導數(shù)的綜合應用課件高二下學期數(shù)學北師大版選擇性

第二章導數(shù)及其應用培優(yōu)課導數(shù)的綜合應用北師大版

數(shù)學

選擇性必修第二冊目錄索引

重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一導數(shù)在解決實際問題中的應用【例1】

某保健品企業(yè)新研發(fā)了一種健康飲品.已知每天生產(chǎn)該種飲品最多不超過40千瓶,最少1千瓶,經(jīng)檢測知生產(chǎn)過程中該飲品的正品率P與日產(chǎn)量x(x∈N+,單位:千瓶)間的關(guān)系為,每生產(chǎn)一瓶正品盈利4元,每生產(chǎn)一瓶次品虧損2元.(注:正品率=飲品的正品瓶數(shù)÷飲品總瓶數(shù)×100%)(1)將日利潤y(單位:元)表示成日產(chǎn)量x的函數(shù);(2)求該種飲品的最大日利潤.解

(1)由題意,知每生產(chǎn)1千瓶正品盈利4

000元,每生產(chǎn)1千瓶次品虧損2

000元,(2)令f(x)=-x3+3

600x,x∈[1,40],則f'(x)=3

600-4x2.令f'(x)=0,解得x=30或x=-30(舍去).當1≤x<30時,f'(x)>0;當30<x≤40時,f'(x)<0,所以函數(shù)f(x)在[1,30)內(nèi)單調(diào)遞增,在(30,40]上單調(diào)遞減,所以當x=30時,函數(shù)f(x)取得極大值,也是最大值,為f(30)=-×303+3

600×30=72

000,也即y的最大值為72

000,所以該種飲品的最大日利潤為72

000元.規(guī)律方法

利用導數(shù)解決實際應用問題的步驟(1)函數(shù)建模:細致分析實際問題中各個量之間的關(guān)系,正確設(shè)定所求最大值或最小值的變量y與自變量x,把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,即列出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x).(2)確定定義域:一定要從問題的實際意義去考慮,舍去沒有實際意義的自變量的取值范圍.(3)求最值:盡量使用導數(shù)法求出函數(shù)的最值.(4)下結(jié)論:根據(jù)問題的實際意義給出圓滿的答案.變式訓練1如圖為某倉庫一側(cè)墻面的示意圖,其下部是矩形ABCD,上部是圓弧AB,該圓弧所在的圓心為O,為了調(diào)節(jié)倉庫內(nèi)的濕度和溫度,現(xiàn)要在墻面上開一個矩形的通風窗EFGH(其中E,F在圓弧AB上,G,H在弦AB上).過O作OP⊥AB,交AB于點M,交EF于點N,交圓弧AB于點P,已知OP=10,MP=6.5(單位:m),記通風窗EFGH的面積為S(單位:m2).(1)設(shè)MN=x(單位:m),將S表示成x的函數(shù);(2)當通風窗的高度MN為多少時,通風窗EFGH的面積S最大?解

(1)由題意知,OF=OP=10,MP=6.5,故OM=3.5,因為MN=x,OM=3.5,所以O(shè)N=x+3.5,探究點二與最值有關(guān)的恒成立問題【例2】

已知函數(shù)(1)當a=3時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當a<0時,證明:f(x)存在最大值,且f(x)<恒成立.規(guī)律方法

1.“恒成立”問題向最值問題轉(zhuǎn)化是一種常見的題型,一般地,可采用分離參數(shù)法進行轉(zhuǎn)化.λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max;λ≤f(x)恒成立?λ≤[f(x)]min.對于不能分離參數(shù)的恒成立問題,直接求含參函數(shù)的最值即可.2.此類問題特別要小心“最值能否取到”和“不等式中是否含等號”的情況,以此來確定參數(shù)的范圍能否取得“=”.變式訓練2設(shè)函數(shù)f(x)=2x3-9x2+12x+8c.(1)若對任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立,求c的取值范圍;(2)若對任意的x∈(0,3),都有f(x)<c2成立,求c的取值范圍.解

(1)∵f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2),∴當x∈(0,1)時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當x∈(1,2)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當x∈(2,3)時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.∴當x=1時,f(x)取極大值f(1)=5+8c.又f(3)=9+8c>f(1),∴x∈[0,3]時,f(x)的最大值為f(3)=9+8c.∵對任意的x∈[0,3],有f(x)<c2恒成立,∴9+8c<c2,即c<-1或c>9.∴c的取值范圍為(-∞,-1)∪(9,+∞).(2)由(1)知f(x)<f(3)=9+8c,∴9+8c≤c2,即c≤-1或c≥9,∴c的取值范圍為(-∞,-1]∪[9,+∞).探究點三利用導數(shù)證明不等式【例3】

已知函數(shù)f(x)=xex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若g(x)=xex-x-ln

x-1,證明:g(x)≥0在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)恒成立.(1)解

函數(shù)f(x)=xex,定義域為R,f'(x)=ex+xex=ex(x+1),令f'(x)>0,解得x>-1;令f'(x)<0,解得x<-1,∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1).(2)證明

g(x)=xex-x-ln

x-1,定義域為(0,+∞),設(shè)h(x)=xex-1(x>0),由(1)可知當x>0時,f(x)=xex單調(diào)遞增,∴h(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,∴當x∈(0,x0)時,h(x)<0,即g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當x0∈(x0,+∞)時,h(x)>0,即g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,∴g(x)≥g(x0)=-x0-ln

x0-1=1-0-1=0,即g(x)≥0在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)恒成立.規(guī)律方法

1.證明f(x)>g(x)的一般方法是證明h(x)=f(x)-g(x)>0(利用單調(diào)性),特殊情況是證明f(x)min>g(x)max(最值方法),但后一種方法不具備普遍性.2.證明二元不等式的基本思想是化為一元不等式,一種方法為變換不等式兩個變元成為一個整體,另一種方法為轉(zhuǎn)化后利用函數(shù)的單調(diào)性,如不等式f(x1)+g(x1)<f(x2)+g(x2)對x1<x2恒成立,即等價于函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)為增函數(shù).變式訓練3已知x=為函數(shù)f(x)=ln

x-ax+a的極值點.(1)求a;則g'(x)=ln

x-2x+2=f(x),f(1)=0,且當0<x<x0時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,當x0<x<1時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,當1<x<時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,由g'(x0)=0得ln

x0=2x0-2,探究點四利用導數(shù)解決函數(shù)的零點或方程的根的問題【例4】

已知函數(shù)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當a≤1時,求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上零點的個數(shù).x(0,e1-a)e1-a(e1-a,+∞)f'(x)+0-f(x)↗極大值↘所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e1-a),單調(diào)遞減區(qū)間為(e1-a,+∞).(2)由(1)可知f(x)的最大值為f(e1-a)=①當a=1時,f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,e)內(nèi)單調(diào)遞減.又f(1)=0,故f(x)在區(qū)間(0,e]上只有一個零點.②當a<1時,1-a>0,e1-a>1,則f(e1-a)=所以f(x)在區(qū)間(0,e]上無零點.綜上,當a=1時,f(x)在區(qū)間(0,e]上只有一個零點,當a<1時,f(x)在區(qū)間(0,e]上無零點.規(guī)律方法

利用導數(shù)研究函數(shù)的零點或方程根的方法是借助于導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值,通過極值或最值的正負、函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢,從而判斷零點個數(shù)或者通過零點的個數(shù)求參數(shù)范圍.變式訓練4已知函數(shù)f(x)=ax(x-1)-ln

x(a∈R).(1)當a=3時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+x(2-ax)有兩個不同的零點,求a的取值范圍.解

(1)當a=3時,f(x)=3x2-3x-ln

x,所以f'(x)=6x-3-,根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率k=f'(1)=2,又因為f(1)=0,所以所求切線方程為y=2(x-1),即2x-y-2=0.當a>0時,由g'(x)<0,得x∈(0,1),所以g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減;由g'(x)>0,得x∈(1,+∞),所以g(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.所以g(x)在x=1處取得唯一極小值,也是最小值,g(1)=-a+1.要使g(x)有兩個不同的零點,則必有g(shù)(1)<0,即-a+1<0,解得a>2.因為g(2)=2a-2(a-1)-ln

2=2-ln

2>0,根據(jù)零點存在定理可知,?x1∈(1,2),使得g(x1)=0,且g(x)在[2,+∞)內(nèi)沒有零點.因為g(x)=a(x2-2x)+x-ln

x,當x∈(0,1)時,有x2-2x+1=(x-1)2>0,所以x2-2x>-1.又因為x2-2x=x(x-2)<0,所以-1<x2-2x<0,當0<x<1時,g'(x)<0,所以g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減;當x>1時,g'(x)>0,所以g(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.所以g(x)在x=1處取得唯一極小值,也是最小值,g(1)=1>0,所以g(x)≥g(1)=1,此時g(x)無零點.綜上所述,g(x)在區(qū)間(,1)以及(1,2)內(nèi)各有一個零點,在區(qū)間(0,]以及[2,+∞)內(nèi)沒有零點,所以g(x)有兩個零點,故a>2滿足題意.當a=0時,g(x)=x-ln

x,g'(x)=所以g(x)在(0,1)內(nèi)無零點.又因為g(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以g(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)至多有一個零點.所以g(x)至多有一個零點,不符合題意.綜上所述,a的取值范圍是(2,+∞).學以致用·隨堂檢測促達標1234567891011121314151617A級必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點三](多選題)已知f(x)為(0,+∞)上的可導函數(shù),且(x+1)·f'(x)>f(x),則下列不等式一定成立的是(

)A.3f(4)<4f(3) B.4f(4)>5f(3)C.3f(3)<4f(2) D.3f(3)>4f(2)BD123456789101112131415161712345678910111213141516172.[探究點三]已知函數(shù)f(x)=x-sinx,則不等式f(x+1)+f(2-2x)>0的解集是(

)C.(-∞,3) D.(3,+∞)C解析

∵f(x)=x-sin

x,∴f(-x)=-x+sin

x=-f(x),即函數(shù)f(x)為奇函數(shù),函數(shù)的導數(shù)f'(x)=1-cos

x≥0,則函數(shù)f(x)是增函數(shù),則不等式f(x+1)+f(2-2x)>0等價于f(x+1)>-f(2-2x)=f(2x-2),即x+1>2x-2,解得x<3,故不等式的解集為(-∞,3).1234567891011121314151617A12345678910111213141516174.[探究點二]已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)+x2,在區(qū)間(2,3)內(nèi)任取兩個實數(shù)x1,x2,且x1≠x2,若不等式

恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為

.

[-9,+∞)

12345678910111213141516175.[探究點一]某廠生產(chǎn)某種商品x件的總成本c(x)=1200+x3(單位:萬元),已知產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比,生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價為50萬元,則產(chǎn)量定為

件時,總利潤最大.

2512345678910111213141516176.[探究點二]已知函數(shù)f(x)=aex-x2-x.(1)若f(x)在R上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍;(2)當a=1時,證明:?x∈(-2,+∞),f(x)>sinx.1234567891011121314151617當x>0時,h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,當x<0時,h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,所以當x=0時,函數(shù)h(x)取得極大值,即為最大值,h(0)=1,所以a≥1,即實數(shù)a的取值范圍為[1,+∞).1234567891011121314151617當x>0時,f'(x)=ex-x-1,要證f(x)>sin

x,只需證f(x)>1,令g(x)=f'(x)=ex-x-1,可得g'(x)=ex-1>0,所以g(x)單調(diào)遞增,又由g(0)=0,所以g(x)>g(0)=0,所以f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)>f(0)=1,當-2<x<0時,可得sin

x<0,綜上可得,對于?x∈(-2,+∞),都有f(x)>sin

x.12345678910111213141516177.[探究點三]已知函數(shù)f(x)=ex+exlnx(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)).(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(2)求證:f(x)≥ex2.1234567891011121314151617(1)解

因為函數(shù)f(x)=ex+exln

x,所以f'(x)=ex+e(1+ln

x),f(1)=e,所以f'(1)=2e,所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-e=2e(x-1),即y=2ex-e.(2)證明

要使f(x)≥ex2,即證ex+exln

x≥ex2,1234567891011121314151617令H(x)=ex-1-x,則H'(x)=ex-1-1,當x>1時,H'(x)>0,H(x)單調(diào)遞增;當0<x<1時,H'(x)<0,H(x)單調(diào)遞減.所以H(x)≥H(1)=0.于是當0<x<1時,G'(x)<0,G(x)單調(diào)遞減;當x>1時,G'(x)>0,G(x)單調(diào)遞增.于是G(x)≥G(1)=0,命題得證.1234567891011121314151617B級關(guān)鍵能力提升練8.關(guān)于函數(shù),x∈(0,+∞)的性質(zhì),以下說法正確的是(

)A.函數(shù)f(x)的周期是2πB.函數(shù)f(x)在(0,π)內(nèi)有極值C.函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減D.函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)有最小值D12345678910111213141516179.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:xf'(x)+f(x)>0,且f(1)=2,則f(ex)>的解集為(

)A.(0,+∞) B.(ln2,+∞) C.(1,+∞) D.(0,1)A解析

令F(x)=xf(x),可得F'(x)=xf'(x)+f(x)>0,所以F(x)在R上是增函數(shù),且F(ex)=exf(ex),f(1)=2,F(1)=f(1),f(ex)>,可得F(ex)>F(1),即ex>1,所以x>0,所以不等式的解集為(0,+∞).故選A.123456789101112131415161710.(多選題)已知函數(shù)f(x)=xlnx+x2,x0是函數(shù)f(x)的極值點,以下幾個結(jié)論中正確的是(

)C.f(x0)+2x0<0 D.f(x0)+2x0>0AD解析函數(shù)f(x)=xln

x+x2(x>0),∴f'(x)=ln

x+1+2x,易知f'(x)=ln

x+1+2x在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,∵x0是函數(shù)f(x)的極值點,∴f'(x0)=0,即ln

x0+1+2x0=0,1234567891011121314151617123456789101112131415161711.(多選題)已知函數(shù)f(x)=sinx+x3-ax,則下列結(jié)論正確的是(

)A.f(x)是奇函數(shù)B.若f(x)是增函數(shù),則a≤1C.當a=-3時,函數(shù)f(x)恰有兩個零點D.當a=3時,函數(shù)f(x)恰有兩個極值點ABD123456789101112131415161712.

函數(shù)y=x3+ax+b在(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,則a=

.

-3解析

因為y=x3+ax+b在(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以x=1為函數(shù)y=x3+ax+b的極值點,且y'=3x2+a,所以,y'|x=1=3+a=0,解得a=-3,且當a=-3時,y'=3x2-3,由y'<0可得-1<x<1;由y'>0可得x<-1或x>1,所以函數(shù)y=x3-3x+b的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1),(1,+∞),符合題意.因此a=-3.123456789101112131415161713.已知函數(shù)f(x)=x2-2lnx,若關(guān)于x的不等式f(x)-m≥0在[1,e]上有實數(shù)解,則實數(shù)m的取值范圍是

.

(-∞,e2-2]解析由f(x)-m≥0得f(x)≥m,當x∈[1,e]時,f'(x)≥0,此時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,所以f(1)≤f(x)≤f(e),即1≤f(x)≤e2-2,要使f(x)-m≥0在[1,e]上有實數(shù)解,則有m≤e2-2.123456789101112131415161714.已知函數(shù)y=x2(x>0)的圖象在點(ak,)處的切線與x軸交點的橫坐標為ak+1,其中k∈N+.若a1=16,則a1+a3+a5的值是

.

21解析由于y'=2x,則函數(shù)y=x2(x>0)在點(a1,)(a1=16)處(即點(16,256)處)的切線方程為y-256=32(x-16).令y=0,得a2=8.同理函數(shù)y=x2(x>0)在點(a2,)(a2=8)處(即點(8,64)處)的切線方程為y-64=16(x-8).令y=0,得a3=4,依次同理求得a4=2,a5=1.所以a1+a3+a5=21.123456789101112131415161715.

已知f(x)=x++alnx(a∈R