考研數(shù)學二分類模擬234

考研數(shù)學二分類模擬234解答題1.

求．正確答案：解：

將式②代入式①可得

而

所以，故．[考點]函數(shù)、極限

如圖所示，懸鏈線在x∈[0，u]上的一段弧長和曲邊梯形面積分別記為s(u)和A(u)；該曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積和側(cè)面積分別記為V(u)和S(u)；該旋轉(zhuǎn)體在x=u處的底面積記為F(u)．試證：

2.

s(u)=A(u)，S(u)=2V(u)，；正確答案：證明：由于

因此有

[考點]定積分的應用

3.

．正確答案：又因

所以

[考點]定積分的應用

設(shè)n(n≥2)階矩陣A=(α1，α2，…，αn)的前n-1個列向量線性相關(guān)，后n-1個列向量線性無關(guān)，且α1+2α2+…+(n-1)αn-1=0，b=α1+α2+…+αn．4.

證明方程組Ax=b有無窮多個解；正確答案：證明：因為r(A)=n-1，又b=α1+α2+…+αn，所以，即，所以方程組Ax=b有無窮多個解．[考點]線性方程組

5.

求方程組Ax=b的通解．正確答案：解：因為α1+2α2+…+(n-1)αn-1=0，所以

α1+2α2+…+(n-1)αn-1+0αn=0

即齊次線性方程組Ax=0有基礎(chǔ)解系ξ=(1，2，…，n-1，0)T，又因為b=α1+α2+…+αn，所以方程組Ax=b有特解η=(1，1，…，1)T，故方程組Ax=b的通解為

kξ+η=k(1，2，…，n-1，0)T+(1，1，…，1T)(k為任意常數(shù))[考點]線性方程組

6.

設(shè)，且Ax=0有非零解，求A*x=0的通解．正確答案：解：因為Ax=0有非零解，所以|A|=0，而|A|=-(a+4)(a-6)且a＜0，所以a=-4．又因r(A)=2，所以r(A*)=1．由A*A=|A|E=0得，A的列向量組為A*x=0的解，故A*x=0的通解為x=k1(1，0，1)T+k2(2，4，-4)T(k1，k2為任意常數(shù))．[考點]線性方程組

7.

設(shè)，求f(x)及其間斷點，并判斷其類型．正確答案：解：因為

則f(1-0)=1，，f(1-0)≠f(1+0)，所以x=1為f(x)的第一類間斷點中的跳躍間斷點．[考點]函數(shù)、極限

8.

證明：不存在．正確答案：證明：設(shè)f(x)=xsinx，取xn=nπ及，顯然n→∞時，有xn→+∞，yn→+∞，但是

故不存在．[考點]函數(shù)、極限

設(shè)

9.

證明：α1，α2線性無關(guān)；正確答案：證明：由于，因此線性無關(guān)．從而它們的延伸組α1，α2也線性無關(guān)．[考點]向量

10.

把α1，α2擴充成α1，α2，α3，α4，α5的一個極大線性無關(guān)組．正確答案：解：把α3添到α1，α2中，直接觀察α3=α1-α2，因此α1，α2，α3線性相關(guān)．

把α4添到α1，α2中，由于，因此線性無關(guān)，從而它們的延伸組α1，α2，α4線性無關(guān)．

把α5添到α1，α2，α4中，由于，因此α1，α2，α4，α5線性無關(guān)．

綜上所述，α1，α2，α4，α5是α1，α2，α3，α4，α5的一個極大線性無關(guān)組．[考點]向量

11.

設(shè)連接點O(0，0)與Q(1，1)的一條凸曲線弧，對于其上任意一點P(x，y)，曲線弧與直線段圍成的圖形面積為x2，求曲線弧的方程．正確答案：解：設(shè)曲線弧的方程為y=y(x)．注意到是一條凸曲線弧，所以曲線弧與直線段圍成的圖形(下圖)的面積為

由題設(shè)，得

兩端關(guān)于x求導數(shù)，并整理得

初始條件y|x=1=1．

解此方程，得通解

y=Cx-4xlnx

將y|x=1=1代入，得C=1，故y=x-4xlnx．

綜上所述，所求曲線弧的方程為

[考點]常微分方程及其應用

12.

．正確答案：解：令，則．于是，有

[考點]一元函數(shù)微積分

13.

設(shè)，求f"xy(0，0)與f"yx(0，0)．正確答案：解：

由此f'x(0，y)=-y，所以f"xy(0，0)=-1．

類似可得f'yx(0，0)=1．[考點]多元函數(shù)微分學

14.

設(shè)x1＞0，(c＞1為常數(shù))，求．正確答案：證明：分成三種情況討論．

若，則．

若，考慮[0，+∞)上的函數(shù)，則，且f(x)為正值單調(diào)遞增函數(shù)．故，則顯然對一切n，．又因為，所以{xn}單調(diào)遞減，故證得{xn}單調(diào)遞減有下界，從而收斂．

若，則，則對一切n，．因為，所以{xn}單調(diào)遞增，故證得{xn)單調(diào)遞增有上界，從而收斂．

綜上可知，{xn}的極限存在．對等式左右兩邊同時取極限，可得．[考點]極限、連續(xù)及其應用

15.

證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上處處可導(端點指單側(cè)導數(shù))f'(a)＜f'(b)，對，f'(a)＜c＜f'(b)，則，使得f'(ξ)=c．正確答案：證明：令g(x)=f(x)-cx，則g(x)在[a，b]上處處可導

g'(a)=f'(a)-c＜0，g'(b)=f'(b)-c＞0

只要能證明存在ξ∈(a，b)，使得g'(ξ)=0，即f'(ξ)=c．

因為，所以x＞a，且x與a充分接近時，有g(shù)(x)＜g(a)；同理由g'(b)＞0，知x＜b，且x與b充分接近時，有g(shù)(x)＜g(b)．故g(x)在端點a，b處不取最小值．但g(x)連續(xù)，它在閉區(qū)間[a，b]上有最小值．所以存在ξ∈(a，b)，使得．由費馬定理(即可導的極值點是駐點或穩(wěn)定點)，知g'(ξ)=0．證畢．

注本例的結(jié)論稱為達布(G.Darboux)定理或?qū)Ш瘮?shù)的介值性定理，讀者以后可以直接應用此定理．[考點]一元函數(shù)微積分

16.

設(shè)a＞0，確定方程ax-lnx=0恰有兩個正根的條件．正確答案：解：設(shè)f(x)=ax-lnx．由可知，函數(shù)在(0，a-1]上單調(diào)遞減，在[a-1，+∞)上單調(diào)遞增．而

于是當f(a-1)＞0時方程無實根，當f(a-1)＜0時方程恰有兩個正根．由

得a所滿足的條件是．[考點]極限、連續(xù)及其應用

17.

設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，，f(1)=1，求．正確答案：解：令u=2x-t，則dt=-du，有

從而

兩邊對x求導，得

故

令x=1，得．[考點]不定積分、定積分、反常積分

18.

設(shè)，數(shù)列{xn}有如下遞推公式：x0=1，xn+1=f(xn)(n=0，1，2，…)．證明：．正確答案：證明：由x0=1，，則

所以

而，從而，于是有，因此．[考點]極限、連續(xù)及其應用

19.

設(shè)A是n階實對稱矩陣，滿足A2=A，r(A)=r(0＜r＜n)．證明：A+E是正定矩陣，并計算|E+A+A2+…+Ak|．正確答案：證明：設(shè)Aξ=λξ．兩端左乘A，因A2=A，得

A2ξ=Aξ=λξ=Aλξ=λ2ξ

故(λ2-λ)ξ=0，ξ≠0，得λ=0，或λ=1，即A的特征值的取值是0或1，從而得知A+E的特征值是1或2，故知A+E的全部特征值大于零，A+E正定；

因r(A)=r，故1是A的r重特征值，0是A的n-r重特征值，從而2是A+E的r重特征值，1