專題02數(shù)列（考點(diǎn)串講）高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（2020選修）

高二滬教版數(shù)學(xué)下冊(cè)期末考點(diǎn)大串講串講02數(shù)列01020403目

錄易錯(cuò)易混題型剖析考點(diǎn)透視押題預(yù)測(cè)十六大易錯(cuò)易混經(jīng)典例題6道期末真題對(duì)應(yīng)考點(diǎn)練五大重難點(diǎn)題型典例剖析+技巧總結(jié)四大?？键c(diǎn)：知識(shí)梳理考點(diǎn)透視數(shù)列等差數(shù)列定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示．判定方法(1)定義法：對(duì)于數(shù)列{an}，若an＋1－an＝d(常數(shù))，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列．(2)等差中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列an，若2an＋1＝an＋an＋2，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列．通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列的首項(xiàng)是a1，公差是d，那么等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d．知識(shí)梳理例1在等比數(shù)列{an}中,已知a1=2,a4=16.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若a3,a5分別為等差數(shù)列{bn}的第3項(xiàng)和第5項(xiàng),試求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn.分析根據(jù)條件列方程求{an}的公比及{bn}的首項(xiàng)與公差.題型一：等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算題型剖析解

(1)設(shè){an}的公比為q,由已知得16=2q3,解得q=2,所以an=2×2n-1=2n.(2)由(1)得a3=8,a5=32,則b3=8,b5=32.設(shè){bn}的公差為d,規(guī)律方法

等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)算的求解策略在等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和公式Sn中,共涉及五個(gè)量,a1,an,n,d(或q),Sn,其中a1和d(或q)為基本量.“知三求二”是指將已知條件轉(zhuǎn)換成關(guān)于a1,d(q),an,Sn,n的方程組,利用方程的思想求出需要的量.當(dāng)然在求解中若能運(yùn)用等差(比)數(shù)列的性質(zhì)會(huì)更好,這樣可以化繁為簡(jiǎn),減少運(yùn)算量,同時(shí)還要注意整體代入思想方法的運(yùn)用.角度1

利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)公式例2(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3+2n,求an.(2)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且a1=1,an+1=Sn,求an.題型二：求數(shù)列的通項(xiàng)公式角度2

應(yīng)用累加(迭乘、迭代)法求通項(xiàng)例3在數(shù)列{an}中,a1=1,an=an-1+2n-1(n≥2),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解

∵a1=1,an=an-1+2n-1(n≥2),∴an-an-1=2n-1,∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1角度3

構(gòu)造法求通項(xiàng)公式例4在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+3n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.角度4

取倒數(shù)法求通項(xiàng)公式

答案

B規(guī)律方法

取倒數(shù)法適用于“(n≥2,n∈N*,k,m,p均為常數(shù),m≠0)”型數(shù)列求通項(xiàng)公式.兩邊取倒數(shù)后得到一個(gè)新的特殊(等差或等比)數(shù)列或類似于an=kan-1+b的關(guān)系式.角度5

待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式

答案

C規(guī)律方法

形如“an+2=pan+1+qan”的遞推關(guān)系,求解時(shí)可利用an+2+αan+1=β(an+1+αan),結(jié)合已知條件求出α,β,此時(shí)數(shù)列{an+1-αan}為等比數(shù)列.角度6

取對(duì)數(shù)法

例8已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=kcn-k(其中c,k為常數(shù)且k≠0,c≠1),且a2=4,a6=8a3,(1)求an;(2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn.分析利用an=Sn-Sn-1(n≥2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式后求k與c,判斷出{an}是等比數(shù)列,利用錯(cuò)位相減法求和.題型三：數(shù)列求和解

(1)當(dāng)n>1時(shí),an=Sn-Sn-1=k(cn-cn-1),則a6=k(c6-c5),a3=k(c3-c2),∵a2=4,即k(c2-c1)=4,解得k=2,∴an=2n.當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2.綜上所述,an=2n(n∈N*).(2)nan=n·2n,則Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n,2Tn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)·2n+n·2n+1,兩式作差得-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1,Tn=2+(n-1)·2n+1.規(guī)律方法

數(shù)列求和的常用方法(1)公式法:利用等差數(shù)列或等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式.(2)分組求和法:把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列.(3)裂項(xiàng)相消法:把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式,相加過程消去中間項(xiàng),只剩有限項(xiàng)再求和.(4)錯(cuò)位相減法:適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和.(5)倒序相加法:適用于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo).(6)并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法:如果一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的,尤其是當(dāng)各項(xiàng)的絕對(duì)值又構(gòu)成等差數(shù)列時(shí),可以依次兩項(xiàng)兩項(xiàng)(或幾項(xiàng)幾項(xiàng))合并,再利用其他相關(guān)的方法進(jìn)行求和.例9數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N*).(1)設(shè)bn=an+1-2an,求證:{bn}是等比數(shù)列;分析利用an=Sn-Sn-1結(jié)合已知條件構(gòu)造關(guān)于an+2,an+1,an的遞推關(guān)系式,尋找an+2-2an+1與an+1-2an的關(guān)系.題型四：等差(比)數(shù)列的判定規(guī)律方法

等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷方法(1)定義法:an+1-an=d(n≥1,n∈N*,d為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列;

=q(n≥1,n∈N*,q為常數(shù),q≠0)?{an}是等比數(shù)列.(2)中項(xiàng)公式法:2an+1=an+an+2(n≥1,n∈N*)?{an}是等差數(shù)列;=an·an+2(n≥1,n∈N*,an≠0)?{an}是等比數(shù)列.(3)通項(xiàng)公式法:an=kn+b(n≥1,n∈N*,k,b是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列;an=c·qn(n≥1,n∈N*,c,q為非零常數(shù))?{an}是等比數(shù)列.(4)前n項(xiàng)和公式法:Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù),n≥1,n∈N*)?{an}是等差數(shù)列;Sn=Aqn-A(A,q為常數(shù),且A≠0,q≠0,q≠1,n≥1,n∈N*)?{an}是公比不等于1的等比數(shù)列.(1)寫出a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.分析根據(jù)已知條件求出a2,a3,a4,歸納其通項(xiàng)公式后利用數(shù)學(xué)歸納法證明.題型五：數(shù)學(xué)歸納法規(guī)律方法

(1)數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)①用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題是數(shù)學(xué)歸納法的常見題型,其關(guān)鍵點(diǎn)在于“先看項(xiàng)”,弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式兩邊各有多少項(xiàng),初始值n0是多少.②由n=k到n=k+1時(shí),除等式兩邊變化的項(xiàng)外還要利用n=k時(shí)的式子,即利用假設(shè),正確寫出歸納證明的步驟,從而使問題得以證明.(2)與“歸納—猜想—證明”相關(guān)的常見題型的處理策略①與函數(shù)有關(guān)的證明:由已知條件驗(yàn)證前幾個(gè)特殊值正確得出猜想,充分利用已知條件并用數(shù)學(xué)歸納法證明.②與數(shù)列有關(guān)的證明:利用已知條件,當(dāng)直接證明遇阻時(shí),可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.易錯(cuò)點(diǎn)01忽略數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別而致錯(cuò)解析A易錯(cuò)易混解析C易錯(cuò)點(diǎn)02已知Sn求an時(shí)，不要忽視n＝1解析解析解析易錯(cuò)點(diǎn)03對(duì)遞推公式變形時(shí)忽略n的取值變化而致錯(cuò)解析易錯(cuò)點(diǎn)04求解與數(shù)列有關(guān)的恒成立問題時(shí)要注意n的取值解析易錯(cuò)點(diǎn)05錯(cuò)認(rèn)項(xiàng)數(shù)而求和致錯(cuò)解析C解析7或8易錯(cuò)點(diǎn)06忽略零項(xiàng)而致錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)07等差數(shù)列加絕對(duì)值后，認(rèn)為其還是等差數(shù)列而致錯(cuò)解析易錯(cuò)點(diǎn)08亂用結(jié)論致錯(cuò)解析易錯(cuò)點(diǎn)09項(xiàng)的正負(fù)判定不準(zhǔn)確，出現(xiàn)多解而致錯(cuò)解析A解析C易錯(cuò)點(diǎn)10條件應(yīng)用不充分，出現(xiàn)公比多解而致錯(cuò)解析C解析易錯(cuò)點(diǎn)11忽視特殊項(xiàng)的應(yīng)用，出現(xiàn)漏解而致錯(cuò)解析1007或1008易錯(cuò)點(diǎn)12運(yùn)用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，弄錯(cuò)首項(xiàng)致錯(cuò)解析易錯(cuò)點(diǎn)13等比數(shù)列的設(shè)法忽視公比的取值致錯(cuò)解析易錯(cuò)點(diǎn)14錯(cuò)認(rèn)項(xiàng)數(shù)求和而致錯(cuò)解析解析易錯(cuò)點(diǎn)15利用等比數(shù)列求和公式忽視q＝1的情形而致錯(cuò)解析B解析易錯(cuò)點(diǎn)16忽略分類討論而致錯(cuò)解

C押題預(yù)測(cè)

C

±2

5.（2023春?黃浦區(qū)期末）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=33n-n2．(Ⅰ)求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；(Ⅱ)求Sn的最大值及取得最大值時(shí)n的值．【解析】解：(Ⅰ)證明：當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=34-2n,又當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=32=34-2×1滿足an=34-2n,故{an}的通項(xiàng)公式為an=34-2n,所以an+1-an=34-2(n+1)-(34-2n)=-2，故數(shù)列