8.5.3平面與平面平行課件高一下學期數(shù)學人教A版

第八章立體幾何初步8.5.3平面與平面平行人教A版

數(shù)學

必修第二冊課程標準1.理解并掌握平面與平面平行的判定定理.2.理解并掌握平面與平面平行的性質(zhì)定理.3.會證明平面與平面平行的性質(zhì)定理.4.能夠應用平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明相關(guān)問題.基礎落實·必備知識全過關(guān)知識點1

平面與平面平行的判定定理

文字語言如果一個平面內(nèi)的兩條

直線與另一個平面

,那么這兩個平面平行

圖形語言

符號語言a?β,b?β,

,a∥α,b∥α?β∥α

作用證明兩個平面

相交

平行

a∩b=P

平行

名師點睛1.定理中,要緊緊抓住“兩條”“相交”“平行”這六個字,否則條件不充分,結(jié)論不成立.2.定理體現(xiàn)了化歸的數(shù)學思想,證明面面平行只需證明兩組線面平行.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)一個平面內(nèi)有兩條平行直線分別平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.(

)(2)一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.(

)(3)一個平面內(nèi)任意一條直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.(

)××√2.一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線,這兩個平面平行嗎?提示

平行.由線面平行的判定定理,這兩條相交直線都平行于另一個平面,再根據(jù)面面平行的判定定理可得兩平面平行.3.[蘇教版教材例題]如圖,在長方體ABCD-A'B'C'D'中,求證:平面C'DB∥平面AB'D'.證明

由題意可知AB∥CD,AB=CD,CD∥C'D',CD=C'D',所以AB∥C'D',AB=C'D'.所以四邊形ABC'D'是平行四邊形,所以AD'∥BC'.因為AD'?平面C'BD,BC'?平面C'BD,所以AD'∥平面C'BD.同理可證AB'∥平面C'BD.又AB'∩AD'=A,所以平面C'DB∥平面AB'D'.知識點2

平面與平面平行的性質(zhì)定理

文字語言兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面相交,那么兩條交線

圖形語言

符號語言α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?

作用證明兩條直線

平行

a∥b平行

名師點睛1.定理成立的條件:兩平面平行,第三個平面與這兩個平面都相交.2.定理的實質(zhì):面面平行?線線平行,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想與判定定理交替使用,可實現(xiàn)線面、線線、面面平行間的相互轉(zhuǎn)化.3.面面平行還有如下的性質(zhì):兩個平面平行,一個平面內(nèi)的直線平行于另一平面.可作為證明直線與平面平行的依據(jù).過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)平面α∥平面β,平面α∩平面γ=直線a,平面β∩平面γ=直線b?a∥b.(

)(2)平面α∥平面β,直線a?α,直線b?β?a∥b.(

)(3)若α∥β,β∥γ,則α∥γ.(

)2.[北師大版教材習題]已知平面α和平面β平行,若兩直線m,n分別在平面α,β內(nèi),則m,n的關(guān)系不可能是(

)

A.平行

B.相交

C.異面

D.平行或異面√×√B解析

直線m,n不可能相交.假設m∩n=A,則A∈α,A∈β,這與α∥β矛盾.直線m,n可以平行,也可以異面.故選B.3.如果平面α∥β,直線l?α,那么l∥β嗎?提示

平行.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一兩個平面平行的判定【例1】

如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,E,F,N分別是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中點.求證:(1)E,F,D,B四點共面;(2)平面MAN∥平面EFDB.證明

(1)連接B1D1.∵E,F分別是B1C1和C1D1的中點,∴EF∥B1D1.又BD∥B1D1,∴BD∥EF.∴E,F,D,B四點共面.(2)由題意知MN∥B1D1,B1D1∥BD,∴MN∥BD.又MN?平面EFDB,∴MN∥平面EFDB,連接MF.∵點M,F分別是A1B1與C1D1的中點,∴MFAD.∴四邊形ADFM是平行四邊形.∴AM∥DF.∵AM?平面EFDB,DF?平面EFDB,∴AM∥平面EFDB.又AM∩MN=M,∴平面MAN∥平面EFDB.變式探究本例中,設P是棱AA1的中點,其他條件不變,求證:平面PMN∥平面C1BD.證明

連接AB1.∵P,M分別是AA1,A1B1的中點,∴PM∥AB1.又AB1∥C1D,∴PM∥C1D.又PM?平面C1BD,C1D?平面C1BD,∴PM∥平面C1BD.同理MN∥平面C1BD.又PM∩MN=M,∴平面PMN∥平面C1BD.規(guī)律方法

證明兩個平面平行的方法證明兩個平面平行,可以用定義,也可以用判定定理.但用定義證明時,需說明兩個平面沒有公共點,這一點也不容易做到(可用反證法),所以通常用判定定理證明兩個平面平行,其步驟如下:探究點二面面平行性質(zhì)定理的應用【例2】

如圖,已知平面α∥平面β,點P是平面α,β外的一點(不在α與β之間),直線PB,PD分別與α,β相交于點A,B和C,D.(1)求證:AC∥BD;(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的長.(1)證明

∵PB∩PD=P,∴直線PB和PD確定一個平面γ,則α∩γ=AC,β∩γ=BD.又α∥β,∴AC∥BD.(2)解

由(1)得AC∥BD,規(guī)律方法

證明線線平行的方法(1)定義法:在同一個平面內(nèi)沒有公共點的兩條直線平行.(2)平行線的傳遞性:平行于同一條直線的兩條直線平行.變式訓練1[北師大版教材習題]求證:夾在兩個平行平面間的兩條平行線段相等.證明

如圖,平面α∥平面β,AC?α,BD?β,AB∥CD.因為AB∥CD,所以A,B,D,C四點共面.又α∥β,平面ABDC∩α=AC,平面ABDC∩β=BD,由面面平行的性質(zhì)定理,得AC∥BD.又AB∥CD,所以四邊形ABDC為平行四邊形,所以AB=CD.探究點三線面平行、面面平行判定定理的綜合【例3】

在底面是平行四邊形的四棱錐P-ABCD中,點E在PD上,且PE∶ED=2∶1,M為PE的中點,在棱PC上是否存在一點F,使平面BFM∥平面AEC?并證明你的結(jié)論.解

當F是棱PC的中點時,平面BFM∥平面AEC.證明如下,取PC的中點F,連接BF,BM,MF.∵M是PE的中點,∴FM∥CE.∵FM?平面AEC,CE?平面AEC,∴FM∥平面AEC.由EM=PE=ED,得E為MD的中點,連接BD,如圖所示,設BD∩AC=O,則O為BD的中點.連接OE,則BM∥OE.∵BM?平面AEC,OE?平面AEC,∴BM∥平面AEC.∵FM?平面BFM,BM?平面BFM,FM∩BM=M,∴平面BFM∥平面AEC.規(guī)律方法

探索型問題的類型及解法探索型問題是具有開放性和發(fā)散性的問題,此類題目的條件或結(jié)論不完備,需要自己去探索,結(jié)合已有條件,進行觀察、分析、比較和概括得出結(jié)論.常見的有以下兩類:條件探索型和結(jié)論探索型.條件探索型問題是針對一個結(jié)論,條件未知需探索;結(jié)論探索型是先探索結(jié)論再去證明,在探索過程中常先從特殊情況入手,通過觀察、分析、歸納,進行猜測,得出結(jié)論,再就一般情況去論證結(jié)論.變式訓練2如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別是棱CC1,C1D1,D1D,CD的中點,N是BC的中點,點M在四邊形EFGH的邊及其內(nèi)部運動,當點M在

時,有MN∥平面B1BDD1.

點F,H的連線上

解析點M在F,H的連線上時,有MN∥平面B1BDD1.如圖,平面BDD1B1是正方體ABCD-A1B1C1D1的對角面,探究過點N且與平面BDD1B1平行的直線,可取B1C1的中點N1,連接N1N,則NN1∥平面BDD1B1,連接NH,則NH∥平面BDD1B1.∵NH∩NN1=N,∴平面NN1FH∥平面BDD1B1.∵MN?平面NN1FH,∴MN∥平面B1BDD1.即點M在點F,H的連線上時,有MN∥平面B1BDD1.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)平面與平面平行的判定定理.(2)平面與平面平行的性質(zhì)定理.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化與化歸.3.常見誤區(qū):平面與平面平行的條件不充分導致錯誤.成果驗收·課堂達標檢測12345678910111213141516A級必備知識基礎練1.(多選題)[探究點一]設a,b是兩條不同的直線,α,β,γ是三個不同的平面,則α∥β的一個充分條件是(

)A.存在一條直線a,a∥α,a∥βB.存在一條直線a,a?α,a∥βC.存在一個平面γ,滿足α∥γ,β∥γD.存在兩條異面直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥αCD123456789101112131415162.[探究點一]若一個平面α內(nèi)的兩條直線a,b分別平行于另一個平面β內(nèi)的兩條直線c,d,則平面α與β的位置關(guān)系是(

)A.一定平行

B.一定相交C.平行或相交

D.以上判斷都不對C解析

平面α內(nèi)的兩條直線a,b分別平行于平面β內(nèi)的兩條直線c,d,若直線a,b相交且這兩條直線平行于平面β,則可得這兩個平面平行;若直線a,b平行,則平面α與β可能相交也可能平行.故選C.123456789101112131415163.[探究點二]如圖,在三棱臺A1B1C1-ABC中,點D在A1B1上,且AA1∥BD,點M是底面A1B1C1內(nèi)的一個動點,且有平面BDM∥平面AA1C1C,則動點M的軌跡是(

)A.平面

B.直線C.線段,但只含1個端點

D.圓C解析

∵平面BDM∥平面AA1C1C,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面AA1C1C∩平面A1B1C1=A1C1,∴DM∥A1C1,過點D作DE∥A1C1交B1C1于點E(圖略),則點M的軌跡是線段DE(不包括點D).123456789101112131415164.[探究點一]如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G,H分別是棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中點,則必有(

)A.BD1∥GHB.BD∥EFC.平面EFGH∥平面ABCDD.平面EFGH∥平面A1BCD1D123456789101112131415165.(多選題)[探究點一]如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別是A1B1,B1C1,BB1的中點,下列四個說法正確的是(

)A.FG∥平面AA1D1DB.EF∥平面BC1D1C.FG∥平面BC1D1D.平面EFG∥平面BC1D1AC123456789101112131415166.[探究點一]一幾何體的平面展開圖如圖所示,其中四邊形ABCD為正方形,E,F,G,H分別為P1A,P4D,P2C,P2B的中點,點P1,P2,P3,P4折起后重合為點P,在此幾何體中,給出下面五個結(jié)論:①平面EFGH∥平面ABCD;②PA∥平面BDG;③直線EF∥平面PBC;④FH∥平面BDG;⑤EF∥平面BDG.其中正確結(jié)論的序號是

.

①②③④

解析

把圖形還原為一個四棱錐,然后根據(jù)線面、面面平行的判定定理判斷可知①②③④正確.123456789101112131415167.[探究點二]如圖,P是△ABC所在平面外一點,平面α∥平面ABC,α分別交線段PA,PB,PC于點A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,則

=

.

123456789101112131415168.[探究點一]如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點.求證:(1)GH∥平面ABC;(2)平面EFA1∥平面BCHG.12345678910111213141516證明

(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,因為G,H分別是A1B1,A1C1的中點,所以GH∥B1C1.又因為BC∥B1C1,所以GH∥BC.因為GH?平面ABC,BC?平面ABC,所以GH∥平面ABC.(2)因為E,F分別是AB,AC的中點,所以EF∥BC.又因為在三棱柱ABC-A1B1C1中,G為A1B1的中點,所以A1G∥EB,A1G=EB,即四邊形A1EBG為平行四邊形.所以A1E∥BG.因為EF∥BC,EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,所以EF∥平面BCHG.因為A1E∥BG,A1E?平面BCHG,BG?平面BCHG,所以A1E∥平面BCHG.又因為EF,A1E?平面EFA1,且EF∩A1E=E,所以平面EFA1∥平面BCHG.123456789101112131415169.[探究點一]已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,點M,N,Q分別在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求證:平面MNQ∥平面PBC.證明

在△PAD中,∵PM∶MA=PQ∶QD,∴MQ∥AD.同理NQ∥BP.而BP?平面PBC,NQ?平面PBC,∴NQ∥平面PBC.∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴BC∥AD,∴MQ∥BC,而BC?平面PBC,MQ?平面PBC,∴MQ∥平面PBC.易知MQ∩NQ=Q,根據(jù)平面與平面平行的判定定理,可知平面MNQ∥平面PBC.123456789101112131415161234567891011121314151610.[探究點三]如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點,設Q是CC1上的點.問:當點Q在什么位置時,平面D1BQ∥平面PAO?12345678910111213141516解

當Q為CC1的中點時,平面D1BQ∥平面PAO.證明如下:∵Q為CC1的中點,P為DD1的中點,∴QB∥PA.∵P,O分別為DD1,DB的中點,∴D1B∥PO.∴D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO.又D1B∩QB=B,∴平面D1BQ∥平面PAO.12345678910111213141516B級關(guān)鍵能力提升練11.如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中點是P,過點A1作與截面PBC1平行的截面,則該截面的面積為(

)C1234567891011121314151612.(多選題)正方體的平面展開圖如圖所示,在這個正方體中,下列結(jié)論正確的有(

)A.BM∥平面ADEB.CN∥平面AFBC.平面BDM∥平面AFND.平面BDE∥平面NCFABCD12345678910111213141516解析

展開圖可以折成如圖①所示的正方體.在正方體中,連接AN,如圖②所示.∵AB∥MN,且AB=MN,∴四邊形ABMN是平行四邊形.∴BM∥AN.∴BM∥平面ADE.同理可證CN∥平面AFB,∴A,B正確.①

②

如圖③所示,連接NF,BE,BD,DM,CF,可以證明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,則平面BDM∥平面AFN,同理可證平面BDE∥平面NCF,∴C,D正確.③

123456789101112131415161234567891011121314151613.如圖,在多面體ABC-DEFG中,平面ABC∥平面DEFG,EF∥DG,且AB=DE,DG=2EF,則(

)A.BF∥平面ACGDB.CF∥平面ABEDC.BC∥FGD.平面ABED∥平面CGFA1234567891011121314151614.如圖,四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形,PA=PB=AB=2,E,F分別是AB,CD的中點,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF=G,且PG=λGD,則λ=

,ED與AF相交于點H,則GH=

.

11234567891011121314151615.如圖,E,F,G,H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC,CC1,C1D1,AA1的中點,求證:(1)GE∥平面BB1D1D;(2)平面BDF∥平面B1D1H.12345678910111213141516證明

(1)取B1