考研數(shù)學二分類模擬題92

考研數(shù)學二分類模擬題92一、填空題1.

積分中值定理的條件是______，結論是______．正確答案：f(x)在[a，b]上連續(xù)；在[a，b]內至少存在一點ξ，使．[解析]積分中值定理：

若f(x)在[a，b]上連續(xù)，則在[a，b]內至少存在一點ξ，使．

2.

設f(x)是連續(xù)函數(shù)，且，則f(x)=______．正確答案：x-1．[解析]解法1

令，則f(x)=x+2a．將f(x)=x+2a代入，得

由此可得

則f(x)=x-1．

解法2

等式兩端從0到1對x積分得

，

由此可得

從而f(x)=x-1．

注意到定積是一個數(shù)，由此可衍生出有關二重積分的此類問題，也是一個數(shù)．

3.

下列兩個積分的大小關系是：正確答案：＞．[解析]當x∈[-2，-1]時，e-x3＞ex3，則

4.

∫f'(x)dx=______．正確答案：f(x)+C，其中C為任意常數(shù)．[解析]∫f'(x)dx=f(x)+C(其中C為任意常數(shù))．

5.

正確答案：．[解析]

6.

已知曲線y=f(x)過點，且其上任一點(x，y)處的切線斜率為xln(1+x2)，則f(x)=______．正確答案：．[解析]由題設可知y'=xln(1+x2)，則

又曲線y=f(x)過點，即，代入上式得．

故

7.

∫x3ex2dx=______．正確答案：．[解析]

8.

正確答案：，其中C為任意常數(shù)．[解析]本題考查積分公式：

因此

若令，則

9.

正確答案：-cotx·ln(sinx)-cotx-x+C，其中C為任意常數(shù)．[解析]直接令u=ln(sinx)，，v=-cotx，便得

其中C為任意常數(shù)．

10.

正確答案：(C為任意常數(shù))．[解析]

其中C為任意常數(shù)．

11.

設f(x)是周期為4的可導奇函數(shù)，且f'(x)=2(x-1)，x∈[0，2]，則f(7)=______．正確答案：1．[解析]當x∈[0，2]時，f(x)=∫2(x-1)dx=x2-2x+C．由f(0)=0可知C=0，即f(x)=x2-2x．又f(x)是周期為4的奇函數(shù)，故f(7)=f(-1)=-f(1)=1．

二、選擇題1.

設f(x)與g(x)在(-∞，+∞)上皆可導，且f(x)＜g(x)，則必有

A．f(-x)＞g(-x)．

B．f'(x)＜g'(x)．

C．

D．正確答案：C[解析]由于f(x)和g(x)在(-∞，+∞)上皆可導，則必在(-∞，+∞)上連續(xù)，則

又f(x)＜g(x)，從而f(x0)＜g(x0)，即

選項D中上限x有可能是負數(shù)，故錯誤．

2.

設則有A.N＜P＜M．B.M＜P＜N．C.N＜M＜P．D.P＜M＜N．正確答案：D[解析]由被積函數(shù)的奇偶性可知

，

因此，P＜M＜N．故應選D．

3.

設在區(qū)間[a，b]上函數(shù)f(x)＞0，f'(x)＜0，f"(x)＞0．令，S2=f(b)(b-a)，，則A.S1＜S2＜S3．B.S2＜S1＜S3．C.S3＜S1＜S2．D.S2＜S3＜S1．正確答案：B[解析]由題目對函數(shù)f(x)圖形性態(tài)的描述，易知f(x)在x軸上方、單調下降且是凹的，如圖所示，且S1、S2和S3分別為圖中所示區(qū)域的面積，顯然S2＜S1＜S3．

4.

設，則F(x)A.為正常數(shù)．B.為負常數(shù)．C.恒為零．D.不為常數(shù)．正確答案：A[解析]由于函數(shù)esintsint以2π為周期，因此

5.

設，則A.I1＞I2＞1．B.1＞I1＞I2．C.I2＞I1＞1．D.1＞I2＞I1．正確答案：B[解析]因為當時，sinx＜x＜tanx，故，

這便排除了選項C和D．

又令，則，即f(x)在上單調增加，有

故

即選項B正確．

從幾何上更容易直接看出當時，是過原點與點的直線)．

6.

如圖所示，連續(xù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-3，-2]，[2，3]上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間[-2，0]，[0，2]上的圖形分別為直徑為2的上、下半圓周．設，則下列結論正的是

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]由所給條件，f(x)為x的奇函數(shù)，故F(x)為x的偶函數(shù)，所以F(-3)=F(3)．再利用定積分的幾何意義，用半圓面積表示所要計算的定積分，于是有

所以，選C．

7.

如圖所示，曲線段的方程為y=f(x)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，a]上有連續(xù)的導數(shù)，則定積分等于

A.曲邊梯形ABOD的面積．B.梯形ABOD的面積．C.曲邊三角形ACD的面積．D.三角形ACD的面積．正確答案：C[解析]

8.

設，則I，J，K的大小關系為A.I＜J＜K．B.I＜K＜J．C.J＜I＜K．D.K＜J＜I．正確答案：B[解析]當時，，且lnx在(0，+∞)單調增，于是有，ln(sinx)＜ln(cosx)＜ln(cotx)，，選B．

雖然是兩個反常積分，但本題的考查方式并不需要考生判斷其斂散性，因此反常積分斂散性的判斷并不是本題的考點．

9.

設(k=1，2，3)，則有A.I1＜I2＜I3．B.I3＜I2＜I1．C.I2＜I3＜I1．D.I2＜I1＜I3．正確答案：D[解析]對定積分

兩兩進行比較．

，注意到在(π，2π)內ex2sinx＜0，可得I2-I1＜0，即有I2＜I1．

，因為在(2π，3π)內ex2sinx＞0，所以I2＜I3．

故I3＞I1．

綜上，有I2＜I1＜I3，故選D．

以上是用解析的方法得出選D的結論．其實本題也可以這樣做：先畫出y=ex2及y=sinx在[0，3π]上的草圖，即可得到函數(shù)y=ex2sinx圖形的大致形狀，然后結合定積分的幾何意義，即可判斷出

I2＜I1＜I3．

10.

設函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上連續(xù)，則d[∫f(x)dx]等于A.f(x)．B.f(x)dx．C.f(x)+C．D.f'(x)dx．正確答案：B[解析]d[∫f(x)dx]=[∫f(x)dx]'dx=f(x)dx．

本題主要考查不定積分的性質．

11.

若f(x)的導函數(shù)是sinx，則f(x)有一個原函數(shù)為A.1+sinx．B.1-sinx．C.1+cosx．D.1-cosx．正確答案：B[解析]由題設可知f'(x)=sinx，于是f(x)=∫f'(x)dx=-cosx+C1．

從而f(x)的原函數(shù)

F(x)=∫f(x)dx=∫(-cosx+C1)dx=-sinx+C1x+C2(其中C1，C2為任意常數(shù))．

令C1=0，C2=1，即得f(x)的一個原函數(shù)為1-sinx．

本題主要考查原函數(shù)的概念．

三、解答題1.

計算不定積分，其中a，b是不全為0的非負數(shù)．正確答案：解

當a≠0，b≠0時，

當a=0，b≠0時，

當a≠0，b=0時，

其中C為任意常數(shù)．

2.

求正確答案：解

，其中C為任意常數(shù)．

3.

計算．正確答案：解

4.

求∫xsin2xdx．正確答案：解

原式

5.

求正確答案：解

原式

6.

求．正確答案：解法1

原式

解法2

原式

其中C為任意常數(shù)．

7.

設，且f[φ(x)]=lnx，求∫φ(x)dx．正確答案：解

因為．所以．

又.，從而．于是

，其中c為任意常數(shù)．

由，故ln(x-1)不必加絕對值．

8.

求．正確答案：解法1

原式=

解法2

原式

9.

計算不定積分．正確答案：解

原式

10.

計算∫e2x(tanx+1)2xdx．正確答案：解

原式=∫e2xsec2xdx+2∫e2xtanxdx

=e2xtanx-2∫e2xtanxdx+2∫e2xtanxdx

=e2xtanx+C(其中C為任意常數(shù))．

11.

設，計算∫f(x)dx．正確答案：解

設lnx=t，則x=et，．

還可這樣處理：(其中C為任意常數(shù))．

12.

求正確答案：解

設x=tanu，則dx=sec2udu．

原式

13.

計算不定積分．正確答案：解法1

設x=tant，則

又∫etsintdt=-∫etd(cost)=-(etcost-∫etcostdt)=-etcost+etsint-∫etsintdt，