2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第五章 三角函數(shù) 5.2 三角函數(shù)的概念（4）教案 新人教A版必修第一冊

2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.2三角函數(shù)的概念（4）教案新人教A版必修第一冊授課內(nèi)容授課時數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點授課時間教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)新人教A版必修第一冊第五章“三角函數(shù)”中的5.2節(jié)“三角函數(shù)的概念（4）”。內(nèi)容主要包括：進一步理解正弦、余弦、正切函數(shù)的定義，探討三角函數(shù)在單位圓上的表示方法，以及初步了解三角函數(shù)的周期性。這部分教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識的聯(lián)系在于，學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握了銳角三角函數(shù)的基本概念，理解了正弦、余弦、正切函數(shù)的基本性質(zhì)，并能夠運用這些知識解決一些簡單的實際問題。在此基礎(chǔ)上，本節(jié)課將進一步深化學(xué)生對三角函數(shù)概念的理解，為后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用打下堅實基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)旨在培養(yǎng)學(xué)生以下幾方面的能力：首先，通過探究三角函數(shù)在單位圓上的表示方法，提高學(xué)生的幾何直觀和空間想象能力；其次，通過分析三角函數(shù)的周期性，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力；最后，通過解決實際問題時運用三角函數(shù)，強化學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和問題解決能力。這些核心素養(yǎng)目標(biāo)與新課標(biāo)要求相契合，旨在讓學(xué)生在掌握三角函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，為未來的學(xué)習(xí)和生活打下堅實基礎(chǔ)。重點難點及解決辦法重點：1.三角函數(shù)在單位圓上的表示方法；2.三角函數(shù)的周期性。

難點：1.理解三角函數(shù)在單位圓上表示的幾何意義；2.掌握三角函數(shù)周期性的推導(dǎo)和應(yīng)用。

解決辦法及突破策略：

1.對于重點一，通過動態(tài)演示和實際操作，讓學(xué)生觀察單位圓上各點的坐標(biāo)變化，從而直觀理解三角函數(shù)的表示方法。結(jié)合實際例題，讓學(xué)生動手畫圖，加深對幾何意義的理解。

2.針對難點一，設(shè)計小組討論環(huán)節(jié)，讓學(xué)生相互交流，分享各自對三角函數(shù)在單位圓上表示方法的理解，以達到共同提高。

3.對于重點二，通過引入實際生活中的周期性現(xiàn)象，如四季更替、潮汐變化等，幫助學(xué)生理解周期性的概念。結(jié)合數(shù)學(xué)實例，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和總結(jié)三角函數(shù)的周期規(guī)律。

4.針對難點二，通過講解和練習(xí)，讓學(xué)生掌握周期性的推導(dǎo)方法，并能熟練應(yīng)用于解決實際問題。同時，設(shè)置分層練習(xí)，使不同水平的學(xué)生都能在原有基礎(chǔ)上得到提高。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有新人教A版必修第一冊數(shù)學(xué)教材，方便學(xué)生跟隨課堂進度查閱相關(guān)內(nèi)容。

2.輔助材料：準(zhǔn)備三角函數(shù)在單位圓上表示的動態(tài)演示視頻、圖表以及實際生活中的周期性現(xiàn)象圖片，以增強學(xué)生的直觀理解。

3.實驗器材：準(zhǔn)備單位圓模型、量角器等實驗器材，供學(xué)生動手操作，加深對三角函數(shù)概念的理解。

4.教室布置：將教室劃分為講解區(qū)、討論區(qū)及實驗操作臺，便于學(xué)生進行小組討論和實驗操作，創(chuàng)造良好的學(xué)習(xí)氛圍。教學(xué)過程1.導(dǎo)入新課

同學(xué)們，我們在上一節(jié)課已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基本概念，今天我們將進一步探討三角函數(shù)在單位圓上的表示方法以及它的周期性。請大家打開教材第五章“三角函數(shù)”的5.2節(jié)，我們一起來看看今天的課程內(nèi)容。

2.復(fù)習(xí)與新課聯(lián)系

在開始新課之前，我們先來復(fù)習(xí)一下。誰能告訴我，我們已經(jīng)學(xué)過的正弦、余弦、正切函數(shù)的定義是什么？嗯，小明同學(xué)回答得很好。那么，這些三角函數(shù)與單位圓有什么關(guān)系呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

3.探究三角函數(shù)在單位圓上的表示方法

（1）動態(tài)演示

首先，我給大家播放一個動態(tài)演示視頻，請大家認(rèn)真觀察視頻中的單位圓和三角函數(shù)的變化。

（2）小組討論

看完視頻后，請大家以小組為單位，討論以下問題：

-三角函數(shù)在單位圓上的表示方法是什么？

-這種表示方法有什么幾何意義？

討論時間約為10分鐘，大家可以互相交流，共同探討。

（3）分享與總結(jié)

討論結(jié)束后，請各小組派代表分享你們的討論成果。好的，第一小組的代表說，三角函數(shù)在單位圓上的表示方法是通過單位圓上的點與坐標(biāo)軸的交點來表示的。這種表示方法有助于我們直觀地理解三角函數(shù)的值。其他小組還有要補充的嗎？

4.理解三角函數(shù)的周期性

（1）實例引入

請大家觀察這張圖表，這是我國某地一天內(nèi)的溫度變化情況。我們可以發(fā)現(xiàn)，溫度在一天之內(nèi)呈現(xiàn)出周期性變化。同樣，三角函數(shù)也具有周期性。

（2）周期性推導(dǎo)

那么，三角函數(shù)的周期性是如何推導(dǎo)出來的呢？請大家看教材上的例題5.2-3，我們一起來看一下。

（3）實踐操作

現(xiàn)在，請大家拿出單位圓模型和量角器，我們一起來驗證一下三角函數(shù)的周期性。具體操作步驟如下：

-將單位圓模型放在桌面上，用直尺和量角器測量出角度為30°的正弦值和余弦值；

-然后，將角度增加到150°，再次測量正弦值和余弦值；

-對比兩次測量結(jié)果，看看有什么發(fā)現(xiàn)？

5.課堂總結(jié)

今天我們學(xué)習(xí)了三角函數(shù)在單位圓上的表示方法以及它的周期性。通過動態(tài)演示、小組討論、實踐操作等方式，大家對這部分內(nèi)容有了更深入的理解。希望大家課后能繼續(xù)鞏固所學(xué)知識，為下一節(jié)課的學(xué)習(xí)打下堅實基礎(chǔ)。

6.作業(yè)布置

請大家完成教材上的習(xí)題5.2-1、5.2-2，并思考以下問題：

-三角函數(shù)的周期性在實際生活中有哪些應(yīng)用？

-如何將三角函數(shù)的周期性應(yīng)用于解決實際問題？

下節(jié)課我們將分享大家的思考成果，共同探討三角函數(shù)的應(yīng)用。今天的課就到這里，同學(xué)們，再見！拓展與延伸1.拓展閱讀材料

為了幫助大家更好地理解三角函數(shù)的概念及其應(yīng)用，我推薦以下拓展閱讀材料：

-《數(shù)學(xué)趣味讀物：三角函數(shù)的故事》

-《數(shù)學(xué)探究：從單位圓到三角函數(shù)》

-《數(shù)學(xué)建模實例：三角函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用》

這些材料將為大家提供一個更廣闊的視角，幫助你們了解三角函數(shù)的發(fā)展歷程、數(shù)學(xué)家們的研究成果以及在實際問題中的應(yīng)用。

2.課后自主學(xué)習(xí)和探究

（1）研究三角函數(shù)的歷史

了解三角函數(shù)的起源和發(fā)展過程，研究古代數(shù)學(xué)家如何發(fā)現(xiàn)和運用三角函數(shù)，從而加深對三角函數(shù)的理解。

（2）探索三角函數(shù)在其他學(xué)科的應(yīng)用

同學(xué)們可以嘗試查找三角函數(shù)在物理學(xué)、工程學(xué)、地理學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用實例，例如：

-在物理學(xué)中，三角函數(shù)如何描述簡諧運動？

-在工程學(xué)中，三角函數(shù)如何應(yīng)用于建筑設(shè)計？

-在地理學(xué)中，三角函數(shù)如何幫助測量地球表面？

（3）研究三角函數(shù)的衍生概念

同學(xué)們可以進一步研究三角函數(shù)的衍生概念，如反三角函數(shù)、雙角公式等，并嘗試?yán)斫馑鼈冊趯嶋H問題中的應(yīng)用。

（4）開展數(shù)學(xué)實踐活動

組織一次數(shù)學(xué)實踐活動，讓同學(xué)們分組合作，運用三角函數(shù)解決實際問題。例如，測量學(xué)校旗桿的高度、計算建筑物之間的距離等。

（5）撰寫數(shù)學(xué)小論文

鼓勵同學(xué)們結(jié)合所學(xué)知識，撰寫一篇關(guān)于三角函數(shù)應(yīng)用的小論文。可以是自己解決問題的過程，也可以是對三角函數(shù)在實際問題中應(yīng)用的思考。板書設(shè)計①重點知識點：

-三角函數(shù)在單位圓上的表示方法

-正弦、余弦、正切函數(shù)的周期性

-周期性的推導(dǎo)和應(yīng)用

②重點詞句：

-單位圓上的點表示

-周期性：周期、頻率

-實際應(yīng)用：簡諧運動、建筑測量

③藝術(shù)性與趣味性：

-使用不同顏色的粉筆，突出重點知識，如周期性用紅色標(biāo)出，表示方法用藍色強調(diào)。

-設(shè)計簡潔有趣的圖形，如單位圓的示意圖，以及三角函數(shù)波形圖，增強視覺效果。

-結(jié)合生活實例，如畫出一天溫度變化的波形圖，讓學(xué)生在欣賞板書的同時，理解周期性的實際意義。

-創(chuàng)設(shè)互動環(huán)節(jié)，如在板書上預(yù)留空間，讓學(xué)生上臺填寫周期性的推導(dǎo)過程，提高課堂參與度。重點題型整理1.計算題：已知角α的終邊與單位圓交點P的坐標(biāo)為（√3/2，1/2），求角α的正弦值、余弦值和正切值。

解答：

由題意得，sinα=1/2，cosα=√3/2，tanα=sinα/cosα=(1/2)/(√3/2)=1/√3。

2.應(yīng)用題：一輛秋千在豎直平面內(nèi)做簡諧運動，其周期為4秒。求秋千擺動的角頻率。

解答：

簡諧運動的周期T與角頻率ω的關(guān)系為：T=2π/ω。

代入題目中的周期T=4秒，得ω=2π/4=π/2。

3.計算題：已知正弦函數(shù)f(x)=sinx，求f(x)在區(qū)間[0,2π]內(nèi)的最大值和最小值。

解答：

正弦函數(shù)在區(qū)間[0,π]內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間[π,2π]內(nèi)單調(diào)遞減。

當(dāng)x=π/2時，sinx取得最大值1；

當(dāng)x=3π/2時，sinx取得最小值-1。

4.證明題：證明三角函數(shù)sin(x+π)=-sinx和cos(x+π)=-cosx。

解答：

根據(jù)三角函數(shù)的周期性，有sin(x+π)=sinx和cos(x+π)=cosx。

又因為sin(-x)=-sinx和cos(-x)=cosx，所以sin(x+π)=-sinx和cos(x+π)=-cosx。

5.應(yīng)用題：一艘船在距海岸線垂直距離為500米的A點，從A點出發(fā)向正東方向航行，船的航速為10米/秒。求船在t秒后距離海岸線的距離。

解答：

設(shè)船在t秒后的位置為B點，則AB=10t。

由直角三角形的性質(zhì)，可得船在t秒后距離海岸線的距離為AC=√(500^2+(10t)^2)=√(25000+100t^2)。課堂1.課堂評價

（1）提問環(huán)節(jié)

在課堂教學(xué)中，通過提問可以了解學(xué)生對三角函數(shù)概念的理解程度。針對不同難度的知識點，設(shè)計不同層次的問題，觀察學(xué)生的回答情況，及時發(fā)現(xiàn)問題并給予解答。

（2）觀察環(huán)節(jié)

在課堂實踐操作和小組討論中，觀察學(xué)生的參與程度、合作能力和解決問題的能力。對于表現(xiàn)優(yōu)秀的學(xué)生，給予表揚和鼓勵；對于學(xué)習(xí)困難的學(xué)生，及時給予指導(dǎo)和幫助。

（3）測試環(huán)節(jié)

2.作業(yè)評價

（1）作業(yè)批改

對學(xué)生的作業(yè)進行認(rèn)真批改，關(guān)注學(xué)生的解題思路、計算過程和結(jié)果。在批改過程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯誤，標(biāo)注出來，并在旁邊給予提示或解答。

（2）作業(yè)點評

在課堂上，對學(xué)生的作業(yè)進行點評，指出普遍存在的問題和典型錯誤，分析原因，幫助學(xué)生鞏固知識點。

（3）反饋與鼓勵

及時將作業(yè)評價結(jié)果反饋給學(xué)生，對于成績優(yōu)秀的學(xué)生，給予表揚和鼓勵，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)積極性；對于成績不理想的學(xué)生，鼓勵他們找出問題所在，繼續(xù)努力，提高學(xué)習(xí)成績。教學(xué)反思與改進在教學(xué)過程中，我注意到了一些需要改進的地方。首先，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對三角函數(shù)在單位圓上的表示方法理解不夠深入。為了解決這個問題，我計劃在下一節(jié)課中增加一些實際操作環(huán)節(jié)，讓學(xué)生通過動手實踐來更好地理解這個概念。

其次，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生在推導(dǎo)三角函數(shù)周期性時存在困難。為了幫助學(xué)生更好地掌握這個知識點，我