B.ax2e-2x．C.(ax2+bx)e-2x．D.x2(ax+b)e-2x．正確答案：C[解析]y"-y'-6y=0的特征方程有單特征根3，-2，于是y"-y'-6y=(2x+3)e-2x的特解可設為x(ax+b)e-2x．

5.

下列反常積分

A.①②．B.①③．C.②④．D.③④．正確答案：B[解析]直接計算

6.

A.N＜P＜M．B.M＜P＜N．C.M＜N＜P．D.P＜M＜N．正確答案：C[解析]

因cos4x≤cos2x，所以0＜N＜P，從而有M＜N＜P．

7.

已知其中A可逆，那么B-1=______A.P2A-1P1．B.P3A-1P1．C.P1A-1P2．D.P1P3A-1．正確答案：A[解析]把矩陣A的1、2兩行對調，再把第1列的-1倍加至第3列，即可得到矩陣B，即B=P1AP3，則

8.

已知r(A)=r1，且方程組AX=α有解，r(B)=r2，且BY=β無解，設A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，且r(α1，α2，…，αn，α，β1，β2，…，βn，β)=r，則______A.r=r1+r2．B.r＞r1+r2．C.r=r1+r2+1．D.r≤r1+r2+1．正確答案：D[解析]由題設

r(α1，α2，…，αn，α)=r1，

r(β1，β2，…，βn，β)=r2+1，

故r(α1，α2，…，αn，α，β1，β2，…，βn，β)≤r(α1，α2，…，αn，α)+r(β1，β2，…，βn，β)

=r1+r2+1．

二、填空題1.

正確答案：[解析]

其中

所以

2.

設y"-2y'+ay=3e-x的特解形式為Axe-x，則其通解為______．正確答案：[解析]因為方程有特解Axe-x，所以-1為特征方程r2-2r+a=0的一個特征根，即

(-1)2-2×(-1)+a=0a=-3，

所以特征方程為

λ2-2λ-3=0，得λ1=-1，λ2=3．

齊次方程y"-2y'+ay=0的通解為

y=C1e-x+C2e3x(C1，C2為任意常數)．

再把Axe-x代入原方程，得

所以原方程的通解為

3.

正確答案：[解析]

4.

設有一半橢球形水池，池口是半徑為a的圓，若以每秒v單位的速度向池內注水，則水深增加的速度與水深h的關系是______．正確答案：[解析]如圖，建立坐標系，設水深為h的水面圓的半徑為x，則橢圓方程為

此時，池中水量增量微元為

從而

由于故有

5.

設區(qū)域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，f(x)為D上的正值連續(xù)函數，a，b為常數，則正確答案：[解析]D關于直線y=x對稱，所以

則

所以

6.

已知二次型的秩為2，(2，1，2)T是A的特征向量，那么經正交變換后二次型的標準形是______．正確答案：[解析]求二次型XTAX在正交交換下的標準形，也就是求二次型矩陣A的特征值．

設α1=(2，1，2)T，根據特征值定義Aα=λα得

即

解出a=b=2，λ1=3．

又r(XTAX)=2，知|A|=0，于是λ2=0是A的特征值．

再由∑aii=∑λi，有1+(-5)+1=3+0+λ3，于是λ3=-6是A的特征值．

因此，正交變換下二次型的標準形為

三、解答題解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1.

已知函數f(x)在(0，+∞)內可導，f(x)＞0，且滿足

求f(x)．正確答案：

由導數定義，有

由已知得

即

積分得

又

則

2.

設f(x)在(a，+∞)內可導，且求證：

若A＞0，則若A＜0，則正確答案：聯(lián)系f(x)與f'(x)的是拉格朗日中值定理，取x0∈(a，+∞)，x＞x0有

f(x)=f(x0)+f'(ξ)(x-x0)(x0＜ξ＜x)．

①

因若A＞0，由極限的不等式性質可得，當x＞X時，

現取定x0＞X，當x＞x0時，由于ξ＞x0＞x，有于是由①得

又因為所以

若A＜0，考察h(x)=-f(x)，則h'(x)=-f'(x)，從而

由已證結論知

于是

3.

設g(x)在[a，+∞)上連續(xù)，且收斂，又求證l=0．正確答案：記則f(x)在[a，+∞)內可導且f'(x)=g(x)，

若l≠0，則l＞0或l＜0，由(Ⅰ)中結論得(或-∞)，與收斂矛盾．因此l=0．

4.

設函數z=f(x，y)在點(1，1)處可微，且φ(x)=f[x，xf(x，x)]，求正確答案：φ(1)=f(1，1)=1，

歸結為求φ'(1)．

根據復合函數求導法得

φ'(x)=f'1[x，xf(x，x)]+f'2[x，xf(x，x)]·[xf(x，x)]

=f'1[x，xf(x，x)]+f'2[x，xf(x，x)]·{f(x，x)+x[f'1(x，x)+f'2(x，x)]}，

φ'(1)=f'1(1，1)+f'2(1，1)[1+f'1(1，1)+f'2(1，1)]，

又

所以

φ'(1)=1+3×(1+1+3)=16，

5.

設曲線L位于xOy平面的第一象限內，L上任意一點M處的切線與y軸總相交，交點為A，已知|MA|=|OA|，且L經過點(1，1)，求L的方程．正確答案：設點M的坐標為(x，y)，則切線MA：Y-y=y'(X-x)，令X=0，則Y=y-y'x，故點A的坐標為(0，y-y'x)．

由|MA|=|OA|得

即

這是一階線性非齊次方程，得解

因為曲線經過點(1，1)，所以C=2．

再由曲線在第一象限內，得曲線方程為

6.

設f(x)在[a，a]上有一階連續(xù)導數，證明：至少存在一點ξ∈[0，a]，使得

正確答案：所給問題為f(x)的定積分與f'(ξ)之間的關系，可以考慮成其原函數與F"(ξ)之間的關系，從而利用二階泰勒公式來證明．

如果認定為考查f(x)與f'(ξ)之間的關系，也可以利用拉格朗日中值定理(一階泰勒公式)來證明．

也可以利用積分中值定理來證明．

思路一：利用f(x)=f(0)+f'(ξ1)(x-0)=f(0)+f'(ξ1)x可得

因f'(x)在[0，a]上連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數的最大值、最小值定理可知，存在m和M，使m≤f'(x)≤M，于是在[0，a]上有mx≤xf'(1)≤Mx，故

即

由連續(xù)函數的介值定理知，至少存在一點ξ∈[0，a]，使得

即

于是

思路二：

因為f'(x)連續(xù)，x-a≤0(x∈[0，a)，故由積分中值定理知，至少存在一點ξ∈[0，a]，使得

于是

思路三：令則F(x)可用麥克勞林公式表示為

即

今x=a，得

有一半徑為4m的半球形水池里有2m深的水，現需將水全部抽到距地面6m高的水箱內．7.

求水池中原來水的體積；正確答案：如圖，建立直角坐標系，以球心為坐標原點，向上作為y軸正向．取區(qū)間[y，y+dy]，在此區(qū)間上，體積微元

dV=πx2dy，

其中

x2=42-y2，

所以

dV=π(16-y2)dy，

水的體積

8.

求抽水至少需要做多少功．正確答案：提升體積微元的水所需的功為

dW=(6-y)ρgπ(16-y2)dy，

所以，將水全部提升至地面上方6m處，需做功

9.

計算其中D是由直線x=-2，y=2，x軸及曲線所圍成．正確答案：積分區(qū)域如圖所示．

選擇先x后y的積分次序，得

令t=y-1，得

利用對稱區(qū)間上奇偶函數積分性質及定積分幾何意義可得

所以

令t=sinθ，得

設α1，α2，β1，β2為三維列向量組且α1，α2與β1，β2都線性無關．10.

證明：至少存在一個非零向量可同時由α1，α2和β1，β2線性表示；正確答案：因為α1，α2，β1，β2線性相關，所以存在不全為零的常數k1，k2，l1，l2，使得

k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0k1α1+k2α2=-l1β1-l2β2．

令

γ=k1α1+k2α2=-l1β1-l2β2，

因為α1，α2與β1，β2都線性無關，所以k1，k2及l(fā)1，l2都不全為零，所以γ≠0．

11.

設求出可由兩組向量同時線性表示的向量．正確答案：令k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0，用初等變換法解此齊次方程組

則

所以

γ=kα1-3kα2=-kβ1+0β2(其中k為非零數)．

已知二次型的秩為2.12.

求a的值；正確答案：二次型對應矩陣為

由二次型的秩為2，知得a=0．

13.

求正交變換x=Qy，把f(x1，