考研數(shù)學(xué)二分類(lèi)模擬題97

考研數(shù)學(xué)二分類(lèi)模擬題97一、選擇題1.

設(shè)D是xOy平面上以(1，1)，(-1，1)和(-1，-1)為頂點(diǎn)的三角區(qū)域，D1是D在第一象限的部分，則等于

A．

B．

C．

D．0．正確答案：A[解析]如圖所示，ΔOAB所圍區(qū)域記為D2，ΔOBC所圍區(qū)域記為D3．

由于xy關(guān)于x是奇函數(shù)，積分域D2關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則

同理．從而．

又cosxsiny是y的奇函數(shù)，D3關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則

又cosxsiny是x的偶函數(shù)，D2關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則

從而有

故

2.

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]設(shè)D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，記

用直線(xiàn)(i=0，1，2，…，n)與(j=0，1，2，…，n)將D分成n2等份，和式

是函數(shù)f(x，y)在D上的一個(gè)二重積分的和式，所以

本題主要考查二重積分的概念與將和式轉(zhuǎn)化為積分和的方法，是一道基本概念題．

3.

設(shè)區(qū)域D由曲線(xiàn)y=sinx，，y=1圍成，則A.π．B.2．C.-2．D.-π．正確答案：D[解析]解法1

注意到和sinx均為奇函數(shù)，所以

于是

原式=

解法2

將積分區(qū)域D分為D1和D2兩部分(如圖)．

由于D1關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，xy5關(guān)于y是奇函數(shù)，因此

又D2關(guān)于Y軸對(duì)稱(chēng)，xy5關(guān)于x是奇函數(shù)，故

于是

利用割補(bǔ)的方法．不難看出區(qū)域D的面積是π，因而

4.

設(shè)Dk是圓域D={(x，y)|x2+y2≤1}在第k象限的部分，記(k=1，2，3，4)，則A.I1＞0．B.I2＞0．C.I3＞0．D.I4＞0．正確答案：B[解析]注意到在區(qū)域D2內(nèi)y-x≥0，在區(qū)域D4內(nèi)y-x≤0，且其等號(hào)不恒成立，因而I2＞0，I4＜0．這排除了選項(xiàng)D．

又區(qū)域D1和D3都是關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，在這兩個(gè)區(qū)域內(nèi)，交換x與y的位置，則被積函數(shù)變?yōu)閤-y，且x-y=-(y-x)，于是I1=I3=0．這排除了選項(xiàng)A和C．

本題也可以通過(guò)計(jì)算二重積分求得答案．

同理可得，I3=0，．

故選B．

5.

設(shè)函數(shù)f(u)連續(xù)，區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤2y}，則等于

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]因?yàn)閺膞2+y2=2y解出，它們分別是內(nèi)層積分的上、下限．故選項(xiàng)A可排除．把直角坐標(biāo)系下的二重積分化為極坐標(biāo)系下的二重積分時(shí)，面積元素dσ=rdrdθ，故選項(xiàng)C可排除．由于f(xy)關(guān)于y軸的奇偶性是未知的，故選項(xiàng)B可以排除，于是應(yīng)選D．當(dāng)然，將二重積分化為極坐標(biāo)系下的二次積分可直接得到D．因?yàn)閰^(qū)域D：0≤ρ≤2sinθ，0≤θ≤π，故

6.

設(shè)f(x，y)為連續(xù)函數(shù)，則等于

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]積分區(qū)域，如圖所示．若先對(duì)y積分再對(duì)x積分，需將D分成兩個(gè)區(qū)域D1和D2，故可排除A，B．區(qū)域D可表示為

于是選C．

7.

設(shè)函數(shù)f(x，y)連續(xù)，則二次積分等于

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]根據(jù)所給二次積分得到積分區(qū)域?yàn)槿鐖D所示，則有

8.

設(shè)函數(shù)f(x，y)連續(xù)，則

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]的積分區(qū)域?yàn)閮刹糠郑?/p>

D1={(x，y)|1≤x≤2，x≤y≤2}，

D2={(x，y)|1≤y≤2，y≤x≤4-y}，

將上述兩部分合并寫(xiě)成

D=D1+D2={(x，y)|1≤y≤2，1≤x≤4-y}，

故

答案為C．

9.

設(shè)D是第一象限中由曲線(xiàn)2xy=1，4xy=1與直線(xiàn)y=x，圍成的平面區(qū)域，函數(shù)f(x，y)在D上連續(xù)，則

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]區(qū)域D如圖所示．作極坐標(biāo)變換，將化為累次積分．

D的極坐標(biāo)表示為

因此

10.

設(shè)區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，f(x)是正值連續(xù)函數(shù)，a，b為常數(shù)，則

A．a(chǎn)bπ．

B．

C．(a+b)π．

D．正確答案：D[解析]因?yàn)?，?/p>

本題利用了二重積分的輪換對(duì)稱(chēng)性，另外也可以直接取一個(gè)具體的函數(shù)f(x)=1去排除．

二、解答題1.

計(jì)算二重積分，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}．正確答案：解

將區(qū)域D分成兩個(gè)子區(qū)域：

D1={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0，y≥0}，

D2={(x，y)|x2+y2≥1，0≤x≤1，0≤y≤1}，

則

由于

故

由于D2是一個(gè)不規(guī)則圖形，利用分塊的做法把寫(xiě)成的形式，這一技巧在二重積分中經(jīng)常遇到，讀者應(yīng)熟練掌握．

2.

設(shè)區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0}，計(jì)算二重積分．正確答案：解

因?yàn)?/p>

所以

3.

設(shè)二元函數(shù)

計(jì)算二重積分，其中D={(x，y)||x|+|y|≤2}．正確答案：解

由區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性和被積函數(shù)的奇偶性有

其中D1為D在第一象限的部分，而

其中D11={(x，y)|0≤y≤1-x，0≤x≤1}，

D12={(x，y)|1≤x+y≤2，x≥0，y≥0}(如圖所示)．

因?yàn)?/p>

所以

4.

計(jì)算其中D={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2}．正確答案：解

曲線(xiàn)xy=1將區(qū)域D分成如圖所示的兩個(gè)區(qū)域D1和D2．

也可采取分塊的做法計(jì)算

5.

計(jì)算二重積分，其中

D={(x，y)|(x-1)2+(y-1)2≤2，y≥x}．正確答案：解法1

區(qū)域D的極坐標(biāo)表示為

所以

解法2

作平移變換，將偏心圓轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)圓：令u=x-1，v=y-1，則積分區(qū)域D變?yōu)镈'：u2+v2≤2，v≥u，于是

6.

計(jì)算二重積分，其中．正確答案：解

由題設(shè)知，積分區(qū)域D如圖所示，將積分化為直角坐標(biāo)系下的二重積分為

設(shè)x=sint，則

7.

已知函數(shù)f(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f(1，y)=f(x，1)=0，，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，計(jì)算二重積分正確答案：解

因?yàn)閒(1，y)=0，f(x，1)=0，所以

f'y(1，y)=0，f'x(x，1)=0，

從而

8.

計(jì)算二重積分，其中區(qū)域D由曲線(xiàn)r=1+cosθ(0≤θ≤π)與極軸圍成．正確答案：解法1

解法2

9.

設(shè)平面區(qū)域D由直線(xiàn)x=3y，y=3x及x+y=8圍成，計(jì)算．正確答案：解法1

直線(xiàn)x+y=8與直線(xiàn)y=3x和x=3y分別交于點(diǎn)(2，6)和(6，2)，直線(xiàn)x=2將區(qū)域D分為D1和D2兩部分(如圖所示)，則有

解法2

10.

設(shè)平面區(qū)域D={(x，y)|1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，計(jì)算正確答案：解法1

由于

則

解法2

利用輪換對(duì)稱(chēng)性，

對(duì)于二重積分的計(jì)算題，首先要考慮有無(wú)對(duì)稱(chēng)性(普通對(duì)稱(chēng)性、輪換對(duì)稱(chēng)性)，若有，則用這些對(duì)稱(chēng)性去化簡(jiǎn)積分，然后再去計(jì)算．

11.

計(jì)算二重積分，其中D={(x，y)|x2+y2≤2，y≥x2}．正確答案：解

因?yàn)閰^(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以．

令，則

又，所以

12.

設(shè)D是由直線(xiàn)y=1，y=x，y=-x圍成的有界區(qū)域，計(jì)算二重積分正確答案：解

因?yàn)閰^(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以．

13.

求微分方程滿(mǎn)足條件的特解．正確答案：解

化原方程為一階線(xiàn)性方程

得其通解為

由，得C=-1，故所求特解為

14.

求微分方程的通解(一般解)．正確答案：解

其中C為任意常數(shù)．

15.

求微分方程xy'+(1-x)y=e2x(0＜x<+∞)滿(mǎn)足y(1)=0的特解．正確答案：解

由通解公式有

得

再由y(1)=0，得C=-e．

故所求解為

16.

求微分方程xlnxdy+(y-lnx)dx=0滿(mǎn)足條件y|x=e=1的特解．正確答案：解

將原方程化為

由公式

得．

又由y|x=e=1，可解出，所以方程的特解是．

17.

求微分方程xy'+y=xex滿(mǎn)足y(1)=1的特解．正確答案：解

當(dāng)x=1，y=1代入，得C=1，則所求特解為．

18.

求微分方程(y-x3)dx-2xdy=0的通解．正確答案：解

原方程可化為

這是一階線(xiàn)性方程，其通解為

19.

求微分方程(x2-1)dy+(2xy-cosx)dx=0滿(mǎn)足初始條件y(0)=1的特解．正確答案：解

原方程可化為

此一階線(xiàn)性微分方程的通解為

即

由y(0)=1，得C=-1，故滿(mǎn)足初始條件的特解為

20.

設(shè)y=ex是微分方程xy'+p(x)y=x的一個(gè)解，求此微分方程滿(mǎn)足條件y|x=ln2=0的特解．正確答案：解

以y=ex代入原方程，得

xex+p(x)ex=x，

解出p(x)=xe-x-x．

代入原方程得xy'+(xe-x-x)y=x，即y'+(e-x-1)y=1．

解其對(duì)應(yīng)的齊次方程y'+(e-x-1)y=0，有

=(-e-x+1)dx，ln|y|-ln|C|=e-x+x，

得齊次方程的通解y=Cex+e-x．所以，原方程的通解為

y=ex+Cex+e-x．

由y|x=ln2=0，