考研數(shù)學(xué)二分類模擬題60

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題60解答題設(shè)二維非零向量α不是二階方陣A的特征向量．1.

證明α，Aα線性無關(guān)；正確答案：[證明]若α，Aα線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)k1，k2，使得k1α+k2Aα=0（江南博哥），可設(shè)k2≠0，所以矛盾，所以α，Aα線性無關(guān)．

2.

若A2α+Aα-6α=0，求A的特征值，討論A可否對角化；正確答案：[解]由A2α+Aα-6α=0，得(A2+A-6E)α=0，

因為α≠0，所以r(A2+A-6E)＜2，從而|A2+A-6E|=0，即

|3E+A|·|2E-A|0，則|3E+A|=0或|2E-A|=0.

若|3E+A|≠0，則3E+A可逆，由(3E+A)(2E-A)α=0，得

(2E-A)α=0，即Aα=2α，矛盾；

若|2E-A|≠0，則2E-A可逆，由(2E-A)(3E+A)α=0，得

(3E+A)α=0，即Aα=-3α，矛盾，所以有|3E+A|=0且|2E-A|=0，于是二階矩陣A有兩個特征值-3，2，故A可對角化．

設(shè)A是三階矩陣，α1，α2，α3為三個三維線性無關(guān)的列向量，且滿足Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．3.

求矩陣A的特征值；正確答案：[解]因為α1，α2，α3線性無關(guān)，所以α1+α2+α3≠0，

由A(α1+α2+α3)=2(α1+α2+α3)，得A的一個特征值為λ1=2；

又由A(α1-α2)=-(α1-α2)，A(α2-α3)=-(α2-α3)，得A的另一個特征值為λ2=-1.因為α1，α2，α3線性無關(guān)，所以α1-α2與α2-α3也線性無關(guān)，所以λ2=-1為矩陣A的二重特征值，即A的特征值為2，-1，-1.

4.

判斷矩陣A可否對角化．正確答案：[解]因為α1-α2，α2-α3為屬于二重特征值-1的兩個線性無關(guān)的特征向量，所以A一定可以對角化．

設(shè)A，B為三階矩陣，且AB=A-B，若λ1，λ2，λ3為A的三個不同的特征值，證明：5.

AB=BA；正確答案：[證明]由AB=A-B得A-B-AB+E=E，(E+A)(E-B)=E，

即E-B與E+A互為逆矩陣，于是(E-B)(E+A)=E=(E+A)(E-B)，

故AB=BA．

6.

存在可逆矩陣P，使得P-1AP，P-1BP同時為對角矩陣．正確答案：[證明]因為A有三個不同的特征值λ1，λ2，λ3，所以A可以對角化，設(shè)A的三個線性無關(guān)的特征向量為ξ1，ξ2，ξ3，則有A(ξ1，ξ2，ξ3)=(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，

BA(ξ1，ξ2，ξ3)=B(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，

AB(ξ1，ξ2，ξ3)=B(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，于是有ABξi=λiBξi，i=1，2，3.

若Bξi≠0，則Bξi是A的屬于特征值λi的特征向量，又λi為單根，所以有Bξi=μiξi；

若Bξi=0，則ξi是B的屬于特征值0的特征向量．無論哪種情況，B都可以對角化，而且ξi是B的特征向量，因此，令P=(ξ1，ξ2，ξ3)，則P-1AP，P-1BP同為對角陣．

7.

若A可逆且A～B，證明：A*～B*；正確答案：[證明]因為A可逆且A～B所以B可逆，A，B的特征值相同且|A|=|B|．

因為A～B，所以存在可逆矩陣P，使得P-1AP=B，

而A*=|A|A-1，B*=|B|-1，

于是由P-1AP=B，得(P-1AP)-1=B-1，即P-1A-1P=B-1，

故P-1|A|A-1P=|A|B-1或P-1A*P=B*，于是A*～B*．

8.

若A～B，證明：存在可逆矩陣P，使得AP～BP．正確答案：[證明]因為A～B，所以存在可逆陣P，使得P-1AP=B，即AP=PB，

于是AP=PBPP-1=P(BP)P-1，故AP～BP．

9.

設(shè)有三個線性無關(guān)的特征向量，求a及An．正確答案：[解]由

因為矩陣A有三個線性無關(guān)的特征向量，所以A一定可對角化，從而r(E-A)=1，

即a=1，故

由λ=1時，由(E-A)X=0，得

由λ=2時，由(2E-A)X=0，得

令，兩邊n次冪得

從而

設(shè)方程組為矩陣A的分別屬于特征值λ1=1，λ2=-2，λ3=-1的特征向量．10.

求A；正確答案：[解]因為方程組有無窮多個解，所以

令

從

11.

求|A*+3E|．正確答案：[解]|A|=2，A*對應(yīng)的特征值為，即2，-1，-2，A*+3E對應(yīng)的特征值為5，2，1，所以|A*+3E|=10.

設(shè)A為三階實對稱矩陣，A的每行元素之和為5，AX=0有非零解且λ1=2是A的特征值，對應(yīng)特征向量為(-1，0，1)T．12.

求A的其他特征值與特征向量；正確答案：[解]因為A的每行元素之和為5，所以有

，即A有特征值λ2=5，對應(yīng)的特征向量為

又因為AX=0有非零解，所以r(A)＜3，從而A有特征值0，設(shè)特征值。對應(yīng)的特征向量為，根據(jù)不同特征值對應(yīng)的特征向量正交得解得特征值0對應(yīng)的特征向量為

13.

求A．正確答案：[解]令，得

14.

設(shè)，求a，b及正交矩陣P，使得PTAP=B.正確答案：[解]因為A～B，所以tr(A)=tr(B)，|A|=|B|，即

，解得a=1，b=0，則

因為A～B，所以矩陣A，B的特征值都為λ1=1，λ2=0，λ3=6.

當(dāng)λ=1時，由(E-A)X=0，得

當(dāng)λ=0時，由(0E-A)X=0，得

當(dāng)λ=6時，由(6E-A)X=0，得

令

再令，則有PTAP=B．

15.

設(shè)A，B為n階矩陣，且r(A)+r(B)＜72.證明：A，B有公共的特征向量．正確答案：[證明]因為r(A)+r(B)＜n，所以r(A)＜n，r(B)＜n，于是λ=0為A，B公共的特征值，A的屬于特征值λ=0的特征向量即為方程組AX=0的非零解；

B的屬于特征值λ=0的特征向量即為方程組BX=0的非零解，

因為，所以方程組有非零解，即A，B有公共的特征向量．

設(shè)A是n階矩陣，α1，α2，…，αn是n維列向量，且αn≠0，若

Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn-1=αn，Aαn=0.16.

證明：α1，α2，…，αn線性無關(guān)；正確答案：[證明]令x1α1+x2α2+…+xnαn=0，則

因為an≠0，所以x1=0，反推可得x2=…=xn=0，所以α1，α2，…，αn線性無關(guān)．

17.

求A的特征值與特征向量．正確答案：[解]，令P=(α1，α2，…，αn)，則，則A與B相似，由即A的特征值全為零，又r(A)=n-1，所以AX=0的基礎(chǔ)解系只含有一個線性無關(guān)的解向量，而Aαn=0αn(αn≠0)，所以A的全部特征向量為kαn(k≠0)．

18.

設(shè)A為三階方陣，A的每行元素之和為5，AX=0的通解為設(shè)，求Aβ.正確答案：[解]因為A的每行元素之和為5，所以有，即A有一個特征值為λ1=5，其對應(yīng)的特征向量為

又AX=0的通解為，則其對應(yīng)的特征向量為

令x1ξ1+x2ξ2+x3ξ3=β，解得x1=8，x2=-1，x3=-2，

則

19.

，求a，b及可逆矩陣P，使得P-1AP=B．正確答案：[解]由|λE-B|=0，得λ1=-1，λ2=1，λ3=2因為A～B，所以A的特征值為λ1=-1，L2=1，L3=2.

由tr(A)=λ1+λ2+λ3，得a=1，再由|A|=b=λ1λ2λ3=-2，得b=-2，即

由(-E-A)X=0，得ξ1=(1，1，0)T；

由(E-A)X=0，得ξ2=(-2，1，1)T；

由(2E-A)X=0，得ξ3=(-2，1，0)T，

令

由(-E-B)X=0，得η1=(-1，0，1)T；

由(E-B)X=0，得η2=(1，0，0)T；

由(2E-B)X=0，得η3=(8，3，4)T，

令

由

令，則P-1AP=B．

20.

設(shè)，求A的特征值與特征向量，判斷矩陣A是否可對角化，若可對角化，求出可逆矩陣P及對角陣．正確答案：[解]，得矩陣A的特征值為λ1=1-a，λ2=a，λ3=1+a．

(1)當(dāng)1-a≠a，1-a≠1+a，a≠1+n，即a≠0且時，因為矩陣A有三個不同的特征值，所以A一定可以對角化．

λ1=1-a時，由[(1-a)E-A]X=0得；λ2=a時，由(aE-A)X=0得；λ3=1+a時，由[(1+a)E-A]X=0得

(2)當(dāng)a=0時，λ1=λ3=1，因為r(E-A)=2，所以方程組(E-A)X=0的基礎(chǔ)解系只含有一個線性無關(guān)的解向量，故矩陣A不可以對角化．

(3)當(dāng)時，因為所以方程組的基礎(chǔ)解系只含有一個線性無關(guān)的解向量，故A不可以對角化．

21.

設(shè)A為m×n階實矩陣，且r(A)=n．證明：ATA的特征值全大于零．正確答案：[證明]首先ATA為實對稱矩陣，r(ATA)=n，對任意的X＞0，

XT(ATA)X=(AX)T(AX)，令A(yù)X=α，因為r(A)=n，所以α≠0，所以

(AX)T(AX)=αTα=|α|2＞0，即二次型XT(ATA)X是正定二次型，ATA為正定矩陣，所以ATA的特征值全大于零．

22.

設(shè)A為n階正定矩陣．證明：對任意的可逆矩陣P，PTAP為正定矩陣．正確答案：[證明]首先AT=A，因為(PTAP)T=PTAT(PT)T=PTAP，所以PTAP為對稱矩陣，對任意的X≠0，XT(PTAP)X=(PX)TA(PX)，令PX=α，因為P可逆且X≠0，所以α≠0，又因為A為正定矩陣，所以αTAα＞0，即XT(PTAP)X＞0，故XT(PTAP)X為正定二次型，于是PTAP為正定矩陣．

23.

設(shè)P為可逆矩陣，A=PTP．證明：A是正定矩陣．正確答案：[證明]顯然AT=A，對任意的X≠0，XTAX=(PX)T(PX)，因為X≠0且P可逆，所以PX≠0，于是XTAX=(PX)T(PX)=|PX|2＞0，即XTAX為正定二次型，故A為正定矩陣．

24.

設(shè)A，B為n階正定矩陣．證明：A+B為正定矩陣．正確答案：[證明]因為A，B正定，所以AT=A，BT=B，從而(A+B)T=A+B，即A+B為對稱矩陣．對任意的X≠0，XT(A+B)X=XTAX+XTBX，因為A，B為正定矩陣，所以XTAX＞0，XTBX＞0，因此XT(A+B)X＞0，于是A+B為正定矩陣．

25.

三元二次型f=XTAX經(jīng)過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形且A*+2E的非零特征值對應(yīng)的特征向量為，求此二次型．正確答案：[解]因為f=XTAX經(jīng)過正交變換后的標(biāo)準(zhǔn)形為所以矩陣A的特征值為λ1=λ2=1，λ3=-2.由|A|=λ1λ2λ3=-2得A*的特征值為μ1=μ2=-2，μ3=1，從而A*+2E的特征值為0，0，3，即A*+2E的屬于特征值3的特征向量，故也為A的屬于特征值λ3=-2的特征向量．

令A(yù)的屬于特征值λ1=λ2=1的特征向量為，因為A為實對稱矩陣，所以有即x1+x3=0故矩陣A的屬于λ1=λ3=1的特征向量為

令，由，得

，所求的二次型為

26.

設(shè)二次型經(jīng)過正交變換X=QY化為標(biāo)準(zhǔn)形求參數(shù)a，b及正交矩陣Q．正確答案：[解]二次型

的矩陣形式為

f=XTAX

其中，所以A～B(因為正交矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣即為其逆矩陣)，于是A的特征值為1，1，4.

而|λE-A|=λ3-(a+4)λ2+(4a-b2+2)λ+(-3a-2b+2b2+2)，所以有λ3-(a+4)λ2+(4a-b2+2)λ+(-3a-2b+2b2+2)=(λ-1)2(λ-4)，

解得a=2，b=1.當(dāng)λ1=λ2=時，由(E-A)X=0得由λ3=4時，由(4E-A)X=0得．顯然ξ1，ξ2，ξ3兩兩正交，單位化為

27.

設(shè)齊次線性方程組有非零解，且為正定矩陣，求a，并求當(dāng)時XTAX的最大值．正確答案：[解]因為方程組有非零解，所以，即a=-1或a=0或a=3.因為A是正定矩陣，所以aii＞0(i=1，2，3)，所以a=3.當(dāng)a=3時，由

得A的特征值為1，4，10.因為A為實對稱矩陣，所以存在正交矩陣Q，使得

而當(dāng)

所以當(dāng)，XTAX的最大值為20(最大值20可以取到，如

28.

設(shè)A為實對稱矩陣，且A的特征值都大于零．證明：A為正定矩陣．正確答案：[證明]A所對應(yīng)的二次型為

因為A是實對稱矩陣，所以存在正交變換X=QY，使得

對任意的X≠0，因為X=QY，所以Y=QTX≠0，

于是即對任意的X≠0有XTAX＞0，所以XTAX為正