考研數(shù)學(xué)二分類(lèi)模擬204

考研數(shù)學(xué)二分類(lèi)模擬204一、選擇題1.

設(shè)則f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處______A.兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都不存在B.兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微C.偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)D.可微但偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)正確答案：B[解析]由偏導(dǎo)數(shù)定義，有

由對(duì)稱(chēng)性知f'y(0，0)=0，而

上式極限不存在。

事實(shí)上

故f(x，y)在(0，0)點(diǎn)不可微。故選B。

2.

已知?jiǎng)t______A.f'x(0，0)，f'y(0，0)都存在B.f'x(0，0)不存在，f'y(0，0)存在C.f'x(0，0)存在，f'y(0，0)不存在D.f'x(0，0)，f'y(0，0)都不存在正確答案：B[解析]由于

故f'x(0，0)不存在。

所以f'y(0，0)存在。故選B。

3.

已知f'x(x0，y0)存在，則

A．f'x(x0，y0)

B．0

C．2f'x(x0，y0)

D．正確答案：C[解析]由題意

故選C。

4.

設(shè)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，Δz是f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處的全增量，則在點(diǎn)(x0，y0)處______A.Δz=dzB.Δz=f'x(x0，y0)Δx+f'y(x0，y0)ΔyC.Δz=f'x(x0，y0)dx+f'y(x0，y0)dyD.Δz=dz+o(ρ)正確答案：D[解析]由于z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，則

Δz=f'x(x0，y0)Δx+f'y(x0，y0)Δy+o(ρ)=dz+o(ρ)，

故選D。

5.

設(shè)則f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處______A.不連續(xù)B.連續(xù)但兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不存在C.兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微D.可微正確答案：D[解析]由

可知

f(x，y)-f(0，0)+2x-y=o(ρ)(當(dāng)(x，y)→(0，0)時(shí))，

即得

f(x，y)-f(0，0)=-2x+y+o(ρ)，

由微分的定義可知f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微。故選D。

6.

考慮二元函數(shù)f(x，y)的四條性質(zhì)：

①f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處連續(xù)；

②f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)；

③f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微；

④f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在。

則有______

A．

B．

C．

D．正確答案：A[解析]由于f(x，y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微的充分條件，而f(x，y)可微是其連續(xù)的充分條件。故選A。

7.

函數(shù)f(x，y)在(0，0)點(diǎn)可微的充分條件是______

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]由

且有

可知，f(x，y)的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)f'x(x，y)和f'y(x，y)在(0，0)點(diǎn)連續(xù)，因此f(x，y)在(0，0)點(diǎn)可微。

故選D。

二、填空題1.

設(shè)在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)，則a=______。正確答案：0[解析]因?yàn)?/p>

利用夾逼定理知，又知f(0，0)=a，則a=0。

2.

設(shè)連續(xù)函數(shù)z=f(x，y)滿(mǎn)足則dz|(0,1)=______。正確答案：2dx-dy[解析]根據(jù)以及函數(shù)z的連續(xù)性可知f(0，1)=1，從而已知的極限可以轉(zhuǎn)化為

或者

根據(jù)可微的定義，f(x，y)在點(diǎn)(0，1)處是可微的，且有

f'x(0，1)=2，f'y(0，1)=-1，

dz|(0,1)=2dx-dy。

3.

設(shè)f(x，y，z)=ex+y2z，其中z=z(x，y)是由方程x+y+z+xyz=0所確定的隱函數(shù)，則f'x(0，1，-1)=______。正確答案：1[解析]已知f(x，y，z)=ex+y2z，那么有f'x(x，y，z)=ex+y2z'x。在等式x+y+z+xyz=0兩端對(duì)x求偏導(dǎo)可得1+z'x+yz+xyz'x=0。

由x=0，y=1，z=-1，可得z'x=0。

故f'x(0，1，-1)=e0=1。

4.

正確答案：[解析]由題意可知

則可得

5.

設(shè)二元函數(shù)z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，則dz|(1,0)=______。正確答案：2edx+(e+2)dy[解析]由已知

因此

dz|(1,0)=2edx+(e+2)dy。

6.

設(shè)z=z(x，y)是由方程e2yz+x+y2+z=確定的函數(shù)，則正確答案：[解析]在方程e2yz+x+y2+z=兩邊分別對(duì)x，y求偏導(dǎo)，得

7.

設(shè)函數(shù)f(u)可微，且f'(2)=2，則z=f(x2+y2)在點(diǎn)(1，1)處的全微分dz|(1,1)=______。正確答案：4(dx+dy)[解析]由題干可知，dz=f'(x2+y2)(2xdx+2ydy)，則

dz|(1,1)=f'(2)(2dx+2dy)=4(dx+dy)。

8.

設(shè)函數(shù)f(u)可微，且則z=f(4x2-y2)在點(diǎn)(1，2)處的全微分dz|(1,2)=______。正確答案：4dx-2dy[解析]直接利用微分的形式計(jì)算，因?yàn)?/p>

所以

三、解答題1.

證明可微的必要條件：設(shè)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，則f'x(x0，y0)與f'y(x0，y0)都存在，且

dz|(x0,y0)=f'x(x0，y0)Δx+f'y(x0，y0)Δy。正確答案：證明：設(shè)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，則等式成立。令Δy=0，于是

令Δx→0，有于是證明了f'x(x0，y0)與f'y(x0，y0)存在，并且

dz|(x0，y0)=f'x(x0，y0)Δx+f'y(x0，y0)Δy。

2.

設(shè)u=f(x，y，z)，φ(x2，ey，z)=0，y=sinx，其中f，φ都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且正確答案：解：在等式u=f(x，y，z)的兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得到如下等式

而再在等式φ(x2，ey，z)=0的兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得到

解得

因此，可得

3.

設(shè)y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0所確定的函數(shù)，其中f和F分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求正確答案：解：分別在z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0的兩端對(duì)x求導(dǎo)，得

整理后得

解得

4.

設(shè)z=f(x，y)，其中f，g，φ在其定義域內(nèi)均可微，求正確答案：解：由z=f(x，y)，有

dz=f'1dx+f'2dy。

由有

解得

代入dz表達(dá)式中，得

其中分母不為0。

5.

設(shè)函數(shù)f(u，v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，y=f(ex，cosx)，求正確答案：解：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得

6.

正確答案：解：先求而且f(x)是一元函數(shù)f(u)與二元函數(shù)u=xy的復(fù)合，u是中間變量；φ(xy)是一元函數(shù)φ(v)與二元函數(shù)v=x+y的復(fù)合，v是中間變量。由于且先求方便，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得

7.

設(shè)其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求正確答案：解：根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，有

于是

8.

設(shè)z=f(x2-y2，exy)，其中f具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，求正確答案：解：因?yàn)橛梢阎獥l件可得

9.

設(shè)z=f(x+y，x-y，xy)，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求dz與