考研數(shù)學(xué)二分類模擬題65

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題65解答題1.

設(shè)求(0，2)內(nèi)使得f(2)-f(0)=2f'(ξ)成立的ξ．正確答案：[解]

當(dāng)x∈(0，1)時，

由

當(dāng)x＞1時，

即

當(dāng)0＜ξ≤1時，由f(2)-f(0)=2f'(ξ)得-1=-2ξ，解得

當(dāng)1＜ξ＜2時，由f(2)-f(0)=2f'(ξ)得解得

2.

設(shè)f(x)在[0，3]上連續(xù)，在(0，3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，證明：存在ξ∈(0，3)，使得f'(ξ)=0.正確答案：[證明]因為f(x)在[0，3]上連續(xù)，所以f(x)在[0，3]上取到最小值m和最大值M．

3m≤f(0)+f(1)+f(2)≤3M，即m≤1≤M，

由介值定理，存在c∈[0，3]，使得f(c)=1.

因為f(c)=f(3)=1，所以由羅爾定理，存在ξ∈(c，3)(0，3)，使得f'(ξ)=0.

3.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)．在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(a＞0)且f(a)=0，證明：存在ξ∈(a，b)，使得正確答案：[證明]令φ(x)=(b-x)af(x)，

因為φ(a)=φ(b)=0，所以存在ξ∈(a，b)，使得φ'(ξ)=0，

而φ'(x)=-a(b-x)a-1f(x)+(b-x)af'(x)，故

4.

設(shè)f(x)在[0，π]上連續(xù)，在(0，π)內(nèi)可導(dǎo)，證明：至少存在一點ξ∈(0，π)，使得f'(ξ)=-f(ξ)cotξ.正確答案：[證明]令φ(x)=f(x)sinx，φ(0)=φ(π)=0，

由羅爾定理，存在ξ∈(0，π)，使得φ'(ξ)=0，

而φ'(x)=f'(x)sinx+f(x)cosx，

于是f'(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0，故f'(ξ)=-f(ξ)cotξ．

5.

設(shè)f(x)在[-a，a]上連續(xù)，在(-a，a)內(nèi)可導(dǎo)，且f(-a)=f(a)(a＞0)，證明：存在ξ∈(-a，a)，使得f'(ξ)=2ξf(ξ)．正確答案：[證明]令φ(x)=e-x2f(x)，

由f(-a)=f(a)得φ(-a)=φ(a)，

由羅爾定理，存在ξ∈(-a，a)，使得φ'(ξ)=0，

而φ'(x)=e-x2[f'(x)-2xf(x)]且e-x2≠0，故f'(ξ)=2ξf(ξ)．

6.

設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上可微，且滿足證明：存在ξ∈(0，1)，使得正確答案：[證明]令φ(x)=xf(x)，

由積分中值定理得其中c∈[0，λ]，

從而φ(c)=φ(1)，由羅爾中值定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ'(ξ)=0.

而φ'(x)=f(x)+xf'(x)，故

7.

設(shè)f(x)在[0，1]上有二階導(dǎo)數(shù)，且f(1)=f(0)=f'(1)=f'(0)=0，證明：存在ξ∈(0，1)，使f"(ξ)=f(ξ)．正確答案：[證明]令φ(x)=e-x[f(x)+f'(x)]，

φ(0)=φ(1)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ'(ξ)=0，

而φ'(x)=e-x[f"(x)-f(x)]且e-x≠0，故f"(ξ)=f(ξ)．

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，f(x)在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，證明：8.

在(a，b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f'(ξ)=f(ξ)；正確答案：[證明]令

由羅爾定理，存在c∈(a，b)，使得F'(c)=0，即f(c)=0.

今h(x)=e-xf(x)，h(a)=h(c)=0，

由羅爾定理，存在ξ∈(a，c)，使得h'(ξ)=0，

由h'(x)=e-x[f'(x)-f(x)]且e-x≠0，故f'(ξ)=f(ξ)．

9.

在(a，b)內(nèi)至少存在一點η(η≠ξ)，使得f"(η)=f(η)．正確答案：[證明]同理，由h(c)=h(b)=0，則存在ξ∈(c，b)，使得f'(ξ)=f(ξ)．

令φ(x)=ex[f'(x)-f(x)]，φ(ξ)=φ(ξ)=0，

由羅爾定理，存在η∈(ξ，ζ)(a，b)，使得φ'(η)=0，

而φ'(x)=ex[f"(x)-f(x)]且ex≠0，故f"(η)=f(η)．

設(shè)奇函數(shù)f(x)在[-1，1]上二階可導(dǎo)，且f(1)=1，證明：10.

存在ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=1；正確答案：[證明]令h(x)=f(x)-x，

因為f(x)在[-1，1]上為奇函數(shù)，所以f(0)=0，

從而h(0)=0，h(1)=0，

由羅爾定理，存在ξ∈(0，1)，使得h'(ξ)=0，

而h'(x)=f'(x)-1，故ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=1.

11.

存在η∈(-1，1)，使得f"(η)+f'(η)=1.正確答案：[證明]令φ(x)=ex[f'(x)-1]，

因為f(x)為奇函數(shù)，所以f'(x)為偶函數(shù)，由f'(ξ)=1得f'(-ξ)=1.

因為φ(-ξ)=φ(ξ)，所以存在η∈(-ξ，ξ)(-1，1)，使得φ'(η)=0，

而φ'(x)=ex[f"(x)+f'(x)-1]且ex≠0，

故f"(η)+f'(η)=1.

12.

設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在ξ∈(0，1)，使得

正確答案：[證明]令由柯西中值定理，存在ξ∈(0，1)，使得

13.

設(shè)f(x)在上二階連續(xù)可導(dǎo)，且f'(0)=0，證明：存在，使得正確答案：[證明]令

由柯西中值定理，存在使得

由拉格朗日中值定理，存在使得

再由拉格朗日中值定理，存在使得

f'(η)=f'(η)-f'(0)=f"(ξ)η，

故

14.

若函數(shù)f(x)在[0，1]上二階可微，且f(0)=f(1)，|f"(x)|≤1，證明：在[0，1]上成立.正確答案：[證明]由泰勒公式得

兩式相減得

從而

由x2≤x，(1-x)2≤1-x得x2+(1-x)2≤1，故|f'(x)|≤1.

15.

設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(x)＜1，證明：在(0，1)內(nèi)有且僅有一個實根．正確答案：[證明]令

由f(x)＜1得從而

由零點定理，存在c∈(0，1)，使得φ(C)=0，即方程至少有一個實根．因為φ'(x)=2-f(x)＞0，所以φ(x)在[0，1]上嚴格遞增，故在(0，1)內(nèi)有且僅有一個實根．

16.

證明：方程xa=lnx(a＜0)在(0，+∞)內(nèi)有且僅有一個根.正確答案：[證明]令f(x)=xa-lnx，f(x)在(0，+∞)連續(xù)，

因為f(1)=1＞0，所以f(x)在(0，+∞)內(nèi)至少有一個零點，即方程xa=lnx在(0，+∞)內(nèi)至少有一個根．

因為所以f(x)在(0，+∞)內(nèi)嚴格遞減，故f(x)在(0，+∞)內(nèi)有且僅有一個零點，從而方程xa=lnx在(0，+∞)內(nèi)有且僅有一個根．

17.

設(shè)證明：對任意自然數(shù)n，方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個根.正確答案：[證明]由得

fn(x)=1-(1-cosx)n，

令

由零點定理，存在使得g(c)=0，

即方程內(nèi)至少要有一個根．

因為

所以g(x)在內(nèi)有唯一的零點，從而方程內(nèi)有唯一根.

18.

設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)、單調(diào)減少且f(x)＞0，證明：存在c∈(0，1)，使得

正確答案：[證明]令

因為φ(0)=φ(1)=0，所以存在c∈(0，1)，使得φ'(c)=0，

而

于是

19.

求在x=1時有極大值6，在x=3時有極小值2的三次多項式．正確答案：[解]令f(x)=ax3+bx2+cx+d，

由f(1)=6，f'(1)=0，f(3)=2，f'(3)=0得

解得a=1，b=-6，c=9，d=2，

所求的多項式為x3-6x2+9x+2.

20.

求函數(shù)的最小值和最大值。正確答案：[解]顯然f(x)為偶函數(shù)，只研究f(x)在[0，+∞)上的最小值和最大值．

令f'(x)=2x(2-x2)e-x2=0得

當(dāng)時，f'(x)＞0；當(dāng)時，f'(x)＜0，

為最大點，最大值

故f(x)的最小值為m=0，最大值

21.

設(shè)f(x)為[-2，2]上連續(xù)的偶函數(shù)，且求F(x)在[-2，2]上的最小點．正確答案：[解]

因為所以

因為f(x)＞0，所以F'(x)=0得x=0，

又因為F"(x)=2f(x)，F(xiàn)"(0)=2f(0)＞0，所以x=0為F(x)在(-2，2)內(nèi)唯一的極小點，也為最小點．

22.

求函數(shù)在[0，2]上的最大和最小值．正確答案：[解]由

由

故f(x)在[0，2]上最大值為0，最小值為

23.

f(x，y)=x3+y3-3xy的極小值．正確答案：[解]由

f"xx=6x，f"xy=-3，f"yy=6y，

當(dāng)(x，y)=(0，0)時，A=0，B=-3，C=0，因為AC-B2＜0，所以(0，0)不是極值點；

當(dāng)(x，y)=(1，1)時，A=6，B=-3，C=6，

因為AC-B2＞0且A＞0，所以(1，1)為極小點，極小值為f(1，1)=-1.

設(shè)24.

討論f(x)在x=0處的連續(xù)性；正確答案：[解]

f(0)=f(0-0)=1，由f(0)=f(0-0)=f(0+0)=1得f(x)在x=0處連續(xù)．

25.

f(x)在何處取得極值?正確答案：[解]當(dāng)x＞0時，由f'(x)=2x2x(1+lnx)=0得當(dāng)x＜0時，f'(x)=1＞0.

當(dāng)x＜0時，f'(x)＞0；當(dāng)時，f'(x)＜0；當(dāng)時，f'(x)＞0，

則x=0為極大點，極大值為為極小點，極小值為

26.

設(shè)求f(x)的極值．正確答案：[解]

因為f'-(0)≠f'+(0)，所以f(x)在x=0處不可導(dǎo)．

于是

令f'(x)=0得

當(dāng)x＜-1時，f'(x)＜0；當(dāng)-1＜x＜0時，f'(x)＞0；當(dāng)時，f'(x)＜0；當(dāng)時，f'(x)＞0，

故x=-1為極小點，極小值為為極大點，極大值為f(0)=1；為極小點，極小值為

27.

設(shè)g(x)在[a，b]上連續(xù)，且f(x)在[a，b]上滿足f"(x)+g(x)f'(x)-f(x)=0，又f(a)=f(b)=0，證明：f(x)在[a，b]上恒為零．正確答案：[證明]設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上不恒為零，不妨設(shè)存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＞0，則f(x)在(a，b)內(nèi)取到最大值，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=M＞0，且f'(c)=0，代入得f"(c)=f(c)=M＞0，則x=c為極小點，矛盾，即f(x)≤0，同理可證明f(x)≥0，故f(x)≡0(a≤x≤b)．

28.

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，并求該曲線的漸近線．正確答案：[解]由得x=-1，x=0.

當(dāng)x＜-1時，y'＞0；當(dāng)-1＜x＜0時，y'＜0；當(dāng)x＞0時，y'＞0，

的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，-1]∪(0，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為[-1，0]，x=-1為極大值點，極大值為的極小值點，極小值為因為所以曲線沒有水平漸近線；

又因為為連續(xù)函數(shù)，所以沒有鉛直漸近線；

由

得y=x-2為曲線的斜漸近線；

再由

y=eπx-2eπ為曲線的斜漸近線．

29.

設(shè)y=y(x)由x2y2+y=1(y＞0)確定，求函數(shù)y=y(x)的極值．正確答案：[解]x2y2+y=1兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得

2xy2+2x2yy'+y'=0，解得

由得x=0，

2xy2+2x2yy'+y'=0兩邊對x求導(dǎo)得

2y2+8xyy'+2x2y'2+2x2yy"+y"=0，

將x=0，y=1，y'(0)=0代入得y"(0)=-2＜0，

故x=0為函數(shù)y=y(x)的極大點，極大值為y(0)=1.

30.

求上的最大值、最小值．正確答案：[解]

由f'(x)=2x-1=0得

因為

所以f(x)在[0，1]上的最大值為、最小值為．

31.

當(dāng)x＞0時，證明：正確答案：[證明]方法一

令

由

故當(dāng)x＞0時，

方法二

令由拉格朗日中值定理得

從而

32.

當(dāng)x＞0時，證明：正確答案：[證明]令

令f'(x)=(x-x2)sin2nx=0得x=1，x=kπ(k=1，2，…)，

因為當(dāng)0＜x＜1時，f'(x)＞0；當(dāng)x＞1