考研數(shù)學(xué)二分類模擬題90

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題90一、填空題1.

曲線y=x2e-x2的漸近線方程為______．正確答案：y=0．[解析]由于，原曲線僅有一條水平漸近線y=0．

2.

曲線的漸近線方程為______．正確答案：．[解析]計算可得曲線不存在水平漸近線和鉛直漸近線．

故此曲線的漸近線方程為．

3.

曲線的斜漸近線方程為______．正確答案：y=2x+1．[解析]

所以斜漸近線方程為y=2x+1．

4.

曲線的斜漸近線方程為______．正確答案：．[解析]因為

故斜漸近線方程為．

5.

曲線的水平漸近線方程為______．正確答案：．[解析]因為

故曲線的水平漸近線方程為．

6.

曲線的漸近線方程為______．正確答案：y=2x．[解析]由于函數(shù)連續(xù)，所以曲線無鉛直漸近線；又因為都不存在，所以曲線無水平漸近線．考慮到

所以曲線有斜漸近線y=2x．

7.

曲線y=x2+x(x＜0)上曲率為的點的坐標(biāo)是______．正確答案：(-1，0)．[解析]將y'=2x+1，y"=2代入曲率公式，得

整理后有x2+x=0，

由于x＜0，故取x=-1，從而y|x=-1=0，故所求點的坐標(biāo)為(-1，0)．

8.

曲線的斜漸近線方程為______．正確答案：．[解析]

則斜漸近線方程為．

二、選擇題1.

當(dāng)x＞0時，曲線A.有且僅有水平漸近線．B.有且僅有鉛直漸近線．C.既有水平漸近線，也有鉛直漸近線．D.既無水平漸近線，也無鉛直漸近線．正確答案：A[解析]由于，又，則原曲線在(0，+∞)有且僅有水平漸近線y=1．

2.

曲線的漸近線有A.1條．B.2條．C.3條．D.4條．正確答案：B[解析]由

可知原曲線有水平漸近線．又，

則原曲線有鉛直漸近線x=0，雖然原題中當(dāng)x=1，x=-2時分母為零，但都不是∞，故原曲線的漸近線有兩條．

3.

曲線漸近線的條數(shù)為A.0．B.1．C.2．D.3．正確答案：D[解析]

所以x=0是一條鉛直漸近線．又

所以沿x→+∞方向沒有水平漸近線．又

所以沿x→+∞方向有斜漸近線y=x．

再看沿x→-∞方向：

所以沿x→-∞方向該曲線有水平漸近線y=0．即然沿x→-∞方向已有水平漸近線，此曲線當(dāng)然不可能再有斜漸近線．故共有3條漸近線，應(yīng)選D．

對于(*)式中極限還有如下處理：，或者令ex=t，然后再處理．

4.

曲線的漸近線的條數(shù)為A.0．B.1．C.2．D.3．正確答案：C[解析]因為

所以

故x=1是曲線的鉛直漸近線，且是唯一的一條鉛直漸近線．

因為

所以y=1是曲線的水平漸近線．

綜上可知，曲線有兩條漸近線．

5.

下列曲線中有漸近線的是

A．y=x+sinx．

B．y=x2+sinx．

C．

D．正確答案：C[解析]對于，可知．又，所以有斜漸近線y=x，因此應(yīng)選C．

6.

曲線上對應(yīng)于t=1的點處的曲率半徑是

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]曲線在點(x，f(x))處的曲率公式，曲率半徑．

本題中，所以，對應(yīng)于t=1的點處有y'=3，y"=-1，所以，曲率半徑．應(yīng)選C．

7.

設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上f"(x)＞0，則f'(1)，f'(0)，f(1)-f(0)或f(0)-f(1)的大小順序是A.f'(1)＞f'(0)＞f(1)-f(0)．B.f'(1)＞f(1)-f(0)＞f'(0)．C.f(1)-f(0)＞f'(1)＞f'(0)．D.f'(1)＞f(0)-f(1)＞f'(0)．正確答案：B[解析]由于f"(x)＞0，x∈[0，1]，則f'(x)單調(diào)增加，又f(1)-f(0)=f'(c)，c∈(0，1)，

從而f'(1)＞f'(c)＞f'(0)，

即f'(1)＞f(1)-f(0)＞f'(0)．

8.

設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)是大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且f'(x)g(x)-f(x)g'(x)＜0，則當(dāng)a＜x＜b時，有A.f(x)g(b)＞f(b)g(x)．B.f(x)g(a)＞f(a)g(x)．C.f(x)g(x)＞f(b)g(b)．D.f(x)g(x)＞f(a)g(a)．正確答案：A[解析]看起來，選項眼花繚亂，其實仔細(xì)審題發(fā)現(xiàn)，A，B兩項是在區(qū)間(a，b)內(nèi)的值與兩端點處的值比大小，C，D兩項是f(x)g(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的值與兩端點處的值比大?。}干中含有某種形式的導(dǎo)數(shù)的不等式，就想到用單調(diào)性．題干中表述的是誰的導(dǎo)數(shù)呢?經(jīng)驗算，

故應(yīng)選A．

9.

已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(1-δ，1+δ)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，f'(x)嚴(yán)格單調(diào)減少，且f(1)=f'(1)=1，則A.在(1-δ，1)和(1，1+δ)內(nèi)均有f(x)＜x．B.在(1-δ，1)和(1，1+δ)內(nèi)均有f(x)＞x．C.在(1-δ，1)內(nèi)，f(x)＜x，在(1，1+δ)內(nèi)，f(x)＞x．D.在(1-δ，1)內(nèi)，f(x)＞x，在(1，1+δ)內(nèi)，f(x)＜x．正確答案：A[解析]由選項看出，題目是要確定x與f(x)在所討論區(qū)間內(nèi)的大小關(guān)系，因此，構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=f(x)-x．由題目的條件知

F(1)=0，F(xiàn)'(1)=0，

f"(x)=f"(x)＜0，∈(1-δ，1+δ)，

故F(x)在x=1處取得極大值，即F(1)=0在區(qū)間(1-δ，1+δ)內(nèi)為極大值，從而

f(x)-x＜0，x∈(1-δ，1)∪(1，1+δ)，

即A正確．

三、解答題1.

對函數(shù)填寫下表．單調(diào)減區(qū)間

單調(diào)增區(qū)間

極值點

極值

凹區(qū)間

凸區(qū)間

拐點

漸近線

正確答案：解

單調(diào)減區(qū)間(-∞，-2)，(0，+∞)凹區(qū)間(-3，0)，(0，+∞)單調(diào)增區(qū)間(-2，0)凸區(qū)間(-∞，-3)極值點-2拐點極值漸近線x=0和y=0

2.

設(shè)，求

(1)函數(shù)的增減區(qū)間及極值；

(2)函數(shù)圖像的凹凸區(qū)間及拐點；

(3)漸近線；

(4)作出其圖形．正確答案：解

定義域(-∞，0)∪(0，+∞)．當(dāng)時，y=0．

(1)，故駐點為x=2．又x(-∞，0)(0，2)2(2，+∞)y'+-0+y↗↘3↗

所以，(-∞，0)及(2，+∞)為增區(qū)間，(0，2)為減區(qū)間，x=2為極小值點，極小值為y=3．

(2)，故(-∞，0)，(0，+∞)均為凹區(qū)間，無拐點．

(3)因

所以，x=0為鉛直漸近線，y=x為斜漸近線．

(4)函數(shù)的圖形如圖所示．

3.

如圖所示，設(shè)曲線L的方程y=f(x)，且y"＞0，又MT，MP分別為該曲線在點M(x0，y0)處的切線和法線．已知線段MP的長度為(其中y'0=y'(x0)，y"0=y"(x0))，試推導(dǎo)出點P(ξ，η)的坐標(biāo)表達(dá)式．

正確答案：解

由題設(shè)

①

又PM⊥MT，所以

②

由①，②式得．由于y"＞0，曲線L是凹的，故y0-η＜0，從而．

又，于是得

因此P點坐標(biāo)為

4.

已知函數(shù)，求

(Ⅰ)函數(shù)的增減區(qū)間及極值；

(Ⅱ)函數(shù)圖形的凹凸區(qū)間及拐點；

(Ⅲ)函數(shù)圖形的漸近線．正確答案：解

所給函數(shù)的定義域為(-∞，1)∪(1，+∞)．

，令y'=0，得駐點x=0及x=3．，令y"=0，得x=0．

列表討論如下：x(-∞，0)0(0，1)(1，3)3(3，+∞)y'+0+-0+y"-0++++y↗拐點↗↘極小值↗

由此可知：(Ⅰ)函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為(-∞，1)和(3，+∞)，單調(diào)減少區(qū)間為(1，3)；極小值為

(Ⅱ)函數(shù)圖形在區(qū)間(-∞，0)內(nèi)是凸的．在區(qū)間(0，1)，(1，+∞)內(nèi)是凹的，拐點為點(0，0)．

(Ⅲ)由知，x=1是函數(shù)圖形的鉛直漸近線．

又

故y=x+2是函數(shù)圖形的斜漸近線．

5.

證明：當(dāng)x＞0時，有不等式．正確答案：證

考慮函數(shù)x＞0，有

所以f(x)在(0，+∞)上是單調(diào)減少的．

又，知當(dāng)x＞0時，，即．

6.

利用導(dǎo)數(shù)證明：當(dāng)x＞1時，正確答案：證

令f(x)=(1+x)ln(1+x)-xlnx，則，故在[1，+∞)內(nèi)f(x)為嚴(yán)格增函數(shù)．又f(1)=2ln2＞0，所以有f(x)＞0，x＞1．從而得

7.

設(shè)f"(x)＜0，f(0)=0，證明對任何x1＞0，x2＞0，有f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2)．正確答案：證法1

令F(x)=f(x)+f(x2)-f(x+x2)，F(xiàn)(0)=0，又F'(x)=f'(x)-f'(x+x2)=f"(ξ)(-x2)＞0．ξ∈(x，x+x2)(拉格朗日中值定理)，故F(x1)＞F(0)=0，x1＞0，即f(x1)+f(x2)-f(x1+x2)＞0．

證法2

不妨設(shè)x1≤x2(x2≤x1時類似可證)，則由拉格朗日中值定理可得

f(x1)-f(0)=x1f'(ξ1)，0＜ξ1＜x1，

f(x1+x2)-f(x2)=x1f'(ξ2)，x2＜ξ2＜x1+x2．

又已知f"(x)＜0，故f'(ξ2)＜f'(ξ1)．比較以上兩式即得

f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2)．

證法1采用把其中一個常量字母x1改為變量x(常數(shù)變量化)轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式，再利用單調(diào)性的手段加以證明，這種方法是證明這類常數(shù)不等式常用的一種方法．

8.

設(shè)x＞0，常數(shù)a＞e．證明：(a+x)a＜aa+x．正確答案：證

由函數(shù)y=lnx的單調(diào)性，只需證aln(a+x)＜(a+x)lna．

設(shè)f(x)=(a+x)lna-aln(a+x)，則f(x)在[0，+∞)內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo)，且

所以f(x)在[0，+∞)內(nèi)單增．又f(0)=0．從而得f(x)＞0，x＞0，即

aln(a+x)＜(a+x)lna，x＞0．

所以(a+x)a＜aa+x，x＞0．

9.

設(shè)，且f"(x)＞0，證明：f(x)≥x．正確答案：證法1

因f(x)連續(xù)且具有一階導(dǎo)數(shù)，故由知f(0)=0．．由f(x)的泰勒公式得，ξ在0與x之間．

因f"(ξ)＞0，所以f(x)≥x．

證法2

易推知f(0)=0，f'(0)=1，令F(x)=f(x)-x，則F'(x)=f'(x)-1，f"(x)=f"(x)＞0，有F'(0)=f'(0)-1=0，則x=0是唯一的極小值點，也是最小值點，于是F(x)=f(x)-x≥F(0)=0．證畢．

設(shè)x∈(0，1)，證明：10.

(1+x)ln2(1+x)＜x2；正確答案：證

令φ(x)=(1+x)ln2(1+x)-x2，有

φ(0)=0，φ'(x)=ln2(1+x)+2ln(1+x)-2x，

還看不出在(0，1)內(nèi)φ'(x)是否定號．為此，再計算φ'(0)=0．

再計算φ"(0)=0，

于是φ"(x)在(0，1)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少，又φ"(0)=0，所以在(0，1)內(nèi)φ"(x)＜o(jì)．于是φ'(x)在(0，1)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少，又φ'(0)=0，故在(0，1)內(nèi)φ'(x)＜0．因此φ(x)在(0，1)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少，又φ(0)=0，故在(0，1)內(nèi)φ(x)＜0．證畢．

11.

正確答案：證

令有

由上一小題知，當(dāng)x∈(0，1)時f'(x)＜0，于是在(0，1)內(nèi)f(x)嚴(yán)格單調(diào)減少，，故當(dāng)x∈(0，1)時，

不等式左邊證畢．又

故當(dāng)x∈(0，1)時，．不等式右邊證畢．

函數(shù)f(x)在[0，+∞)上可導(dǎo)，f(0)=1，且滿足等式．12.

求導(dǎo)數(shù)f'(x)；正確答案：解

由題設(shè)知

上式兩邊對x求導(dǎo)，得(x+1)f"(x)=-(x+2)f'(x)．

設(shè)u=f'(x)則有

解之得

由f(0)=1及f'(0)+f(0)=0，知f'(0)=-1，從而C=-1．

因此

13.

證明：當(dāng)x≥0時，成立不等式：e-x≤f(x)≤1．正確答案：證

當(dāng)x≥0時，f'(x)＜0，即f(x)單調(diào)減少，又f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1．

設(shè)φ(x)=f(x)-e-x，則

當(dāng)x≥0時，φ'(x)≥0，即φ(x)單調(diào)增加，因而φ(x)≥φ