2021年初中數(shù)學(xué)-備戰(zhàn)中考-考點(diǎn)21-解直角三角形-考點(diǎn)集訓(xùn)與真題演練

考點(diǎn)21解直角三角形考點(diǎn)集訓(xùn)1．（2020·廣西河池市·中考真題）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，則sinB的值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用勾股定理得出AB的長，再利用銳角三角函數(shù)得出答案．【詳解】解：如圖所示：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用和銳角三角函數(shù)的定義，在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，解題的關(guān)鍵是理解三角函數(shù)的定義．2．（2020·四川南充市·中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則sin∠BAC=（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作BD⊥AC于D，根據(jù)勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面積求出BD，最后在直角△ABD中根據(jù)三角函數(shù)的意義求解．【詳解】解：如圖，作BD⊥AC于D，由勾股定理得，，∵，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面積，三角函數(shù)的意義等知識，根據(jù)網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形和利用三角形的面積求出BD是解決問題的關(guān)鍵．3．（2020·山東泰安市·中考真題）如圖，四邊形是一張平行四邊形紙片，其高，底邊，，沿虛線將紙片剪成兩個全等的梯形，若，則的長為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)F作，AG=2，，可得BG=FM=2，令A(yù)F=x，根據(jù)，根據(jù)正切值可得EM的長，加起來等于BC即可得到結(jié)果．【詳解】如圖所示，過點(diǎn)F作交BC于點(diǎn)M，∵，，AG=2，∴BG=FM=2，AF=GM，令A(yù)F=x，∵兩個梯形全等，∴AF=GM=EC=x，又∵，∴，∴，又∵BC=6，∴，∴．故答案選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用特殊角的三角函數(shù)值及三角函數(shù)的意義進(jìn)行求解，準(zhǔn)確根據(jù)全等圖形的性質(zhì)判斷邊角是解題的關(guān)鍵．4．（2020·湖南長沙市·中考真題）從一艘船上測得海岸上高為42米的燈塔頂部的仰角是30度，船離燈塔的水平距離為（）A．米 B．米 C．21米 D．42米【答案】A【分析】在直角三角形中，已知角的對邊求鄰邊，可以用正切函數(shù)來解決．【詳解】解：根據(jù)題意可得：船離海岸線的距離為42÷tan30°=42（米）.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角的定義，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．5．（2020·廣東深圳市·中考真題）如圖，為了測量一條河流的寬度，一測量員在河岸邊相距200米的P、Q兩點(diǎn)分別測定對岸一棵樹T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，則河寬（PT的長）可以表示為（）A．200tan70°米 B．米 C．200sin70°米 D．米【答案】B【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的長，以及∠PQT的度數(shù)，進(jìn)而得到∠PTQ的度數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)即可求得PT的長．【詳解】解：在Rt△PQT中，∵∠QPT=90°，∠PQT=90°-70°=20°，∴∠PTQ=70°，∴，∴，即河寬米，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，掌握方向角與正切函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．6．（2020·貴州黔西南布依族苗族自治州·中考真題）如圖，某停車場入口的欄桿AB，從水平位置繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到A′B′的位置，已知AO的長為4米．若欄桿的旋轉(zhuǎn)角∠AOA′＝α，則欄桿A端升高的高度為（）A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米【答案】B【分析】過點(diǎn)A′作A′C⊥AB于點(diǎn)C，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．【詳解】解：如答圖，過點(diǎn)A′作A′C⊥AB于點(diǎn)C．在Rt△OCA′，sinα＝，所以A′C＝A′O·sinα．由題意得A′O＝AO＝4，所以A′C＝4sinα，因此本題選B．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．7．（2020·湖北孝感市·中考真題）某型號飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算的長為______．（結(jié)果保留根號）【答案】【分析】如圖（見解析），先在中，解直角三角形可求出CF的長，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得DE的長，從而可得CE的長，然后根據(jù)線段的和差即可得．【詳解】如圖，過A作，交DF于點(diǎn)E，則四邊形ABFE是矩形由圖中數(shù)據(jù)可知，，，，在中，，即解得是等腰三角形則的長為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．8．（2020·四川樂山市·中考真題）如圖是某商場營業(yè)大廳自動扶梯示意圖．自動扶梯的傾斜角為，在自動扶梯下方地面處測得扶梯頂端的仰角為，、之間的距離為4．則自動扶梯的垂直高度=_________．（結(jié)果保留根號）【答案】【分析】先推出∠ABC=∠BAC，得BC=AC=4，然后利用三角函數(shù)即可得出答案．【詳解】∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60°，∠BAC=30°，∴∠ABC=30°，∴∠ABC=∠BAC，∴BC=AC=4，在Rt△BCD中，BD=BCsin60°=4×=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，得出BC=AB=4是解題關(guān)鍵．9．（2020·湖南湘潭市·中考真題）計算：________．【答案】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接書寫即可．【詳解】故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，牢固記憶是解題的關(guān)鍵．10．（2020·貴州黔南布依族苗族自治州·中考真題）如圖所示，在四邊形中，，，．連接，，若，則長度是_________．【答案】10【分析】根據(jù)直角三角形的邊角間關(guān)系，先計算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出．【詳解】解：在中，∵，∴．在中，．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形和勾股定理，利用直角三角形的邊角間關(guān)系，求出AC是解決本題的關(guān)鍵．11．（2020·江蘇泰州市·中考真題）如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上且橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作兩條坐標(biāo)軸的平行線，與反比例函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)、，則直線與軸所夾銳角的正切值為______．【答案】【分析】由題意，先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后表示出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可求出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上且橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（1，3），如圖，AP∥x軸，BP∥y軸，∵點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)的圖像上，∴點(diǎn)A為（），點(diǎn)B為（1，），∴直線與軸所夾銳角的正切值為：；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)與一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題．12．（2020·山東棗莊市·中考真題）如圖，人字梯，的長都為2米.當(dāng)時，人字梯頂端高地面的高度是____米（結(jié)果精確到.參考依據(jù)：，，）【答案】1.5.【分析】在中，根據(jù)銳角三角函數(shù)正弦定義即可求得答案.【詳解】在中，∵，，∴，∴.故答案為1.5.【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．13．（2020·浙江金華市·中考真題）圖1是一個閉合時的夾子，圖2是該夾子的主視示意圖，夾子兩邊為AC，BD（點(diǎn)A與點(diǎn)B重合），點(diǎn)O是夾子轉(zhuǎn)軸位置，OE⊥AC于點(diǎn)E，OF⊥BD于點(diǎn)F，OE=OF=1cm，AC=BD=6cm，CE=DF，CE:AE=2:3.按圖示方式用手指按夾子，夾子兩邊繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動．(1)當(dāng)E，F(xiàn)兩點(diǎn)的距離最大值時，以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形的周長是_____cm．(2)當(dāng)夾子的開口最大（點(diǎn)C與點(diǎn)D重合）時，A，B兩點(diǎn)的距離為_____cm．【答案】16【分析】（1）當(dāng)E、O、F三點(diǎn)共線時，E、F兩點(diǎn)間的距離最大，此時四邊形ABCD是矩形，可得AB=CD=EF=2cm，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出周長即可．（2）當(dāng)夾子的開口最大（點(diǎn)C與D重合）時，連接OC并延長交AB于點(diǎn)H，可得，AH=BH，利用已知先求出，在Rt△OEF中利用勾股定理求出CO的長，由，求出AH，從而求出AB=2AH的長．【詳解】（1）當(dāng)E、O、F三點(diǎn)共線時，E、F兩點(diǎn)間的距離最大，此時四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=EF=2cm，∴以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形的周長為2+6+2+6=16cm．（2）當(dāng)夾子的開口最大（點(diǎn)C與D重合）時，連接OC并延長交AB于點(diǎn)H，∴，AH=BH，∵AC=BD=6cm，CE∶AE=2∶3，∴，在Rt△OEF中，，∵，，∴AB=2AH=．故答案為16，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理與旋轉(zhuǎn)的結(jié)合，做題時準(zhǔn)確理解題意利用已知的直角三角形進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．14．（2020·吉林長春市·中考真題）如圖，在中，是對角線、的交點(diǎn)，，，垂足分別為點(diǎn)、．（1）求證：．（2）若，，求的值．【答案】（1）見解析1；（2）【分析】（1）根據(jù)題意由平行四邊形性質(zhì)得，由ASA證得，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意由（1）得OE=OF，則OE=2，在Rt△OEB中，由三角函數(shù)定義即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）證明：在中，∵，∴∴又∵∴∴（2）∵，∴∵∴在中，，.【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)定義等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．81．（2020·湖南湘潭市·中考真題）為了學(xué)生的安全，某校決定把一段如圖所示的步梯路段進(jìn)行改造．已知四邊形為矩形，，其坡度為，將步梯改造為斜坡，其坡度為，求斜坡的長度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】斜坡AF的長度為米．【分析】先由DE的坡度計算DC的長度，根據(jù)矩形性質(zhì)得AB長度，再由AF的坡度得出BF的長度，根據(jù)勾股定理計算出AF的長度．【詳解】∵，其坡度為，∴在中，∴解得∵四邊形ABCD為矩形∴∵斜坡的坡度為∴∴在中，（m）∴斜坡的長度為米．【點(diǎn)睛】本題考查了坡度的概念，及用勾股定理解直角三角形的用法，熟知以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．15．（2020·貴州貴陽市·中考真題）脫貧攻堅工作讓老百姓過上了幸福的生活．如圖①是政府給貧困戶新建的房屋，如圖②是房屋的側(cè)面示意圖，它是一個軸對稱圖形，對稱軸是房屋的高所在的直線．為了測量房屋的高度，在地面上點(diǎn)測得屋頂?shù)难鼋菫?，此時地面上點(diǎn)、屋檐上點(diǎn)、屋頂上點(diǎn)三點(diǎn)恰好共線，繼續(xù)向房屋方向走到達(dá)點(diǎn)時，又測得屋檐點(diǎn)的仰角為，房屋的頂層橫梁，，交于點(diǎn)（點(diǎn)，，在同一水平線上）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）（1）求屋頂?shù)綑M梁的距離；（2）求房屋的高（結(jié)果精確到）．【答案】（1）米；（2）14米【分析】（1）可得，在中由即可求AG；（2）設(shè)，利用三角函數(shù)由x表示DH、CH，由DH-CH=8列方程即可求解．【詳解】解：（1）∵房屋的側(cè)面示意圖是軸對稱圖形，所在直線是對稱軸，，∴，，．在中，，，∵，，．∴（米）答：屋頂?shù)綑M梁的距離約是米．（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，在中，，，∵，∴，在中，，，∵，∴．∵，∴，∵，，解得．∴（米）答：房屋的高約是14米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了仰角的定義及其解直角三角形的應(yīng)用，解題時首先正確理解仰角的定義，然后構(gòu)造直角三角形利用三角函數(shù)和已知條件列方程解決問題．16．（2020·安徽中考真題）如圖，山頂上有一個信號塔，已知信號塔高米，在山腳下點(diǎn)處測得塔底的仰角，塔頂?shù)难鼋牵笊礁?點(diǎn)在同一條豎直線上)．(參考數(shù)據(jù)：)【答案】75米【分析】設(shè)山高CD=x米，先在Rt△BCD中利用三角函數(shù)用含x的代數(shù)式表示出BD，再在Rt△ABD中，利用三角函數(shù)用含x的代數(shù)式表示出AD，然后可得關(guān)于x的方程，解方程即得結(jié)果．【詳解】解：設(shè)山高CD=x米，則在Rt△BCD中，，即，∴，在Rt△ABD中，，即，∴，∵AD－CD=15，∴x－x=15，解得：x=75．∴山高CD=75米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，屬于?？碱}型，正確理解題意、熟練掌握三角函數(shù)的知識是解題的關(guān)鍵．17．（2020·山東德州市·中考真題）如圖，無人機(jī)在離地面60米的C處，觀測樓房頂部B的俯角為30°，觀測樓房底部A的俯角為60°，求樓房的高度．【答案】這棟樓高為40米【分析】過點(diǎn)B作交于點(diǎn)E，解，求出AD，即可求出BE，解中，求出CD，問題得解．【詳解】解：過點(diǎn)B作交于點(diǎn)E，由題意知，．在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴（米）．答：這棟樓高為40米．【分析】本題考查了解直角三角形應(yīng)用-測高問題，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用已知條件解直角三角形．18．（2020·海南中考真題）為了促進(jìn)?？谥鞒菂^(qū)與江東新區(qū)聯(lián)動發(fā)展，文明東越江通道將于今年底竣工通車.某校數(shù)學(xué)實踐活動小組利用無人機(jī)測算該越江通道的隧道長度．如圖，隧道在水平直線上，且無人機(jī)和隧道在同一個鉛垂面內(nèi)，無人機(jī)在距離隧道米的高度上水平飛行，到達(dá)點(diǎn)處測得點(diǎn)的俯角為繼續(xù)飛行米到達(dá)點(diǎn)處，測得點(diǎn)的俯角為．（1）填空：__________度，_________度；（2）求隧道的長度(結(jié)果精確到米)．(參考數(shù)據(jù)：)【答案】（1）30，45；（2）2729米【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求解即可；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)過點(diǎn)作于點(diǎn).在中求出AM的值，在中求出NB的值，進(jìn)而可求隧道的長度.【詳解】解:（1）由題意知PQ//AB，∴∠A=30°，∠B=45°，故答案為：30，45；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)過點(diǎn)作于點(diǎn).則米，米，在中，，.在中，，，(米).答:隧道的長度約為米.【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會用構(gòu)建方程的思想思考問題．19．（2020·山東菏澤市·中考真題）某興趣小組為了測量大樓的高度，先沿著斜坡走了米到達(dá)坡頂點(diǎn)處，然后在點(diǎn)處測得大樓頂點(diǎn)的仰角為，已知斜坡的坡度為，點(diǎn)到大樓的距離為米，求大樓的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】大樓的高度為52米【分析】過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，作BF⊥CD于點(diǎn)F，在Rt△ABE中，根據(jù)坡度及勾股定理求出BE和AE的長，進(jìn)而由三個角是直角的四邊形是矩形判斷四邊形BEDF是矩形，得到BF和FD的長，再在Rt△BCF中，根據(jù)∠CBF的正切函數(shù)解直角三角形，得到CF的長，由CD=CF+FD得解．【詳解】解：如下圖，過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，作BF⊥CD于點(diǎn)F，在Rt△ABE中，AB=52，∵∴tan∠BAE==，∴，又∵BE2+AE2=AB2，∴BE2+(2.4BE)2=522，解得：BE=20，∴AE=2.4BE=48；∵∠BED=∠D=∠BFD=90°，∴四邊形BEDF是矩形，∴FD=BE=20，BF=ED=AD-AE=72-48=24；在Rt△BCF中，tan∠CBF=，即：tan53°==∴CF=BF=32，∴CD=CF+FD=32+20=52．答：大樓的高度為52米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用，熟練掌握仰角的定義，準(zhǔn)確確定合適的直角三角形并且根據(jù)勾股定理或三角函數(shù)列出方程是解題的關(guān)鍵．20．（2020·內(nèi)蒙古中考真題）如圖，一個人騎自行車由A地到C地途經(jīng)B地當(dāng)他由A地出發(fā)時，發(fā)現(xiàn)他的北偏東方向有一電視塔P，他由A地向正北方向騎行了到達(dá)B地，發(fā)現(xiàn)電視塔P在他北偏東方向，然后他由B地向北偏東方向騎行了到達(dá)C地．（1）求A地與電視塔P的距離；（2）求C地與電視塔P的距離．【答案】（1）AP=；（2）6【分析】（1）由題意知：∠A=45°，∠NBC=15°，∠NBP=75°，過點(diǎn)B作BE⊥AP于點(diǎn)E，求出AE=BE=3；（2）先利用三角函數(shù)求出BP=6，繼而根據(jù)方位角求得∠CBP=60°，結(jié)合BC=6，即可證得△BCP是等邊三角形，從而求得答案．【詳解】（1）由題意知：∠A=45°，∠NBC=15°，∠NBP=75°，過點(diǎn)B作BE⊥AP于點(diǎn)E，如圖，在Rt△ABE中，∠ABE=90°-45°=45°，∴AE=BE，∵，∴AE=BE=3，在Rt△BEP中，∠EBP=180°-∠ABE-∠NBP=60°，∴PE=，∴AP=AE+PE=；（2）∵BE=3，∠BEP=90°，∠EBP=60°，∴BP=，又∵∠CBP=∠NBP-∠NBC=75°-15°=60°，BC=6，∴△BCP是等邊三角形，∴CP=BP=6．【點(diǎn)睛】此題考查銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用，方位角的運(yùn)用，等邊三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)題意明確各角度及線段，正確計算即可解決問題．21．（2020·浙江紹興市·中考真題）如圖1為搭建在地面上的遮陽棚，圖2、圖3是遮陽棚支架的示意圖．遮陽棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形構(gòu)成，滑塊E，H可分別沿等長的立柱AB，DC上下移動，AF＝EF＝FG＝1m．（1）若移動滑塊使AE＝EF，求∠AFE的度數(shù)和棚寬BC的長．（2）當(dāng)∠AFE由60°變?yōu)?4°時，問棚寬BC是增加還是減少？增加或減少了多少？（結(jié)果精確到m．參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】（1）m；（2）當(dāng)∠AFE由60°變?yōu)?4°時，棚寬BC是減少了，減少了m．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠AFE＝60°,連接MF并延長交AE于K，則FM＝2FK，求得,于是得到結(jié)論;（2）解直角三角形即可得到結(jié)論.【詳解】解：（1）∵AE＝EF＝AF＝1,∴△AEF是等邊三角形,∴∠AFE＝60°,連接MF并延長交AE于K，則FM＝2FK,∵△AEF是等邊三角形,∴AK＝,∴,∴FM＝2FK＝,∴BC＝4FM＝4（m）;（2）∵∠AFE＝74°,∴∠AFK＝37°,∴KF＝AF?cos37°≈0.80,∴FM＝2FK＝1.60,∴BC＝4FM＝＜﹣＝0.5,答：當(dāng)∠AFE由60°變?yōu)?4°時,棚寬BC是減少了，減少了m.【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用,觀察圖形,發(fā)現(xiàn)直角三角形是解題的關(guān)鍵.22．（2020·山東煙臺市·中考真題）今年疫情期間，針對各種入口處人工測量體溫存在的感染風(fēng)險高、效率低等問題，清華大學(xué)牽頭研制一款“測溫機(jī)器人”，如圖1，機(jī)器人工作時，行人抬手在測溫頭處測量手腕溫度，體溫合格則機(jī)器人抬起臂桿行人可通行，不合格時機(jī)器人不抬臂桿并報警，從而有效阻隔病原體．（1）為了設(shè)計“測溫機(jī)器人”的高度，科研團(tuán)隊采集了大量數(shù)據(jù)．下表是抽樣采集某一地區(qū)居民的身高數(shù)據(jù)：測量對象男性（18～60歲）女性（18～55歲）抽樣人數(shù)（人）20005000200002000500020000平均身高（厘米）173175176164165164根據(jù)你所學(xué)的知識，若要更準(zhǔn)確的表示這一地區(qū)男、女的平均身高，男性應(yīng)采用厘米，女性應(yīng)采用厘米；（2）如圖2，一般的，人抬手的高度與身高之比為黃金比時給人的感覺最舒適，由此利用（1）中的數(shù)據(jù)得出測溫頭點(diǎn)P距地面105厘米．指示牌掛在兩臂桿AB，AC的連接點(diǎn)A處，A點(diǎn)距地面110厘米．臂桿落下時兩端點(diǎn)B，C在同一水平線上，BC＝100厘米，點(diǎn)C在點(diǎn)P的正下方5厘米處．若兩臂桿長度相等，求兩臂桿的夾角．（參考數(shù)據(jù)表）計算器按鍵順序計算結(jié)果（近似值）計算器按鍵順序計算結(jié)果（近似值）【答案】（1）176，164；（2）157.4°【分析】（1）根據(jù)樣本平均數(shù)即可解決問題；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出FC，由題意得到AF，即可求出tan∠FAC，根據(jù)表格即可得出∠FAC，即可得出答案．【詳解】解：（1）用表格可知，男性應(yīng)采用176厘米，女性應(yīng)采用164厘米，故答案為：176，164；（2）如圖2中，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝FC＝50cm，∠FAC＝∠FAB，由題意AF＝10cm，∴tan∠FAC＝＝＝5，∴∠FAC＝78.7°，∴∠BAC＝2∠FAC＝157.4°，答：兩臂桿的夾角為157.4°．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，樣本平均數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．真題演練1．（2020·湖北荊州市·中考真題）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，點(diǎn)A，B，C均在網(wǎng)格交點(diǎn)上，⊙O是的外接圓，則的值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作直徑BD，連接CD，根據(jù)勾股定理求出BD，根據(jù)圓周角定理得到∠BAC=∠BDC，根據(jù)余弦的定義解答即可．【詳解】解：如圖，作直徑BD，連接CD，由勾股定理得，在Rt△BDC中，cos∠BDC=由圓周角定理得，∠BAC=∠BDC，∴cos∠BAC=cos∠BDC=故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握勾股定理的應(yīng)用，圓周角定理、余弦的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2020·天津中考真題）2sin45°的值等于（）A．1 B． C． D．2【答案】B【詳解】解：2sin45°=2×故選B3．（2020·湖南婁底市·中考真題）如圖，撬釘子的工具是一個杠桿，動力臂，阻力臂，如果動力F的用力方向始終保持豎直向下，當(dāng)阻力不變時，則杠桿向下運(yùn)動時的動力變化情況是（）A．越來越小 B．不變 C．越來越大 D．無法確定【答案】A【分析】根據(jù)杠桿原理及的值隨著的減小而增大結(jié)合反比例函數(shù)的增減性即可求得答案．【詳解】解：∵動力×動力臂=阻力×阻力臂，∴當(dāng)阻力及阻力臂不變時，動力×動力臂為定值，且定值＞0，∴動力隨著動力臂的增大而減小，∵杠桿向下運(yùn)動時的度數(shù)越來越小，此時的值越來越大，又∵動力臂，∴此時動力臂也越來越大，∴此時的動力越來越小，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了杠桿原理以及銳角三角函數(shù)和反比例函數(shù)的增減性，熟練掌握相關(guān)知識是解決本題的關(guān)鍵．4．（2020·四川廣元市·中考真題）規(guī)定：給出以下四個結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）其中正確的結(jié)論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)題目所規(guī)定的公式，化簡三角函數(shù)，即可判斷結(jié)論．【詳解】解：（1），故此結(jié)論正確；（2），故此結(jié)論正確；（3）故此結(jié)論正確；（4）==，故此結(jié)論錯誤.故選：C．【點(diǎn)睛】本題屬于新定義問題，主要考查了三角函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識，理解題中公式.5．（2020·江蘇鎮(zhèn)江市·中考真題）如圖①，AB＝5，射線AM∥BN，點(diǎn)C在射線BN上，將△ABC沿AC所在直線翻折，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D落在射線BN上，點(diǎn)P，Q分別在射線AM、BN上，PQ∥AB．設(shè)AP＝x，QD＝y(tǒng)．若y關(guān)于x的函數(shù)圖象（如圖②）經(jīng)過點(diǎn)E(9，2)，則cosB的值等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得四邊形ABQP是平行四邊形，可得AP＝BQ＝x，由圖象②可得當(dāng)x＝9時，y＝2，此時點(diǎn)Q在點(diǎn)D下方，且BQ＝x＝9時，y＝2，如圖①所示，可求BD＝7，由折疊的性質(zhì)可求BC的長，由銳角三角函數(shù)可求解．【詳解】解：∵AM∥BN，PQ∥AB，∴四邊形ABQP是平行四邊形，∴AP＝BQ＝x，由圖②可得當(dāng)x＝9時，y＝2，此時點(diǎn)Q在點(diǎn)D下方，且BQ＝x＝9時，y＝2，如圖①所示，∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7，∵將△ABC沿AC所在直線翻折，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D落在射線BN上，∴BC＝CD＝BD＝，AC⊥BD，∴cosB＝＝＝，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識．理解函數(shù)圖象上的點(diǎn)的具體含義是解題的關(guān)鍵．6．（2020·山東煙臺市·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在DC上，將矩形沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處．若AB＝3，BC＝5，則tan∠DAE的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得AF＝AD＝BC=5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出BF的長，則CF可得，設(shè)CE＝x，則DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根據(jù)勾股定理可得關(guān)于x的方程，解方程即可得到x，進(jìn)一步可得DE的長，再根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上的F處，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，BF＝，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，設(shè)CE＝x，則DE＝EF＝3﹣x在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，∴DE＝EF＝3﹣x＝，∴tan∠DAE＝，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和勾股定理等知識，屬于?？碱}型，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理與計算是解題的關(guān)鍵．6．（2020·浙江溫州市·中考真題）如圖，在離鐵塔150米的A處，用測傾儀測得塔頂?shù)难鼋菫?，測傾儀高AD為米，則鐵塔的高BC為（）A．＋150tan)米B．＋)米C．＋150sin)米D．＋)米【答案】A【分析】過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，則BE可由仰角的正切值求得，再加上AD的長即為BC的長．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，可知AE=DC=150，，∵塔頂?shù)难鼋菫?，∴，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查仰角的定義，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．7．（2020·湖南株洲市·中考真題）如圖所示，點(diǎn)A、B、C對應(yīng)的刻度分別為0、2、4、將線段CA繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A首次落在矩形BCDE的邊BE上時，記為點(diǎn)，則此時線段CA掃過的圖形的面積為（）A． B．6 C． D．【答案】D【分析】求線段CA掃過的圖形的面積，即求扇形ACA1的面積.【詳解】解：由題意，知AC=4,BC=4-2=2,∠A1BC=90°.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得A1C=AC=4.在Rt△A1BC中，cos∠ACA1==.∴∠ACA1=60°.∴扇形ACA1的面積為=.即線段CA掃過的圖形的面積為.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了扇形面積的計算和解直角三角形，熟練掌握扇形面積公式是解本題的關(guān)鍵．8．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，矩形的另一個頂點(diǎn)D在y軸的正半軸上，矩形的邊．則點(diǎn)C到x軸的距離等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作CE⊥y軸于E．解直角三角形求出OD，DE即可解決問題．【詳解】作CE⊥y軸于E．在Rt△OAD中，∵∠AOD=90°，AD=BC=，∠OAD=，∴OD=，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠CDE+∠ADO=90°，又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠CDE=∠OAD=，∴在Rt△CDE中，∵CD=AB=，∠CDE=，∴DE=，∴點(diǎn)C到軸的距離=EO=DE+OD=，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9．（2020·江蘇蘇州市·中考真題）如圖，小明想要測量學(xué)校操場上旗桿的高度，他作了如下操作：（1）在點(diǎn)處放置測角儀，測得旗桿頂?shù)难鼋?；?）量得測角儀的高度；（3）量得測角儀到旗桿的水平距離．利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的知識，旗桿的高度可表示為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】延長CE交AB于F，得四邊形CDBF為矩形，故CF=DB=b，F(xiàn)B=CD=a，在直角三角形ACF中，利用CF的長和已知的角的度數(shù)，利用正切函數(shù)可求得AF的長，從而可求出旗桿AB的長．【詳解】延長CE交AB于F，如圖，根據(jù)題意得，四邊形CDBF為矩形，∴CF=DB=b，F(xiàn)B=CD=a，在Rt△ACF中，∠ACF=α，CF=b，tan∠ACF=∴AF=,AB=AF+BF=，故選：A．【點(diǎn)睛】主要考查了利用了直角三角形的邊角關(guān)系來解題，通過構(gòu)造直角三角形，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解答此類題目的關(guān)鍵所在．10．（2020·貴州黔南布依族苗族自治州·中考真題）如圖，數(shù)學(xué)活動小組利用測角儀和皮尺測量學(xué)校旗桿的高度，在點(diǎn)D處測得旗桿頂端A的仰角為55°，測角儀的高度為1米，其底端C與旗桿底端B之間的距離為6米，設(shè)旗桿的高度為x米，則下列關(guān)系式正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)仰角的定義和銳角三角函數(shù)解答即可．【詳解】解：∵在中，，∴，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)和解直角三角形的實際應(yīng)用．注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．11．（2020·山東菏澤市·中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，若，，則的值為______．【答案】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半得到DC=DB，∠DCB=∠B，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】∵∠ACB=90°，BC=4，CD=3，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，∴DC=DB，∴∠DCB=∠B，AB=2CD=6，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，掌握直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半和三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．12．（2020·江蘇常州市·中考真題）數(shù)學(xué)家笛卡爾在《幾何》一書中闡述了坐標(biāo)幾何的思想，主張取代數(shù)和幾何中最好的東西，互相以長補(bǔ)短．在菱形中，．如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，使得邊在x軸正半軸上，點(diǎn)D在y軸正半軸上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是_________．【答案】(2，)【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可知AD=AB=CD=2，∠OAD=60°，由三角函數(shù)即可求出線段OD的長度，即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形為菱形，∴AD=AB=CD=2，∵∴在Rt△DOA中，∴OD=∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2，)．故答案為：(2，)．【點(diǎn)睛】本題考查了平面直接坐標(biāo)系中直角三角形的計算問題，以及菱形的性質(zhì)，熟練掌握特殊三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．13．（2020·山東濰坊市·中考真題）如圖，矩形中，點(diǎn)G，E分別在邊上，連接，將和分別沿折疊，使點(diǎn)B，C恰好落在上的同一點(diǎn)，記為點(diǎn)F．若，則_______．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得GE，BC=AD=8，證得Rt△EGFRt△EAG，求得，再利用勾股定理得到DE的長，即可求解．【詳解】矩形中，GC=4，CE=3，∠C=90，∴GE=，根據(jù)折疊的性質(zhì)：BG=GF，GF=GC=4，CE=EF=3，∠AGB=∠AGF，∠EGC=∠EGF，∠GFE=∠C=90，∴BG=GF=GC=4，∴BC=AD=8，∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180，∴∠AGE=90，∴Rt△EGFRt△EAG，∴，即，∴，∴DE=，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)的知識等，利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)求線段的長度是本題的關(guān)鍵．14．（2020·山東濟(jì)寧市·中考真題）如圖，小明在距離地面30米的P處測得A處的俯角為15°，B處的俯角為60°．若斜面坡度為1：,則斜坡AB的長是__________米．【答案】【分析】首先根據(jù)題意得出∠ABF=30°，進(jìn)而得出∠PBA=90°，∠BAP=45°，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出即可．【詳解】解：如圖所示：過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，∵斜面坡度為1：，∴tan∠ABF=，∴∠ABF=30°，∵在距離地面30米的P處測得A處的俯角為15°，B處的俯角為60°，∴∠HPB=30°，∠APB=45°，∴∠HBP=60°，∴∠PBA=90°，∠BAP=45°，∴PB=AB，∵PH=30m，sin60°=，解得：PB=，故AB=m，故答案為：.【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確得出PB=AB是解題關(guān)鍵．15．（2020·浙江紹興市·中考真題）如圖，已知邊長為2的等邊三角形ABC中，分別以點(diǎn)A，C為圓心，m為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，連結(jié)BD．若BD的長為2，則m的值為_____．【答案】2或2．【分析】由作圖知，點(diǎn)D在AC的垂直平分線上，得到點(diǎn)B在AC的垂直平分線上，求得BD垂直平分AC，設(shè)垂足為E，得到BE＝，當(dāng)點(diǎn)D、B在AC的兩側(cè)時，如圖，證出BE＝DE，即可求出m；當(dāng)點(diǎn)D、B在AC的同側(cè)時，如圖，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：由作圖知，點(diǎn)D在AC的垂直平分線上，∵△ABC是等邊三角形，∴點(diǎn)B在AC的垂直平分線上，∴BD垂直平分AC，設(shè)垂足為E，∵AC＝AB＝2，∴BE＝AB·sin60°=，當(dāng)點(diǎn)D、B在AC的兩側(cè)時，如圖，∵BD＝2，∴BE＝DE，∴AD＝AB＝2，∴m＝2；當(dāng)點(diǎn)D、B在AC的同側(cè)時，如圖，∵＝2，∴＝3，∴＝＝2，∴m＝2，綜上所述，m的值為2或2，故答案為：2或2．【點(diǎn)睛】此題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和勾股定理，掌握等邊三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、分類討論的數(shù)學(xué)思想、銳角三角函數(shù)和勾股定理是解決此題的關(guān)鍵．16．（2020·江蘇南通市·中考真題）如圖，測角儀CD豎直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D處測得建筑物頂端A的仰角為50°．若測角儀的高度是m，則建筑物AB的高度約為_____m．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，根據(jù)正切進(jìn)行求解即可；【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，則DE＝BC＝5，DC＝BE＝，在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝，∴AE＝tan∠ADE?DE＝tan50°×5≈1.19×5＝（米），∴AB＝AE+BE＝（米），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．17．（2020·河南中考真題）位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺，是中國現(xiàn)存最早的天文臺，也是世界文化遺產(chǎn)之一．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用卷尺和自制的測角儀測量觀星臺的高度．如圖所示，他們在地面一條水平步道上架設(shè)測角儀，先在點(diǎn)處測得觀星臺最高點(diǎn)的仰角為，然后沿方向前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)處，測得點(diǎn)的仰角為．測角儀的高度為，求觀星臺最高點(diǎn)距離地面的高度(結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：)；“景點(diǎn)簡介”顯示，觀星臺的高度為，請計算本次測量結(jié)果的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議．【答案】（1）；（2），多次測量，求平均值【分析】（1）過點(diǎn)A作AE⊥MN交MN的延長線于點(diǎn)E，交BC的延長線于點(diǎn)D，根據(jù)條件證出四邊形BMNC為矩形、四邊形CNED為矩形、三角形ACD與三角形ABD均為直角三角形，設(shè)AD的長為xm，則CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，在Rt△ABD中，解直角三角形求得AD的長度，再加上DE的長度即可；（2）根據(jù)（1）中算的數(shù)據(jù)和實際高度計算誤差，建議是多次測量求平均值．【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)A作AE⊥MN交MN的延長線于點(diǎn)E，交BC的延長線于點(diǎn)D，設(shè)AD的長為xm，∵AE⊥ME，BC∥MN，∴AD⊥BD，∠ADC=90°，∵∠ACD=45°，∴CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，由題易得，四邊形BMNC為矩形，∵AE⊥ME，∴四邊形CNED為矩形，∴DE=CN=BM=，在Rt△ABD中，，解得：，即，，答：觀星臺最高點(diǎn)距離地面的高度為．（2）本次測量結(jié)果的誤差為：，減小誤差的合理化建議：多次測量，求平均值．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．18．（2020·江蘇鎮(zhèn)江市·中考真題）如圖，點(diǎn)E與樹AB的根部點(diǎn)A、建筑物CD的底部點(diǎn)C在一條直線上，AC＝10m．小明站在點(diǎn)E處觀測樹頂B的仰角為30°，他從點(diǎn)E出發(fā)沿EC方向前進(jìn)6m到點(diǎn)G時，觀測樹頂B的仰角為45°，此時恰好看不到建筑物CD的頂部D（H、B、D三點(diǎn)在一條直線上）．已知小明的眼睛離地面m，求建筑物CD的高度（結(jié)果精確到m）．（參考數(shù)據(jù)：，．）【答案】m．【分析】延長FH，交CD于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，求CD，只需求出DM即可，即只要求出HN就可以，在Rt△BNF中，設(shè)BN＝NH＝x，則根據(jù)tan∠BFN＝就可以求出x的值，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和線段的和可求得CD的長．【詳解】解：如圖，延長FH，交CD于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，∵∠BHN＝45°，BA⊥MH，則BN＝NH，設(shè)BN＝NH＝x，∵HF＝6，∠BFN＝30°，且tan∠BFN＝＝，∴tan30°＝，解得x，根據(jù)題意可知：DM＝MH＝MN+NH，∵M(jìn)N＝AC＝10，則DM＝＝，∴CD＝DM+MC＝DM+EF＝＝（m）．答：建筑物CD的高度約為m．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形應(yīng)用-仰角俯角問題，理解仰角俯角的概念，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解答的關(guān)鍵．19．（2020·浙江舟山市·中考真題）為了測量一條兩岸平行的河流寬度，三個數(shù)學(xué)研究小組設(shè)計了不同的方案，他們在河南岸的點(diǎn)A處測得河北岸的樹H恰好在A的正北方向．測量方案與數(shù)據(jù)如下表：課題測量河流寬度測量工具測量角度的儀器，皮尺等測量小組第一小組第二小組第三小組測量方案示意圖說明點(diǎn)B，C在點(diǎn)A的正東方向點(diǎn)B，D在點(diǎn)A的正東方向點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東方向，點(diǎn)C在點(diǎn)A的正西方向．測量數(shù)據(jù)BC＝60m，∠ABH＝70°，∠ACH＝35°．BD＝20m，∠ABH＝70°，∠BCD＝35°．BC＝101m，∠ABH＝70°，∠ACH＝35°．（1）哪個小組的數(shù)據(jù)無法計算出河寬？（2）請選擇其中一個方案及其數(shù)據(jù)求出河寬（精確到m）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】（1）第二個小組的數(shù)據(jù)無法計算河寬；（2）河寬為m【分析】（1）第二個小組的數(shù)據(jù)無法計算出河寬；（2）第一個小組：證明BC＝BH＝60m，解直角三角形求出AH即可．第三個小組：設(shè)AH＝xm，則CA＝，AB＝，根據(jù)CA+AB＝CB，構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：（1）第二個小組的數(shù)據(jù)無法計算河寬；（2）第一個小組的解法：∵∠ABH＝∠ACH+∠BHC，∠ABH＝70°，∠ACH＝35°，∴∠BHC＝∠BCH＝35°，∴BC＝BH＝60m，∴AH＝BH?sin70°＝（m）．第三個小組的解法：設(shè)AH＝xm，則CA＝，AB＝，∵CA+AB＝CB，∴＝101，解得x．答：河寬為m．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，弄清題意、列出方程是解答本題的關(guān)鍵．20．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真題）如圖，一艘輪船以每小時30海里的速度自東向西航行，在處測得小島位于其西北方向（北偏西方向），2小時后輪船到達(dá)處，在處測得小島位于其北偏東方向．求此時船與小島的距離（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）．【答案】此時船與小島的距離約為44海里【分析】過P作PH⊥AB，設(shè)PH=x，由已知分別求PB、BH、AH，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)求出x值即可求解【詳解】如圖，過P作PH⊥AB，設(shè)PH=x，由題意，AB=60，∠PBH=30o，∠PAH=45o，在Rt△PHA中，AH=PH=x,在Rt△PBH中，BH=AB-AH=60-x，PB=2x，∴tan30o=，即，解得：，∴PB=2x=≈44（海里），答：此時船與小島的距離約為44海里．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的應(yīng)用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知識是解答本題的關(guān)鍵．21．（2020·遼寧朝陽市·中考真題）為了豐富學(xué)生的文化生活，學(xué)校利用假期組織學(xué)生到紅色文化基地A和人工智能科技館C參觀學(xué)習(xí)如圖，學(xué)校在點(diǎn)B處，A位于學(xué)校的東北方向，C位于學(xué)校南偏東30°方向，C在A的南偏西15°方向處．學(xué)生分成兩組，第一組前往A地，第二組前往C地，兩組同學(xué)同時從學(xué)校出發(fā)，第一組乘客車，速度是，第二組乘公交車，速度是，兩組同學(xué)到達(dá)目的地分別用了多長時間？哪組同學(xué)先到達(dá)目的地？請說明理由（結(jié)果保留根號）【答案】第一組用時小時，第二組用時小時，第二組先到達(dá)目的地，理由見解析【分析】法1：過點(diǎn)B作BDAC于D，在中證得，設(shè)，則，在中，，利用三角函數(shù)定義或勾股定理表示出AD的長，在中，利用三角函數(shù)表示出CD的長，由AD＋CD＝AC列出方程問題得解；法2與法1輔助組相同，不同點(diǎn)是法2是在BCD中，利用三角定義列方程求解．【詳解】方法1：解：作于D．依題意得，，，，．在中，，，，，，設(shè)，則，在中，，，，，（或者由勾股定理得）在中，，，，，，，，，，第一組用時：；第二組用時：，∴第二組先到達(dá)目的地，答：第一組用時小時，第二組用時小時，第二組先到達(dá)目的地．方法2：解：于點(diǎn)D，依題意得：，，．，，在中，，，，設(shè)，則，由勾股定理得：，，，在中，，，，，，第一組用時：；第二組用時：，第二組先到達(dá)目的地．答：第一組用時小時，第二組用時小時，第二組先到達(dá)目的地．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線面構(gòu)造直角三角形解決問題．22．（2