第2課時(shí)　球的切接問題　課件高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

第2課時(shí)球的切、接問題目錄CONTENTS12課時(shí)跟蹤檢測(cè)考點(diǎn)分類突破PART1考點(diǎn)分類突破精選考點(diǎn)典例研析技法重悟通課堂演練考向1

柱體的外接球【例1】

已知直三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若

AB

＝

AC

＝1，

AA

1＝2，∠

BAC

＝120°，則此球的表面積為

?.8π

幾何體的外接球解析：設(shè)直三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1的上、下底面的三角形的外接圓的圓心分別是點(diǎn)

P

，

M

，設(shè)△

ABC

外接圓的半徑為

r

，直三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1外接球的半徑為

R

，

解題技法1.求圓柱的外接球，可以先作該圓柱的軸截面，軸截面對(duì)角線即為外

接球的直徑.2.求直棱柱的外接球，可以先求其外接圓柱體，再利用該圓柱體的軸

截面求半徑即可.考向2

錐體的外接球【例2】

（1）已知三棱錐

P

-

ABC

，其中

PA

⊥平面

ABC

，∠

BAC

＝

120°，

PA

＝

AB

＝

AC

＝2，則該三棱錐外接球的表面積為（

C

）A.12πB.16πC.20πD.24π

3π

解題技法1.求圓錐的外接球，可以先作其軸截面，其為三角形，該三角形中垂

線的交點(diǎn)即為球心.2.求直棱錐的外接球，可以先求其外接直棱柱，再將直外接圓柱作

出，再利用該圓柱體的軸截面求半徑即可.3.求正棱錐的外接球，可以先求其外接圓錐，再利用該圓錐的軸截面

求半徑即可.

16π

（2）在三棱錐

P

-

BCD

中，

BC

⊥

CD

，

PB

⊥底面

BCD

，設(shè)

BC

＝1，

PB

＝

CD

＝2，則該三棱錐的外接球的體積為

?.

解題技法1.若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，

如圖①所示.2.若三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形，則此時(shí)可構(gòu)造長(zhǎng)方體，如圖②

所示.

1.如圖，某幾何體由共底面的圓錐和圓柱組合而成，且圓柱的兩個(gè)底

面圓周和圓錐的頂點(diǎn)均在體積為36π的球面上，若圓柱的高為2，則

圓錐的側(cè)面積為（

）A.2

πB.4

πC.16πD.

A.100πB.128πC.144πD.192π

3.（2023·全國乙卷16題）已知點(diǎn)

S

，

A

，

B

，

C

均在半徑為2的球面

上，△

ABC

是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，

SA

⊥平面

ABC

，則

SA

＝

?.2

幾何體的內(nèi)切球【例4】

（1）《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱

為鱉臑.若三棱錐

P

-

ABC

為鱉臑，

PA

⊥平面

ABC

，

PA

＝

BC

＝4，

AB

＝3，

AB

⊥

BC

，若三棱錐

P

-

ABC

有一個(gè)內(nèi)切球

O

，則球

O

的體積為

（

C

）A.

B.

C.

D.9π

（2）已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的

球的體積為

?.

解題技法

空間幾何體的內(nèi)切球問題，一是找球心，球心到切點(diǎn)的距離相等

且為球的半徑，作出截面，在截面中求半徑；二是利用等體積法直接

求內(nèi)切球的半徑.

A.12

B.2

C.6

D.48

2.六氟化硫，化學(xué)式為SF6，在常溫常壓下是一種無色、無臭、無

毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛

用途.六氟化硫的分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體是每個(gè)面都是正三角形的八面體），如圖所示，若此

正八面體的棱長(zhǎng)為2，則它的內(nèi)切球的表面積為（

）A.

B.

C.

D.

PART2課時(shí)跟蹤檢測(cè)關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習(xí)1.正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（

）A.

B.3

C.3D.

123456789101112131415

1234567891011121314152.一個(gè)底面積為1的正四棱柱的頂點(diǎn)都在同一球面上，若此球的表面

積為20π，則該四棱柱的高為（

）A.

B.2C.3

D.

1234567891011121314153.已知半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在半球的底面圓

內(nèi)，若正方體的棱長(zhǎng)為2，則半球的表面積為（

）A.10πB.12πC.15πD.18π123456789101112131415

1234567891011121314154.如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個(gè)圓

柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相

傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn).我們來重溫這個(gè)偉大

發(fā)現(xiàn)，關(guān)于圓柱的體積與球的體積之比和圓柱的表面積與球的表面

積之比說法正確的是（

）A.體積之比為

B.

體積之比為

C.表面積之比為

D.

表面積之比為2123456789101112131415

1234567891011121314155.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形

ABCD

中，點(diǎn)

E

，

F

分別為

AB

，

BC

的中

點(diǎn)，將△

ADE

，△

BEF

，△

CDF

分別沿

DE

，

EF

，

DF

折起，使

A

，

B

，

C

三點(diǎn)重合于點(diǎn)A'，則三棱錐A'-

DEF

的外接球體積為

（

）A.8

πB.6

πC.4

πD.2

π123456789101112131415

123456789101112131415

A.球

O

的表面積為6πB.球

O

的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為1C.球

O

的外切正方體的棱長(zhǎng)為

D.球

O

的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)為2123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

1234567891011121314158.（2023·全國甲卷15題）在正方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，

E

，

F

分別

為

AB

，

C

1

D

1的中點(diǎn).以

EF

為直徑的球的球面與該正方體的棱共

有

個(gè)公共點(diǎn).

12

1234567891011121314159.已知某圓臺(tái)的上、下底面圓的面積分別為9π，16π，軸截面面積為

49，若該圓臺(tái)的上、下底面圓周均在球

O

的球面上，則球

O

的表面

積為

?.100π

123456789101112131415兩個(gè)底面在球心

O

異側(cè)時(shí)，如圖①所示，

OO2＝7－

x

，則

R

2＝

x

2＋32＝（7－

x

）2＋42，解得

x

＝4，

R

＝5；當(dāng)圓臺(tái)的兩個(gè)底面在球心

O

同側(cè)時(shí)，如圖②所示，

OO

2＝

x

－7，

R

2＝

x

2＋32＝（

x

－7）2＋42，解得

x

＝4，

OO

2＝－3（舍），故球

O

的表面積為

S

＝4π

R

2＝100π.12345678910111213141510.已知三棱錐

P

-

ABC

中，

PA

⊥底面

ABC

，

AC

＝4，

BC

＝3，

AB

＝

5，

PA

＝3，則該三棱錐的內(nèi)切球的體積為

?.

123456789101112131415

123456789101112131415

A.3πB.4πC.9πD.12π123456789101112131415

12345678910111213141512.四棱錐

P

-

ABCD

的頂點(diǎn)都在球

O

的表面上，△

PAD

是等邊三角

形，底面

ABCD

是矩形，平面

PAD

⊥平面

ABCD

，若

AB

＝2，

BC

＝3，則球

O

的表面積為

?.16π

123456789101112131415

12345678910111213141513.（2024·南昌調(diào)研）如圖，在底面邊長(zhǎng)為4，高為6的正四棱柱中有

兩個(gè)球，大球與該正四棱柱的五個(gè)面均相切，小球在大球上方且

與該正四棱柱的三個(gè)面相切，也與大球相切，則小球的半徑為

?

?.5

123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415