2022福建省南平市高三畢業(yè)班第三次質量檢測數(shù)學試題解析版

南平市2021—2022學年高三畢業(yè)班第三次質量檢測數(shù)學試題一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)，則復數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.2.設集合，集合，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.3.拋擲兩枚質地均勻的硬幣，下列事件與事件“至少一枚硬幣正面朝上”互為對立的是（）A.至多一枚硬幣正面朝上 B.只有一枚硬幣正面朝上C.兩枚硬幣反面朝上 D.兩枚硬幣正面朝上4.《九章算術》中將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖，在正方體中，當分別與，，，重合時，所形成的四面體中鱉臑共有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個5.在單位圓中，已知角的終邊與單位圓交于點，現(xiàn)將角的終邊按逆時針方向旋轉，記此時角的終邊與單位圓交于點，則點的坐標為（）A. B. C. D.6.在中，若，則（）A. B. C. D.7.若點是拋物線上一點，點到該拋物線焦點的距離為6，則（）A.1 B.2 C.3 D.48.對任意的，當時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A B. C. D.二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.支氣管炎患者會咳嗽失眠，給患者日常生活帶來嚴重的影響.某醫(yī)院老年患者治愈率為20%，中年患者治愈率為30%，青年患者治愈率為40%.該醫(yī)院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，則（）A.若從該醫(yī)院所有患者中抽取容量為30的樣本，老年患者應抽取12人B.該醫(yī)院青年患者所占的頻率為C.該醫(yī)院的平均治愈率為28.7%D.該醫(yī)院的平均治愈率為31.3%10.已知函數(shù)的任意兩條對稱軸間的最小距離為，函數(shù)的圖象關于原點對稱，則（）A.函數(shù)在單調遞減B.，C.把的圖象向右平移個單位即可得到的圖象D.若在上有且僅有一個極值點，則的取值范圍為11.已知雙曲線的方程為，，分別為雙曲線的左?右焦點，過且與x軸垂直的直線交雙曲線于M，N兩點，又，則（）A.雙曲線的漸近線方程為B.雙曲線的頂點到兩漸近線距離的積的5倍等于焦點到漸近線距離的平方C.雙曲線的實軸長?虛軸長?焦距成等比數(shù)列D.雙曲線上存點，滿足12.如圖，在平面直角坐標系中一系列格點，其中且.記，如記為，記為，記為，以此類推；設數(shù)列的前項和為.則（）

A. B. C. D.三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.計算：___________.14.已知為圓：上任意一點，則的最大值為___________.15.已知函數(shù)有零點，則實數(shù)___________.16.四面體中，，，，且異面直線與所成的角為.若四面體的外接球半徑為，則四面體的體積的最大值為___________.四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.在中，角A?B?C所對的邊分別是a?b?c，___________.（1）求角A；（2）若，，點D在線段AB上，且與的面積比為3：5，求CD的長.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答內容計分）18.已知數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若滿足，.設為數(shù)列的前項和，求.19.南平市于2018年成功獲得2022年第十七屆福建省運會承辦權.為進一步提升第十七屆福建省運會志愿者綜合素質，提高志愿者服務能力，南平市啟動首批志愿者通識培訓，并于培訓后對參訓志愿者進行了一次測試，通過隨機抽樣，得到100名參訓志愿者測試成績，統(tǒng)計結果整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）由頻率分布直方圖可以認為，此次測試成績近似于服從正態(tài)分布，近似為這100人測試成績的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表），①求的值；②利用該正態(tài)分布，求；（2）在（1）的條件下，主辦單位為此次參加測試的志愿者制定如下獎勵方案：①測試成績不低于的可以獲贈2次隨機話費，測試成績低于的可以獲贈1次隨機話費；②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為：贈送話費的金額（元）1030概率今在此次參加測試的志愿者中隨機抽取一名，記該志愿者獲贈的話費為（單位：元），試根據(jù)樣本估計總體的思想，求的分布列與數(shù)學期望.參考數(shù)據(jù)與公式：若，則，，.20.如圖，四棱錐底面是邊長為2的正方形，，.（1）證明：平面；（2）若M為棱PD上的點，，且二面角的余弦值為，求直線PC與平面ACM所成角的正弦值.21.已知橢圓：，，分別為橢圓的左?右焦點，焦距為4.過右焦點且與坐標軸不垂直的直線交橢圓于M，N兩點，已知的周長為，點M關于x軸的對稱點為P，直線PN交x軸于點Q.（1）求橢圓的方程；（2）求四邊形面積的最大值.22.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若，求證：函數(shù)有兩個零點，且.南平市2021—2022學年高三畢業(yè)班第三次質量檢測數(shù)學試題一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)，則復數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【1題答案】【答案】A【解析】【分析】先由復數(shù)的運算求出，再求出虛部即可.【詳解】，故虛部為.故選：A.2.設集合，集合，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【2題答案】【答案】D【解析】【分析】直接由求解即可.【詳解】由可得.故選：D.3.拋擲兩枚質地均勻的硬幣，下列事件與事件“至少一枚硬幣正面朝上”互為對立的是（）A.至多一枚硬幣正面朝上 B.只有一枚硬幣正面朝上C.兩枚硬幣反面朝上 D.兩枚硬幣正面朝上【3題答案】【答案】C【解析】【分析】由對立事件的概念直接判斷即可.【詳解】由對立事件的概念知：“至少一枚硬幣正面朝上”的對立事件為“兩枚硬幣反面朝上”.故選：C.4.《九章算術》中將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖，在正方體中，當分別與，，，重合時，所形成的四面體中鱉臑共有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【4題答案】【答案】B【解析】【分析】當與，重合時，由為等邊三角形即可判斷四面體不是鱉臑；當與，重合時，證明四個面均為直角三角形即可.【詳解】如圖，當與重合時，易得，故為等邊三角形，此時四面體不是鱉臑；當與重合時，易得為直角三角形，又面，面，故，故為直角三角形，同理為直角三角形，此時四面體是鱉臑；當與重合時，易得，故為等邊三角形，此時四面體不是鱉臑；當與重合時，易得為直角三角形，又面，面，故，故為直角三角形，同理為直角三角形，此時四面體是鱉臑；故共有2個.故選：B.5.在單位圓中，已知角的終邊與單位圓交于點，現(xiàn)將角的終邊按逆時針方向旋轉，記此時角的終邊與單位圓交于點，則點的坐標為（）A. B. C. D.【5題答案】【答案】B【解析】【分析】先由三角函數(shù)的定義求得，再由正余弦和角公式求得，即可求得點的坐標.【詳解】由三角函數(shù)定義知：，將角的終邊按逆時針方向旋轉，此時角變?yōu)?，故點的橫坐標為，點的縱坐標為，故點的坐標為.故選：B.6.在中，若，則（）A. B. C. D.【6題答案】【答案】A【解析】【分析】由，利用正切的二倍角公式即可求解.【詳解】因為，所以，所以，故選：A7.若點是拋物線上一點，點到該拋物線焦點的距離為6，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【7題答案】【答案】D【解析】【分析】先由點在拋物線上得，再結合拋物線定義及到拋物線焦點的距離即可解出.【詳解】由題意知：，解得，拋物線的準線為，由拋物線的定義知，點到該拋物線焦點的距離為，解得.故選：D.8.對任意的，當時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【8題答案】【答案】C【解析】【分析】化簡不等式后構造函數(shù)，根據(jù)單調性轉化為恒成立問題求解【詳解】，即，令，由題意得在上單調遞減，故，即在上恒成立，則，故選：C二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.支氣管炎患者會咳嗽失眠，給患者日常生活帶來嚴重的影響.某醫(yī)院老年患者治愈率為20%，中年患者治愈率為30%，青年患者治愈率為40%.該醫(yī)院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，則（）A.若從該醫(yī)院所有患者中抽取容量為30的樣本，老年患者應抽取12人B.該醫(yī)院青年患者所占的頻率為C.該醫(yī)院的平均治愈率為28.7%D.該醫(yī)院的平均治愈率為31.3%【9題答案】【答案】ABC【解析】【分析】由分層抽樣即可判斷A選項；直接計算頻率即可判斷B選項；直接計算平均治愈率即可判斷C、D選項.【詳解】對于A，由分層抽樣可得，老年患者應抽取人，正確；對于B，青年患者所占的頻率為，正確；對于C，平均治愈率為，正確；對于D，由C知錯誤.故選：ABC.10.已知函數(shù)的任意兩條對稱軸間的最小距離為，函數(shù)的圖象關于原點對稱，則（）A.函數(shù)在單調遞減B.，C.把的圖象向右平移個單位即可得到的圖象D.若在上有且僅有一個極值點，則的取值范圍為【10題答案】【答案】BD【解析】【分析】由題意先解出，再根據(jù)三角函數(shù)性質對選項逐一判斷【詳解】由題意得的周期為，故，，又的圖象關于原點對稱，為奇函數(shù)，而，可得，即，，對于A，當時，，結合正弦函數(shù)性質知在不單調，故A錯誤，對于B，，，故B正確對于C，的圖象向右平移個單位得函數(shù)，故C錯誤，對于D，當時，，若在上有且僅有一個極值點，則，解得，故D正確故選；BD11.已知雙曲線的方程為，，分別為雙曲線的左?右焦點，過且與x軸垂直的直線交雙曲線于M，N兩點，又，則（）A.雙曲線的漸近線方程為B.雙曲線的頂點到兩漸近線距離的積的5倍等于焦點到漸近線距離的平方C.雙曲線的實軸長?虛軸長?焦距成等比數(shù)列D.雙曲線上存在點，滿足【11題答案】【答案】AB【解析】【分析】先由求得，即可求出漸近線判斷A選項，由點到直線的距離公式即可判斷B選項，由實軸長?虛軸長?焦距結合等比中項即可判斷C選項，由雙曲線定義結合的范圍即可判斷D選項.【詳解】易知雙曲線的方程為，令得，故，解得，雙曲線的漸近線方程為，即，故A正確；雙曲線的漸近線方程為，由雙曲線的對稱性，不妨取右頂點，右焦點，則頂點到兩漸近線距離的積為，焦點到漸近線距離的平方為，又，，故，B正確；，，顯然，C錯誤；若，又由雙曲線定義，解得，故不存在點，滿足，D錯誤.故選：AB.12.如圖，在平面直角坐標系中的一系列格點，其中且.記，如記為，記為，記為，以此類推；設數(shù)列的前項和為.則（）

A. B. C. D.【12題答案】【答案】ABD【解析】【分析】由圖觀察可知第圈的個點對應的這項的和為0，則，同時第圈的最后一個點對應坐標為，設在第圈，則圈共有個數(shù)，可判斷前圈共有個數(shù)，所在點的坐標為，向前推導，則可判斷A，B選項；當時，所在點的坐標為，即可判斷C選項；借助與圖可知，即項之和，對應點的坐標為，，…，，即可求解判斷D選項.【詳解】由題，第一圈從點到點共8個點，由對稱性可知；第二圈從點到點共16個點，由對稱性可知，即，以此類推，可得第圈個點對應的這項的和為0，即，設在第圈，則，由此可知前圈共有個數(shù)，故，則，所在點的坐標為，則，所在點的坐標為，則，所在點的坐標為，則，故A正確；，故B正確；所在點的坐標為，則，所在點的坐標為，則，故C錯誤；，對應點的坐標為，，…，，所以，故D正確.故選：ABD【點睛】關鍵點點睛：觀察圖形，利用對稱性求解問題，對D選項，考慮已知的前項和與所求的關系，結合圖形，可適當先列舉找到規(guī)律，再求解.三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.計算：___________.【13題答案】【答案】##【解析】【分析】直接由特殊角的三角函數(shù)和對數(shù)運算求解即可.【詳解】.故答案為：.14.已知為圓：上任意一點，則的最大值為___________.【14題答案】【答案】【解析】【分析】將轉化為點和連線的斜率，由圖像可知當直線與圓相切時取得最大值，由解出斜率即可.【詳解】由于，故表示和連線的斜率，設，如圖所示，當與圓相切時，取得最大值，設此時，即，又圓心，半徑為1，故，解得，故的最大值為.故答案為：.15.已知函數(shù)有零點，則實數(shù)___________.【15題答案】【答案】【解析】【分析】先由基本不等式求得，再由二次函數(shù)求得，要使函數(shù)有零點，必須同時取等，即，，解方程即可.【詳解】由可得，當且僅當時取等，又，當且僅當時取等，故，當且僅當，時取等.要使函數(shù)有零點，則且，化簡得，解得.故答案為：.16.四面體中，，，，且異面直線與所成的角為.若四面體的外接球半徑為，則四面體的體積的最大值為___________.【16題答案】【答案】【解析】【分析】構建直三棱柱，找出球心及底面外心，結合正弦定理求得，由表示出體積，再結合余弦定理及基本不等式求出最大值.【詳解】由，，，且異面直線與所成的角為構建直三棱柱，由得，易得四面體外接球即為直三棱柱的外接球，取的外心，易得的中點即為球心，又，則，由正弦定理得，又，又由余弦定理得，即，當且僅當時取等，故的最大值為3，四面體的體積的最大值為.故答案為：.四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.在中，角A?B?C所對的邊分別是a?b?c，___________.（1）求角A；（2）若，，點D在線段AB上，且與的面積比為3：5，求CD的長.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答內容計分）【17題答案】【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）若選①，由正弦定理，得，再由余弦定理即可求出角A；若選②，由正弦定理得，解得，即可求出角A；若選③，先由平方關系得，再由正弦定理得，再由余弦定理即可求出角A；（2）在中，由余弦定理求得，由與的面積比求得，再在中由余弦定理求得即可.【小問1詳解】選①，由正弦定理，得，即，故，又，故；選②，由正弦定理，得，又，故，又，故，又，故；選③，由可得，即，由正弦定理得，故，又，故；【小問2詳解】在中，由余弦定理得，因為，所以，解得或（舍），又與的面積比為3：5，即，所以，在中，由余弦定理得，即.18.已知數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若滿足，.設為數(shù)列的前項和，求.【18題答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用累乘法即可求解；（2）由（1）代入可得，利用并項法求和即可求解.【小問1詳解】因為，，所以當時，，則，即，當時，也成立，所以.【小問2詳解】由（1），，，則，則.19.南平市于2018年成功獲得2022年第十七屆福建省運會承辦權.為進一步提升第十七屆福建省運會志愿者綜合素質，提高志愿者服務能力，南平市啟動首批志愿者通識培訓，并于培訓后對參訓志愿者進行了一次測試，通過隨機抽樣，得到100名參訓志愿者測試成績，統(tǒng)計結果整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）由頻率分布直方圖可以認為，此次測試成績近似于服從正態(tài)分布，近似為這100人測試成績的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表），①求的值；②利用該正態(tài)分布，求；（2）在（1）的條件下，主辦單位為此次參加測試的志愿者制定如下獎勵方案：①測試成績不低于的可以獲贈2次隨機話費，測試成績低于的可以獲贈1次隨機話費；②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為：贈送話費的金額（元）1030概率今在此次參加測試的志愿者中隨機抽取一名，記該志愿者獲贈的話費為（單位：元），試根據(jù)樣本估計總體的思想，求的分布列與數(shù)學期望.參考數(shù)據(jù)與公式：若，則，，.【19題答案】【答案】（1）①；②（2）分布列見解析；【解析】【分析】（1）①利用平均值的公式求解即可；②利用正態(tài)分布的對稱性即可求解；（2）由，所獲贈話費的可能取值為，，，，，結合表中數(shù)據(jù)，即可得到分布列，再利用期望公式即可求解.【小問1詳解】由題，，因為，所以.【小問2詳解】由題，，所獲贈話費的可能取值為，，，，，，，，，，所以的分布列為：所以.20.如圖，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，，.（1）證明：平面；（2）若M為棱PD上的點，，且二面角的余弦值為，求直線PC與平面ACM所成角的正弦值.【20題答案】【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由正方形的性質可知，易證≌，則，設，連接，結合等腰三角形性質可知，即可得證；（2）取中點為，可知為二面角的平面角，易得≌，進而可得平面，即，在中可得，，以點為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，設平面的法向量為，設所求的直線與平面所成角為，則，即可求解.【小問1詳解】證明：因為底面是邊長為的正方形，所以，由，，，則≌，所以，設，連接，所以，因為，平面，平面，所以平面.【小問2詳解】取中點為，易得且，所以為二面角的平面角，則，因為，，，所以≌，所以，即，又，所以平面，則，在中，，所以，則，以點為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，設平面的法向量為，則，即，取，則，，所以，設所求的直線與平面所成角為，則，所以，所求的正弦值為.21.已知橢圓：，，分別為橢圓的左?右焦點，焦距為4.過右焦