3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第三章圓錐曲線的方程雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解雙曲線的定義.2.掌握雙曲線的幾何圖形與標(biāo)準(zhǔn)方程.3.會求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1雙曲線的定義1.定義:一般地,我們把平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于

(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.

此條件不可或缺這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.2.集合語言表達式雙曲線就是下列點的集合:P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|}.非零常數(shù)

名師點睛若將定義中差的絕對值中的絕對值符號去掉,則點M的軌跡為雙曲線的一支,具體是哪一支,取決于|MF1|與|MF2|的大小.(1)若|MF1|>|MF2|,則|MF1|-|MF2|>0,點M的軌跡是靠近定點F2的那一支;(2)若|MF1|<|MF2|,則|MF2|-|MF1|>0,點M的軌跡是靠近定點F1的那一支.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)平面內(nèi)到兩定點的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點間距離)的點的軌跡是雙曲線.(

)(2)平面內(nèi)到點F1(0,4),F2(0,-4)的距離之差等于5的點的軌跡是雙曲線.(

)(3)平面內(nèi)到點F1(0,4),F2(0,-4)的距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線.(

)(4)在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中,a,b,c之間的關(guān)系與橢圓中a,b,c之間的關(guān)系相同.(

)××××2.把雙曲線定義中的“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”或?qū)⒍x中的非零常數(shù)改為零,結(jié)果如何?提示

①若將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”,其余條件不變,則動點軌跡是以F1,F2為端點的兩條方向相反的射線(包括端點);②若將“小于|F1F2|”改為“大于|F1F2|”,其余條件不變,則動點軌跡不存在;③若為零,其余條件不變,則點的軌跡是線段F1F2的中垂線.3.[人教B版教材例題]已知F1(-2,0),F2(2,0),動點P滿足|PF1|-|PF2|=2,求動點P的軌跡方程.知識點2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程(a>0,b>0)

(a>0,b>0)幾何圖形

焦點坐標(biāo)F1(-c,0),F2(c,0)

a,b,c的關(guān)系c2=a2+b2

此關(guān)系蘊含①c>a,c>b;②可知二求一

F1(0,-c),F2(0,c)名師點睛兩種雙曲線

(a>0,b>0)的相同點:它們的形狀、大小都相同,都有a>0,b>0,a2+b2=c2;不同點:兩種雙曲線的位置不同,它們的焦點坐標(biāo)也不同.過關(guān)自診1.如何從雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點的位置?提示

“焦點跟著正項走”,若x2項的系數(shù)為正,則焦點在x軸上;若y2項的系數(shù)為正,則焦點在y軸上.2.[2023陜西渭南期末]已知兩定點F1(5,0),F2(-5,0),曲線C上的點P到F1,F2的距離之差的絕對值是8,則曲線C的方程為(

)B解析

根據(jù)雙曲線的定義知,P的軌跡是以F1(5,0),F2(-5,0)為焦點,以8為實軸長的雙曲線,所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以雙曲線的方程為

.故選B.3.[北師大版教材習(xí)題]已知雙曲線的焦點與橢圓

的左、右頂點相同,且經(jīng)過橢圓的右焦點,求該雙曲線的方程.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一雙曲線定義的應(yīng)用(1)若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16,求點M到另一個焦點的距離;(2)若點P是雙曲線上的一點,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面積.思路分析

(1)直接利用定義求解.(2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1|·|PF2|.解

(1)設(shè)|MF1|=16,根據(jù)雙曲線的定義知||MF2|-16|=6,即|MF2|-16=±6.解得|MF2|=10或|MF2|=22.規(guī)律方法

求雙曲線中的焦點三角形△PF1F2面積S的方法

變式訓(xùn)練1已知雙曲線

的左、右焦點分別是F1,F2,若雙曲線上一點P使得∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面積.解在雙曲線的方程中,a=3,b=4,則c=5.設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0).由雙曲線的定義可知,|m-n|=2a=6,兩邊平方,得m2+n2-2mn=36.又∠F1PF2=90°,∴由勾股定理,得m2+n2=|F1F2|2=(2c)2=100.探究點二求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】

根據(jù)下列條件,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:

(3)設(shè)雙曲線的方程為Ax2+By2=1,AB<0.∵點P,Q在雙曲線上,規(guī)律方法

待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)定型:確定雙曲線的焦點所在的坐標(biāo)軸是x軸還是y軸.(2)設(shè)方程:根據(jù)焦點位置設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式.①若不知道焦點的位置,則進行討論,或設(shè)雙曲線的方程為Ax2+By2=1(AB<0);(3)計算:利用題中條件列出方程組,求出相關(guān)值.(4)結(jié)論:寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.變式訓(xùn)練2求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)a=3,c=4,焦點在x軸上;(2)焦點為(0,-6),(0,6),經(jīng)過點A(-5,6).探究點三雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用(1)若該方程表示雙曲線,求實數(shù)k的取值范圍;(2)若該方程表示焦點在y軸上的雙曲線,求實數(shù)k的取值范圍.思路分析

根據(jù)雙曲線方程的特征建立不等式(組)求解.若該方程表示雙曲線,則有(4+k)(k-1)>0,解得k>1或k<-4,故實數(shù)k的取值范圍是(-∞,-4)∪(1,+∞).規(guī)律方法

方程表示雙曲線的條件及參數(shù)范圍求法(1)對于方程

=1,當(dāng)mn<0時表示雙曲線,進一步,當(dāng)m>0,n<0時表示焦點在x軸上的雙曲線;當(dāng)m<0,n>0時表示焦點在y軸上的雙曲線.(2)對于方程

=1,當(dāng)mn>0時表示雙曲線,且當(dāng)m>0,n>0時表示焦點在x軸上的雙曲線;當(dāng)m<0,n<0時表示焦點在y軸上的雙曲線.(3)已知方程所代表的曲線,求參數(shù)的取值范圍時,應(yīng)先將方程轉(zhuǎn)化為所對應(yīng)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,再根據(jù)方程中參數(shù)取值的要求,建立不等式(組)求解參數(shù)的取值范圍.變式訓(xùn)練3(1)在方程mx2-my2=3n中,若mn<0,則該方程表示(

)A.焦點在x軸上的橢圓B.焦點在x軸上的雙曲線C.焦點在y軸上的橢圓D.焦點在y軸上的雙曲線D(2)若方程x2sinα-y2cosα=1(0≤α<π)表示雙曲線,則α的取值范圍是

.

探究點四雙曲線的實際生活應(yīng)用【例4】

[人教B版教材習(xí)題]相距1400m的A,B兩個觀察站都聽到了一聲巨響,且在A處聽到的時間比在B處聽到的時間早4s.已知當(dāng)時的聲速是340m/s,發(fā)出巨響的點與A,B都在水平面上,求發(fā)出巨響的點所在曲線的方程.解

以線段AB的中點為坐標(biāo)原點,的方向為x軸的正方向,建立平面直角坐標(biāo)系(圖略),設(shè)發(fā)出巨響的點為P.由題意可知|PB|-|PA|=340×4=1

360,易知點P在以A,B為焦點的雙曲線上,即2a=1

360,2c=1

400,解得a=680,c=700,所以b2=27

600.規(guī)律方法

利用雙曲線解決實際問題的基本步驟(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.(2)求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(3)根據(jù)雙曲線的方程及定義解決實際應(yīng)用問題(注意實際意義).變式訓(xùn)練4如圖,B地在A地的正東方向4km處,C地在B地的北偏東30°方向2km處,河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點D到A的距離比到B的距離遠2km,則曲線PQ的軌跡方程是

;現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭,向B,C兩地轉(zhuǎn)運貨物,那么這兩條公路MB,MC的路程之和最短是

km.

解析

如圖所示,以AB所在的直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系.則|DA|-|DB|=2,根據(jù)雙曲線定義知,軌跡為雙曲線的右支.故2c=4,c=2,2a=2,a=1,b2=c2-a2=4-1=3,本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)雙曲線的定義及應(yīng)用;(2)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程;(3)雙曲線在實際生活中的應(yīng)用.2.方法歸納:待定系數(shù)法、分類討論法、轉(zhuǎn)化化歸法.3.常見誤區(qū):(1)雙曲線焦點位置的判斷易出錯,易忽略雙曲線成立的必要條件;(2)雙曲線在實際生活的應(yīng)用中,建模容易出錯.成果驗收·課堂達標(biāo)檢測12345678910111213141516A級必備知識基礎(chǔ)練AB123456789101112131415162.[探究點三]若方程E:表示焦點在y軸上的雙曲線,則實數(shù)m的取值范圍為(

)A.(1,2) B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,2) D.(1,+∞)A12345678910111213141516C123456789101112131415164.[探究點一]已知雙曲線

上一點P到左焦點F1的距離為10,則PF1的中點N到坐標(biāo)原點O的距離為(

)A.3或7 B.6或14 C.3 D.7A123456789101112131415165.[探究點四]許多建筑融入了數(shù)學(xué)元素,更具神韻,數(shù)學(xué)賦予了建筑活力,數(shù)學(xué)的美也被建筑表現(xiàn)得淋漓盡致.已知圖1是單葉雙曲面(由雙曲線繞虛軸旋轉(zhuǎn)形成立體圖形)型建筑,圖2是其中截面最細附近處的部分圖象,上、下底與地面平行.現(xiàn)測得下底直徑AB=20米,上底直徑CD=20米,AB與CD間的距離為80米,與上、下底等距離的G處的直徑等于CD,則最細部分處的直徑為(

)B12345678910111213141516(-1,+∞)(-∞,-5)∪(-5,-1)123456789101112131415167.[探究點二]焦點在x軸上的雙曲線經(jīng)過點P(4,-3),且Q(0,5)與兩焦點的連線互相垂直,則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.

1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516B級必備知識基礎(chǔ)練9.已知定點F1(-2,0),F2(2,0),N是圓O:x2+y2=1上任意一點,點F1關(guān)于點N的對稱點為M,線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點P,則點P的軌跡是(

)A.橢圓

B.雙曲線

C.拋物線 D.圓B12345678910111213141516D12345678910111213141516BCD1234567891011121314151612345678910111213141516BC123456789101112131415161234567891011121314151614.一動圓過定點A(-4,0),且與定圓B:(x-4)2+y2=16相外切,則動圓圓心的軌跡方程為

.

解析

設(shè)動圓圓心為點P,則|PB|=|PA|+4,即|PB|-|PA|=4<|AB|=8.∴點P的軌跡是以A(-4,0),B(4,0)為焦點,且2a=4,a=2的雙曲線的左支.又2c=8,∴c=4.∴b2=c