考研數(shù)學二模擬399

考研數(shù)學二模擬399一、選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.

若3a2-5b＜0，則方程x5+2ax3+3bx+4c=0______A.有唯一實根．B.有兩個不同實根．（江南博哥）C.有三個不同實根．D.有五個不同實根．正確答案：A[解析]設f(x)=x5+2ax3+3bx+4c，f'(x)=5x4+6ax2+3b．

因為Δ=(6a)2-4×5×(3b)=12(3a2-5b)＜0，所以f'(x)＞0，因此f(x)=0至多有一個根．

又f(x)是五次多項式，它至少有一個零點，所以f(x)=0有唯一實根．

2.

設則F'(1)=______A.2e(1-e)．B.-2e2．C.1-e．D.0．正確答案：A[解析]區(qū)域D：0≤x≤t2，x≤y≤t2，交換次序為D：0≤y≤t2，0≤x≤y，則

F'(t)=2tet2(et2-1)cos(π|t|)，

F'(1)=-2e(e-1)=2e(1-e)．

3.

曲線y=f(x)=|x|-x+e-|x|ln|x|的漸近線共有______A.1條．B.2條．C.3條．D.4條．正確答案：C[解析]當x=0時，所以x=0是其垂直漸近線．

當x＞0時，f(x)=e-xlnx，所以y=0是其水平漸近線．

當x＜0時，f(x)=-2x+exln(-x)，得

所以其有斜漸近線y=-2x．

4.

設函數(shù)x≥1，由微分中值定理有：f(5)-f(1)=4f'(ξ)，則ξ的取值為______A.5．B.4．C.5和4．D.2．正確答案：D[解析]

5.

設f(x)是二階可導的奇函數(shù)，y(x)=f(cosx)·cos[f(x)]，且當時，f(x0)=x0，f'(0)=f'(x0)=1，則y"(x0)=______A.1．B.2．C.-1．D.-2．正確答案：B[解析]f(x)是二階可導的奇函數(shù)，所以有f(0)=0．

記g(x)=f(cosx)，h(x)=cos[f(x)]，則

g'(x)=-sinxf'(cosx)，

g"(x)=-cosxf'(cosx)+sin2xf"(cosx)．

g(x0)=f(0)=0，g'(x0)=-f'(0)，g"(x0)=f"(0)．

h'(x)=-sin[f(x)]·f'(x)，

h"(x)=-cos[f(x)]·[f'(x)]2-sin[f(x)]·f"(x)．

h(x0)=0，

h'(x0)=-sin[f(x0)]·f'(x0)=-f'(x0)，h"(x0)=-f"(x0)

y"(x0)=[g(x)·h(x)]"|x=x0

=g"(x0)·h(x0)+2g'(x0)·h'(x0)+g(x0)·h"(x0)

=f"(0)·0+2f'(0)·f'(x0)-f(0)·f"(x0)=2．

6.

設f(x)，g(x)在(-δ，δ)內連續(xù)，且當x→0時，f(x)和g(x)都是x2的等價無窮?。羰莿tx→0時______A.α(x)是β(x)的低階無窮?。瓸.α(x)是β(x)的高階無窮小．C.α(x)是β(x)同階，但不等價的無窮?。瓺.α(x)與β(x)是等價無窮?。_答案：C[解析]

7.

設是三階可逆矩陣，B是三階矩陣，且則B相似于______

A．

B．

C．

D．正確答案：A[解析]觀察可由作初等行變換得到，將A的1、2行互換(左乘E12)，再將E12A的第2行乘以2，第3行乘以-1(左乘E2(2)，再左乘E3(-1))，即得AB，即

A是可逆矩陣，上式兩邊右乘A-1，得即

8.

設有通解k(2，-3，0，1)T，其中k是任意常數(shù)，A中去掉第i(i=1，2，3，4)列后得到矩陣記為Ai．則下列方程組有非零解的是______A.A1y=0．B.A2y=0．C.A3y=0．D.A4y=0．正確答案：C[解析]由AX=(α1，α2，α3，α4)X=0有通解k(2，-3，0，1)T知，r(A)=3，且

2α1-3α2+0α3+α4=2α1-3α2+α4=0，

即有非零解[2，-3，1]T，故應選C，A、B、D均不成立．

若A1y=0有非零解，設為(y2，y3，y4)T(≠0)，則y2α2+y3α3+y4α4=0不失一般性，設y2≠0，則又AX=0有解(2，-3，0，1)T，得2α1-3α2+α4=0，即α1，α2均可由α3，α4線性表出，故r(α1，α2，α3，α4)=2，這和r(A)=3矛盾，故A不成立，同理可證B、D不成立．

二、填空題1.

設二元函數(shù)f(x，y)二階連續(xù)可導，且

若u(x，y，z)=f(x+y+z，x2+y2+z2)，則正確答案：-12[解析]

利用函數(shù)結構的對稱性，可得

最后得

2.

若二階常系數(shù)線性齊次微分方程2y"+ay'=0和y"-by=0有同一解y=e2x，則非齊次方程y"+ay'+by=e2x的通解為y=______．正確答案：(C1，C2為任意常數(shù))[解析]由題設條件可知二次方程2λ2+aλ=0與λ2-b=0有共同的一個解λ=2，所以b=4，a=-4．齊次微分方程為y"-4y'+4y=0，其通解是y=(C1+C2x)e2x(C1，C2為任意常數(shù))．

求非齊次微分方程y"-4y'+4y=e2x的一個特解：

設特解Y=Ax2e2x，代入微分方程y"-4y'+4y=e2x，得

A(2e2x+8xe2x+4x2e2x)-4A(2xe2x+2x2e2x)+4Ax2e2x=e2x．

比較系數(shù)，得故其特解為通解為

3.

設函數(shù)z=z(x，y)由方程確定，則在點P0(1，1)處的值為______．正確答案：1[解析]由方程z+lnz-lnx-y=0，得

所以有

又z(1，1)=1，所以在點P0(1，1)處

4.

f(t)為連續(xù)函數(shù)，D是由y=x3，y=1，x=-1圍成的區(qū)域，則正確答案：2[解析]如圖，由區(qū)域的對稱性可得

因此

5.

微分方程y"-2y'-3y=x(1+e-x)的一個特解形式為______．正確答案：y*=Ax+B+x(Cx+D)e-x(A，B，C，D為任意常數(shù))[解析]原方程對應的齊次方程的兩個特征根分別為-1，3，所以

方程y"-2y'-3y=x的一個特解形式為y1=Ax+B；

方程y"-2y'-3y=xe-x的一個特解形式為y2=x(Cx+D)e-x．

根據(jù)線性非齊次微分方程解的疊加原理，原微分方程的一個特解形式為

y*=y1+y2=Ax+B+x(Cx+D)e-x(A，B，C，D為任意常數(shù))．

6.

設為可逆矩陣，且若則C-1=______．正確答案：[解析]觀察C和A的關系，C可由A的1、2行互換后，再將第3列加到第1列得到，即C=E12AE13(1)，故C-1=[E12AE13(1)]-1=[E13(1)]-1A-1(E12)-1，其中(E12)-1=E12，[E13(1)]-1=E13(-1)，故

三、解答題解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1.

設z=z(x，y)是由x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0確定的函數(shù)，求z=z(x，y)的極值點和極值．正確答案：方程x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0兩邊對x和y求導，得

令得

故得駐點坐標關系

將上式代入x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0，可得兩個駐點和

由于

①對x求導得

②對x求導得

③對y求導得

得

故又從而點(9，3)是z(x，y)的極小值點，極小值為z(9，3)=3．

類似地，由

可知又所以點(-9，-3)是z(x，y)的極大值點，極大值為z(-9，-3)=-3．

2.

求微分方程(y+x3)dx-2xdy=0滿足的特解．正確答案：原方程變形為由一階線性方程通解公式得

再由解得C=1，所以原方程特解為

設函數(shù)3.

討論f(x)的單調性，考察f(x)的極值問題；正確答案：由f'(x)=0，得唯一駐點x=0．

所以，當x＜0時，f(x)單調遞減；當x1＞0時，f(x)單調遞增．

極小值點為x=0，極小值為f(0)=0．

4.

討論f(x)的凹凸性，并求其拐點；正確答案：f"(x)=(2xe-x4)'=2e-x4(1-4x4)，由f"(x)=0，得二階導數(shù)的兩個零點：所以f(x)的下凸區(qū)間為上凸區(qū)間為是拐點．

5.

求f(x)的漸進線，并作示意圖．(注：已知)正確答案：因有又有

所以f(x)有水平漸進線如圖．

設函數(shù)t∈[0，1]，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}．6.

求f(t)的初等函數(shù)表達式，正確答案：如圖將積分區(qū)域劃分如下：

D+=D∩{(x，y)|y-t≥0}，

D-=D∩{(x，y)|xy-t≤0}．

7.

證明存在t0∈(0，1)，使得f(t0)是f(t)在[0，1]內的唯一最小值．正確答案：

由駐點方程f'(t)=0，難以求得駐點的值，但可以通過分析函數(shù)f(t)在區(qū)間(0，1]內的性質，斷言：f(t)在區(qū)間(0，1)內有唯一駐點，這一點就是f(t)在區(qū)間[0，1]上的最小值點．因為f"(t)=-2lnt＞0，t∈(0，1)，函數(shù)在區(qū)間(0，1)內是下凸的．

因為f(t)在區(qū)間(0，1]內連續(xù)，所以在區(qū)間(0，1]內f(t)存在最小值．

又f'+(0)＜0，f'(1)=1＞0，可知該最小值點不在端點，因此最小值點在(0，1)內部，所以它也是駐點．又函數(shù)f(t)在區(qū)間[0，1]內是下凸的，因此該駐點是唯一的．證畢．

若u1=b，n=1，2，…．8.

若{un}收斂，求的值；正確答案：若存在，則由條件得

A=A2+(1-2a)A+a2A2-2aA+a2=0A=a．

9.

常數(shù)a，b滿足什么條件時，數(shù)列{un}收斂．正確答案：由可見{un}是單調增數(shù)列．

因此，如果數(shù)列{un}收斂，必須滿足即要滿足條件

則a-1≤un≤a，n=1，2，…．當然應有a-1≤u1=b≤a．

若條件a-1≤u1=b≤a成立，用數(shù)學歸納法證明：

a-1≤un≤a，n=1，2，…，

假設當n=k時，a-1≤uk≤a成立，則

同時uk+1＞uk≥a-1，即a-1≤uk+1≤a．

從而證明了a-1≤un≤a．

即{un}單調增有上界，所以{un}收斂．

設y=y(x)在(-∞，+∞)內二階可導，且y'(x)≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù)．10.

試將x=x(y)所滿足的微分方程

變換為y=y(x)滿足的微分方程；正確答案：因為x[y(x)]=x，所以從而

故

代入原方程，得y"-y=sinx．

11.

求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)=0，的解．正確答案：現(xiàn)在變?yōu)槌踔祮栴}

對應的齊次方程y"-y=0的通解為

Y=C1ex+C2e-x．

設方程y"-y=sinx的特解為Y=Acosx+Bsinx，

代入得A=0，故從而y"-y=sinx的通解為

由y(0)=0，得C1=1，C2=-1，故所求初值問題的解為

若有數(shù)列{xn}由如下條件確定，x1=1，xn+1=sin(arctanxn)，n=1，2，…．12.

證明數(shù)列{xn}收斂，并求極限正確答案：首先證明，{xn}單調減趨于零．

由x1=1，及0≤xn+1=sin(arctanxn)≤arctanxn≤xn，所以{xn}單調減少，且{xn}[0，1]，則{xn}單調減且有下界．從而其極限存在，設則由得方程

a=sin(arctana)，a∈[1，0]，

顯然a=0，即

13.

求極限正確答案：思路一：

當t→0時，則

思路二：令un=arctanxn，則xn=tanun，因此

設n階矩陣A的元素aij，i，j=1，2，…，n，Aij是aij的代數(shù)余子式．14.

正確答案：思路一：求得A*即可求得A的全部代數(shù)余子式之和，由得|A|=1，則

故

思路二：

15.

已知|A|=3，a11=2，求|B|.正確答案：

則有

故|B|=|C|=a11|A|n-2=2·3n-2．

設f(x1，x2，…，xn)=XTAX，