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第頁2021年中國科學技術大學自主招生數(shù)學試卷（少年創(chuàng)新班）一、填空題（本大題共5小題）1、設a∈R，關于x的方程x4?4a?50x2、棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D3、若直線xa+yb=1(a>0,b>0)與曲線y=4、若x2+y2=5、一個小球在0，1，2，?，n這n+1個位置移動，小球向前向后移動一個單位的概率都為12．若在0處，則小球只能向前移動，若初始位置在0處，則首次移動到n的步數(shù)的期望為

二、解答題（本大題共4小題）6、在△ABC中，證明：37、對?x，y∈R，有fx+y8、已知g0x=1，g1x=x，gn9、證明a為無理數(shù)當且僅當?m∈N?，?1、【答案】75;【解析】設四個實數(shù)解為?x2，?x1，x1則有x2x1x1可知a>25有10x9x可得10a3所以a=75．2、【答案】16【解析】易知公共部分為正方體六個面中心所圍成的幾何體，如下圖所示：可知V=13、【答案】9;【解析】當相切時，有ba=2所以a+b=a+b2+b24、【答案】163【解析】x，y，z應該是正數(shù)，構造如下邊長為4的等邊△ABC，滿足OA=y，OB=x，OC=z，∠AOB=π2，則可知2xy+xz+35、【答案】n2【解析】設首次從k到n的步數(shù)期望為ak，則有a所以ak?a又小球在0處，只能向前移動到1，則有a0所以a0?an=6、【答案】證明見解析．;【解析】方法一:3=?==2?1?其中t=4?2方法二:由嵌入不等式有x2令yz=34，xz=12，yx=32，則有所以327、【答案】fx=0或;【解析】取x=π2，y=0，有取x=0，則有1?fπ（Ⅰ）若fy=0，對任意y∈R（Ⅱ）若fy不恒為0，有f取x=π2，有對任意y∈R均成立，可得f綜上可知fx=0或8、【答案】證明見解析，x=22;【解析】由2n?1可得gn整理得gn+1則由gn所以gn又g0x，g1x符合gnx為記fnx=gn所以有fn取x=22cos?θf1由數(shù)學歸納法可知，fn由sin?n+1θ=0所以θ=πn+1，2πn+1，?，nπ又fnx為n次多項式，fn故可知fnx=0的n所以gnx=09、【答案】證明見解析．;【解析】必要性，假設a為有理數(shù)，設a=pq，p∈Z，q∈記np=sq+r，s∈Z，r=0，1，?

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