考研數(shù)學二分類模擬221

考研數(shù)學二分類模擬221一、選擇題1.

設λ1，λ2是矩陣A的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為α1，α2，則α1，A(α1+α2)線性無關的充分必要條件是______A.λ1≠0B.λ2≠0C（江南博哥）.λ1=0D.λ2=0正確答案：B[解析]方法一：令k1α1+k2A(α1+α2)=0，則

k1α1+k2λ1α1+k2λ2α2=0，(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0。

由于α1，α2線性無關，于是有

當λ2≠0時，顯然有k1=0，k2=0，此時α1，A(α1+α2)線性無關；反過來，若α1，A(α1+α2)線性無關，則必然有λ2≠0(否則，α1與A(α1+α2)=λ1α1線性相關)。故選B。

方法二：由于[α1，A(α1+α2)]=(α1，λ1α1+λ2α2)=可見α1，A(α1+α2)線性無關的充要條件是故選B。

與特征值、特征向量相關的問題中，如果出現(xiàn)了特征向量，一般可以考慮先寫出或從題目的條件中湊出特征值、特征向量的定義式Aα=λα。

2.

已知α=(1，-2，3)T是矩陣的特征向量，則______A.a=-2，b=6B.a=2，b=-6C.a=2，b=6D.a=-2，b=-6正確答案：A[解析]設α是矩陣A屬于特征值λ的特征向量，按定義有

即有所以λ=-4，a=-2，b=6。故選A。

3.

設A是n階實對稱矩陣，P是n階可逆矩陣，已知n維列向量α是A的屬于特征值λ的特征向量，則矩陣(P-1AP)T屬于特征值λ的特征向量是______A.P-1αB.PTαC.PαD.(P-1)Tα正確答案：B[解析]設β是矩陣(PTAP)T屬于λ的特征向量，并考慮到A為實對稱矩陣AT=A，有

(P-1AP)Tβ=λβ，即PTA(P-1)Tβ=λβ。

把四個選項中的向量逐一代入上式替換β，同時考慮到Aα=λα，可得選項B正確，即

左端=PTA(P-1)T(PTα)=PTAα=PTλα=λPTα=右端。

故選B。

4.

已知三階矩陣A與三維非零列向量α，若向量組α，Aα，A2α線性無關，而A3α=3Aα-2A2α，那么矩陣A屬于特征值λ=-3的特征向量是______A.αB.Aα+2αC.A2α-AαD.A2α+2Aα-3α正確答案：C[解析]因為A3α+2A2α-3Aα=0，故(A+3E)(A2α-Aα)=0=0(A2α-Aα)。

因為α，Aα，A2α線性無關，必有A2α-Aα≠0，所以A2α-Aα是矩陣A+3E屬于特征值λ=0的特征向量，即A2α-Aα是矩陣A屬于特征值λ=-3的特征向量。故選C。

5.

設A是n階矩陣，P是n階可逆矩陣，n維列向量α是矩陣A的屬于特征值λ的特征向量，那么在下列矩陣中

①A2；

②p-1AP；

③AT；

④

α肯定是其特征向量的矩陣個數(shù)為______A.1B.2C.3D.4正確答案：B[解析]由Aα=λα，α≠0，有A2α=A(λα)=λAα=λ2α，即α必是A2屬于特征值λ2的特征向量。由

知α必是矩陣屬于特征值的特征向量。

關于②和③則不一定成立。這是因為

(P-1AP)(P-1α)=P-1Aα=λP-1α，

按定義，矩陣P-1AP的特征向量是P-1α。因為P-1α與α不一定共線，因此α不一定是P-1AP的特征向量，即相似矩陣的特征向量是不一樣的。

線性方程組(λE-A)x=0與(λE-AT)x=0不一定同解，所以α不一定是第二個方程組的解，即α不一定是AT的特征向量。故選B。

6.

設A為四階實對稱矩陣，且A2+A=O，若A的秩為3，則A相似于______

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]設A的特征值為λ，因為A2+A=O，所以λ2+λ=0，即λ(λ+1)=0λ=0或λ=-1。

又因r(A)=3，則A必可相似對角化，對角陣的秩也是3。故λ=-1是三重特征根。

因此

故選D。

設f(x)為任意多項式，如果矩陣A滿足f(A)=O，則A的任一特征值λ滿足f(λ)=0。

7.

設n階矩陣A與B相似，E為n階單位矩陣，則______A.λE-A=λE-BB.A與B有相同的特征值和特征向量C.A和B都相似于一個對角矩陣D.對任意常數(shù)t，tE-A與tE-B相似正確答案：D[解析]因為由A與B相似不能推得A=B，所以選項A不正確。

相似矩陣具有相同的特征多項式，從而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故選項B也不正確。

對于選項C，因為根據(jù)題設不能推知A，B是否相似于對角陣，故選項C也不正確。

綜上可知選項D正確。事實上，因A與B相似，故存在可逆矩陣P，使

P-1AP=B。

于是

P-1(tE-A)P=tE-P-1AP=tE-B，

可見對任意常數(shù)f，矩陣tE-A與tE-B相似。故選D。

8.

n階矩陣A和B具有相同的特征值是A和B相似的______A.充分必要條件B.必要而非充分條件C.充分而非必要條件D.既非充分也非必要條件正確答案：B[解析]由A～B，即存在可逆矩陣P，使P-1AP=B，故

|λE-B|=|λE-P-1AP|=|P-1(λE-A)P|=|P-1||λE-A||P|=|λE-A|，

即A與B有相同的特征值。

但當A，B有相同特征值時，A與B不一定相似。例如

雖然A，B有相同的特征值λ1=λ2=0，但由于r(A)≠r(B)，A，B不可能相似。

所以，相似的必要條件是A，B有相同的特征值。故選B。

二、填空題1.

設α=(1，-1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩陣A的特征值，則矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量是______。正確答案：k(1，-1，1)T，k≠0[解析]令B=αβT，則矩陣B的秩是1，且βTα=a+1，由此可知矩陣B的特征值為a+1，0，0。那么A=E+B的特征值為a+2，1，1。

因為λ=3是矩陣A的特征值，所以a+2=3，即a=1。于是

Bα=(αβT)α=α(βTα)=2α，

即α=(1，-1，1)T是矩陣B屬于特征值λ=2的特征向量，所以矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量是k(1，-1，1)T，k≠0。

2.

設x為三維單位列向量，E為三階單位矩陣，則矩陣E-xxT的秩為______。正確答案：2[解析]由題設知，矩陣xxT的特征值為0，0，1，故E-xxT的特征值為1，1，0。又由于實對稱矩陣是可相似對角化的，故它的秩等于其非零特征值的個數(shù)，即r(E-xxT)=2。

3.

設α，β為三維列向量，βT為β的轉(zhuǎn)置，若矩陣αβT相似于則βTα=______。正確答案：2[解析]因為αβT相似于

根據(jù)相似矩陣有相同的特征值，得到αβT的特征值是2，0，0，而βTα是一個常數(shù)，是矩陣αβT的對角元素之和，則

βTα=2+0+0=2。

對n階矩陣A，如果r(A)=1，則A有n-1個特征值為0(n-1重根)[設A=αβT，則tr(A)=βTα]。

4.

設α=(1，-1，a)T是的伴隨矩陣A*的特征向量，其中r(A*)=3，則a=______。正確答案：-1[解析]α是A*的特征向量，設對應于α的特征值為λ0，則有A*α=λ0α，該等式兩端同時左乘A，即得AA*α=|A|α=λ0Aα，即

展開成方程組的形式為

因為r(A*)=3，|A*|≠0，因此λ0≠0，根據(jù)方程組中的前兩個等式，解得a=-1。

5.

已知α=(a，1，1)T是矩陣的逆矩陣的特征向量，則a=______。正確答案：-1[解析]設α是矩陣A-1屬于特征值λ的特征向量，則A-1α=λα，即α=λAα，于是

解得a=-1。

6.

設A是三階矩陣，且各行元素的和都是5，則矩陣A一定有特征值______。正確答案：5[解析]已知各行元素的和都是5，即

化為矩陣形式，可得

滿足故矩陣A一定有一個特征值為5。

7.

若三階矩陣A的特征值為2，-2，1，B=A2-A+E，其中E為三階單位陣，則行列式|B|=______。正確答案：21[解析]由于A的特征值為2，-2，1，所以B=A2-A+E的特征值為

22-2+1=3，(-2)2-(-2)+1=7，12-1+1=1，

故|B|=21。

假設α為可逆矩陣A屬于特征值λ的特征向量，即Aα=λα，則α仍然是矩陣f(A)，A-1，A*，f(A-1)的特征向量，特征值依次為f(λ)，λ-1，|A|λ-1，f(λ-1)。也就是說，A與f(A)，A-1，A*，f(A-1)的特征值不同，但特征向量是相同的。

8.

設A為二階矩陣，α1，α2為線性無關的二維列向量，Aα1=0，Aα2=2α1+α2，則A的非零特征值為______。正確答案：1[解析]根據(jù)題設條件，得

記P=(α1，α2)，已知α1，α2線性無關，故P=(α1，α2)是可逆矩陣。由可得則A與B相似，從而有相同的特征值。

因為

所以A的非零特征值為1。

9.

已知矩陣只有一個線性無關的特征向量，那么A的三個特征值是______。正確答案：2，2，2[解析]因為矩陣A只有一個線性無關的特征向量，所以A的特征值必定是三重根，否則A至少應該有兩個不同的特征值，同時也會有兩個線性無關的特征向量。

由主對角元素的和等于所有特征值的和可知1+2+3=3λ，故λ1=λ2=λ3=2。

三、解答題1.

已知矩陣相似。

(Ⅰ)求x與y的值；

(Ⅱ)求一個滿足P-1AP=B的可逆矩陣P。正確答案：解：(Ⅰ)相似矩陣有相同的特征值，由矩陣B的特征值為2，y，-1可知矩陣A的特征值也為2，y，-1，故

|A|=2×y×(-1)=-2，tr(A)=2+0+x=2+y+(-1)，

解得y=1，x=0。

(Ⅱ)A的特征值為λ1=2，λ2=1，λ3=-1。由(λiE-A)x=0(i=1，2，3)解得矩陣A的屬于特征值λ1=2，λ2=1，λ3=-1的特征向量分別為

α1=(1，0，0)T，α2=(0，1，1)T，α3=(0，-1，1)T，

令可逆矩陣則P-1AP=B。

2.

設矩陣當k為何值時，存在可逆矩陣P，使得P-1AP為對角矩陣?并求出矩陣P和相應的對角矩陣。正確答案：解：矩陣A的特征多項式為

則A的特征值為λ1=λ2=-1，λ3=1。

矩陣A與對角矩陣相似的充要條件是屬于特征值λ=-1的線性無關的特征向量有兩個，即線性方程組(-E-A)x=0有兩個線性無關的解向量，則r(A+E)=1。對矩陣A+E作初等行變換得

當k=0時，r(A+E)=1。此時，由(-E-A)x=0解得屬于特征值-1的兩個線性無關的特征向量為α1=(-1，2，0)T，α2=(1，0，2)T；由(E-A)x=0解得屬于特征值1的特征向量為α3=(1，0，1)T。

令可逆矩陣P=(α1，α2，α3)，則

3.

設矩陣相似，求x，y的值，并求一個正交矩陣P，使P-1AP=Λ。正確答案：解：A與A相似，相似矩陣有相同的特征值，故λ=5，λ=-4，λ=y是A的特征值。

因為λ=-4是A的特征值，所以

解得x=4。

又因為相似矩陣的行列式相同，

解得y=5。

當λ=5時，解方程(A-5E)x=0，得兩個線性無關的特征向量將它們正交化、單位化得

當λ=-4時，解方程(A+4E)x=0，得特征向量單位化得

則有

所以P-1AP=Λ。

4.

設A為三階矩陣，α1，α2，α3是線性無關的三維列向量，且滿足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3。

(Ⅰ)求矩陣A的特征值；

(Ⅱ)求可逆矩陣P使得P-1AP=Λ。正確答案：解：(Ⅰ)由已知可得

記P1=(α1，α2，α3)，則有AP1=P1B。

由于α1，α2，α3線性無關，即矩陣P1可逆，所以，因此矩陣A與B相似，則

矩陣'B的特征值是1，1，4，故矩陣A的特征值為1，1，4。

(Ⅱ)由(E-B)x=0，得矩陣B對應于特征值λ=1的特征向量β1=(-1，1，0)T，β2=(-2，0，1)T；由(4E-B)x=0，得對應于特征值λ=4的特征向量β3=(0，1，1)T。

即當時，有

5.

設A是三階方陣，α1，α2，α3是三維線性無關的列向量組，且Aα1=α2+α3，Aα2=α3+α1，Aα3=α1+α2。

(Ⅰ)求矩陣A的全部特征值；

(Ⅱ)矩陣A是否可對角化?正確答案：解：(Ⅰ)α1，α2，α3線性無關，則α1+α2+α3≠0，α2-α1≠0，α3-α1≠0，且由

A(α1+α2+α3)=2(α1+α2+α3)，

A(α2-α1)=-(α2-α1)，

A(α3-α1)=-(α3-α1)

可知矩陣A的特征值為2和-1。又由α1，α2，α3線性無關可知α2-α1，α3-α1也線性無關，所以-1是矩陣A的二重特征值，即A的全部特征值為2，-1，-1。

(Ⅱ)因為α1，α2，α3線性無關，而

且|P|=3≠0，所以α2-α1，α3-α1，α1+α2+α3線性無關，即矩陣A有三個線性無關的特征向量，所以矩陣A可相似對角化。

6.

已知矩陣A與B相似，其中求a，b的值及矩陣P，使P-1AP=B。正確答案：解：由A～B，得解得a=7，b=-2。

由矩陣A的特征多項式得A的特征值是λ1=5，λ2=-1。它們也是矩陣B的特征值。

分別解齊次線性方程組(5E-A)x=0，(-E-A)x=0，可得到矩陣A的屬于λ1=5，λ2=-1的特征向量依次為α1=(1，1)T，α2=(-2，1)T。

分別解齊次線性方程組(5E-B)x=0，(-E-B)x=0，可得到矩陣B的屬于λ1=5，λ2=-1的特征向量分別是β1=(-7，1)T，β2=(-1，1)T。

7.

設A為三階矩陣，α1，α2為A的分別屬于特征值-1，1的特征向量，向量α3滿足Aα3=α2+α3。

(Ⅰ)證明α1，α2，α3線性無關；

(Ⅱ)令P=(α1，α2，α3)，求p-1AP。正確答案：解：(Ⅰ)方法一：假設α1，α2，α3線性相關。因為α1，α2是屬于不同特征值的特征向量，故α1，α2線性無關，則α3可由α1，α2線性表示。不妨設α3=l1α1+l2α2，其中l(wèi)1，l2不全為零。(若l1，l2同時為0，則α3=0，由Aα3=α2+α3可知α2=0，而特征向量都是非零向量，矛盾)

由于Aα1=-α1，Aα2=α2，則

Aα3=α2+α3=α2+l1α1+l2α2。

又Aα3=A(l1α1+l2α2)=-l1α1+l2α2，那么

-l1α1+l2α2=α2+l1α1+l2α2，

整理得2l1α1+α2=0。則α1，α2線性相關，矛盾。所以α1，α2，α3線性無關。

方法二：設存在數(shù)k1，k2，k3，使得

k1α1+k2α2+k3α3=0，

(1)

用A左乘(1)的兩邊并由Aα1=-α1，Aα2=α2得

-k1α1+(k2+k3)α2+k3α3=0，

(2)

(1)～(2)得

2k1α1-k3α2=0，

(3)

因為α1，α2是A的屬于不同特征值的特征向量，所以α1，α2線性無關，從而k1=k3=0，代入(1)得k2α2=0，又由于α2≠0，所以k2=0，故α1，α2，α3線性無關。

(Ⅱ)記P=(α1，α2，α3)，則P可逆，

8.

若矩陣相似于對角陣A，試確定常數(shù)a的值，并求可逆矩陣P，使P-1AP=Λ。正確答案：解：矩陣A的特征多項式為

故A的特征值為λ1=λ2=6，λ3=-2。

因為A相似于對角矩陣Λ，所以對應λ1=λ2=6應有兩個線性無關的特征向量，即

3-r(6E-A)=2，

即

r(6E-A)=1。

由

知a=0。于是對應于λ1=λ2=6的兩個線性無關的特征向量可取為

當λ3=-2時，有

解方程組

得對應于λ3=-2的特征向量

令則P可逆，且有P-1AP=Λ。[解析](1)n階矩陣A可相似對角化的充要條件是對任意特征值λ，屬于特征值λ的線