2.1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（解析版）

.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一用不等式(組)表示不等關(guān)系【【解題思路】1.將不等關(guān)系表示成不等式(組)的解題思路（1）讀懂題意，找準(zhǔn)不等式所聯(lián)系的量．（2）用適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)連接．（3）多個(gè)不等關(guān)系用不等式組表示．2.常見(jiàn)的文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換文字語(yǔ)言大于，高于，超過(guò)小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超過(guò)符號(hào)語(yǔ)言><≥≤【例1-1】（22-23高一上·四川眉山·階段練習(xí)）將一根長(zhǎng)為的繩子截成兩段，已知其中一段的長(zhǎng)度為m，若兩段繩子長(zhǎng)度之差不小于，則所滿足的不等關(guān)系為（

）A． B．或C． D．【答案】D【解析】由題意,可知另一段繩子的長(zhǎng)度為.因?yàn)閮啥卫K子長(zhǎng)度之差不小于，所以，化簡(jiǎn)得：.故選：D【例1-2】（23-24高一上·貴州遵義·階段練習(xí)）持續(xù)的高溫干燥天氣導(dǎo)致某地突發(fā)山火，現(xiàn)需將物資運(yùn)往滅火前線．從物資集散地到滅火前線-共，其中靠近滅火前線的山路崎嶇，需摩托車(chē)運(yùn)送，其他路段可用汽車(chē)運(yùn)送．已知在可用汽車(chē)運(yùn)送的路段，運(yùn)送的平均速度為，設(shè)需摩托車(chē)運(yùn)送的路段平均速度為，為使物資能在1小時(shí)內(nèi)到達(dá)滅火前線，則x應(yīng)該滿足的不等式為（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意汽車(chē)所用時(shí)間加上摩托車(chē)所用時(shí)間小于1小時(shí)，即，故選：D．【變式】1．（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．某人的月收入元不高于元可表示為“”B．小明的身高為，小華的身高為，則小明比小華矮可表示為“”C．變量不小于可表示為“”D．變量不超過(guò)可表示為“”【答案】C【解析】對(duì)于A，某人的月收入元不高于元可表示為“”，A錯(cuò)；對(duì)于B，小明的身高為，小華的身高為，則小明比小華矮可表示為“”，B錯(cuò)；對(duì)于C，變量不小于可表示為“”，C正確；對(duì)于D，變量不超過(guò)可表示為“”，D錯(cuò).故選：C2．（23-24高一上·廣東深圳·階段練習(xí)）公司運(yùn)輸一批木材，總重600噸，車(chē)隊(duì)有兩種貨車(chē)，A型貨車(chē)載重量30噸，型貨車(chē)載重量24噸，設(shè)派出A型貨車(chē)輛，型貨車(chē)輛，則運(yùn)輸方案應(yīng)滿足的關(guān)系式是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知可得，，所以有.故選：B.3．（23-24高一上·四川南充·階段練習(xí)）火車(chē)站有某公司待運(yùn)的甲種貨物1530噸，乙種貨物1150噸．現(xiàn)計(jì)劃用A，B兩種型號(hào)的貨箱共50節(jié)運(yùn)送這批貨物．已知35噸甲種貨物和15噸乙種貨物可裝滿一節(jié)A型貨箱，25噸甲種貨物和35噸乙種貨物可裝滿一節(jié)B型貨箱，據(jù)此安排A，B兩種貨箱的節(jié)數(shù)，下列哪個(gè)方案不滿足：（

）A．A貨箱28節(jié)，B貨箱22節(jié) B．A貨箱29節(jié)，B貨箱21節(jié)C．A貨箱31節(jié)，B貨箱19節(jié) D．A貨箱30節(jié)，B貨箱20節(jié)【答案】C【解析】設(shè)A、B貨箱分別有x，y節(jié)，則，A：共50節(jié)且，，滿足；B：共50節(jié)且，，滿足；C：共50節(jié)且，，不滿足；D：共50節(jié)且，，滿足；故選：C.知識(shí)點(diǎn)二作差法、作商法比較大小【【解題思路】作差法或作商法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的解題思路作差或作商變形：采用配方、因式分解、通分、分子分母有理化等定號(hào)：作差法-判斷差值與0的大??；作商法-判斷商與1的大小結(jié)論：利用實(shí)數(shù)a、b大小比較的結(jié)果【例2-1】（23-24高一上·云南昆明·期中）設(shè)，，則與的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．無(wú)法確定【答案】A【解析】因?yàn)?，所?故選：A.【例2-2】（23-24高一上·北京·階段練習(xí)）設(shè)，，則（填入“＞”或“＜”）．【答案】【解析】∵，即.又，.故答案為：>.【變式】1．（23-24高一上·上海松江·期末）已知，設(shè)，則與的值的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故.故選：D2．（24-25高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）（1）;

（2）;（3）;

（4）,;（5）【答案】<<<>>【解析】（1）因?yàn)?所以;（2）因?yàn)?所以;（3）因?yàn)?所以;（4）,因?yàn)?所以,則;（5）,因?yàn)?所以,則.故答案為:（1）;（2）;（3）;（4）;（5）.3．（23-24高一上·貴州六盤(pán)水·期中）從下列三組式子中選擇一組比較大小：①設(shè)，比較的大小；②設(shè)，比較的大小；③設(shè)，比較的大小.注：如果選擇多組分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】①；②；③；【解析】解：①，因?yàn)?，所以，即?②，.③方法一（作差法），因?yàn)?，所以，所以，所?..方法二（作商法）因?yàn)椋?，所以，所?.知識(shí)點(diǎn)三不等式的性質(zhì)【【解題思路】利用不等式性質(zhì)判斷命題真假解題思路(1)運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷時(shí)，要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì)．(2)解有關(guān)不等式的選擇題時(shí)，也可采用特殊值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循如下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算．【例3-1】（23-24高二下·浙江溫州·期末）下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【解析】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，顯然不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)椋?，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤.故選：B.【例3-2】．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，滿足，但，故充分性不成立，若，當(dāng)時(shí)，必有成立，當(dāng)時(shí)，必有，故必要性成立，故“”是“”的必要不充分條件，故B正確.故選：B【變式】1．（2024高二上·福建·學(xué)業(yè)考試）若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，當(dāng)，時(shí)，滿足，但是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，滿足，但是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)，滿足，但是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，即，故D正確.故選：D2．（23-24高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）若，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，D正確；當(dāng)時(shí)，滿足，但是，A,C不正確；當(dāng)時(shí)，滿足，但是，B不正確；故選：D3．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，或，則，即充分性成立；當(dāng)時(shí)，，則，即必要性成立；綜上可知，“”是“”的充要條件.故選：C.4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，即，故選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，滿足，但，此時(shí)，，故選項(xiàng)B，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，由可得，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:A．知識(shí)點(diǎn)四不等式的性質(zhì)求取值范圍【【解題思路】利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的解題思路(1)建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用一次不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，求得待求的范圍．(2)同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，如果在解題過(guò)程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍．注意：求解這種不等式問(wèn)題要特別注意不能簡(jiǎn)單地分別求出單個(gè)變量的范圍，再去求其他不等式的范圍．【例4-1】（23-24高一上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，，所以，故選：D【例4-2】（23-24高一上·河北保定·階段練習(xí)）已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則有，解得，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，?故選：B.【變式】1．（22-23高一上·河南·階段練習(xí)）若，則下列各式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，又，則.故選：D.2．（23-24高一上·山西太原·階段練習(xí)）已知，，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，，故，即.故選：D3．（23-24高一上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）（多選）已知，則下列結(jié)果正確的有（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】對(duì)于A中，由，可得，由不等式的性質(zhì)，可得，所以A正確；對(duì)于B中，由，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，所以B正確；對(duì)于C中，由，可得，所以，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，可得，所以D錯(cuò)誤.故選：AB.4．（24-25高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）如果，則（1）的取值范圍是；（2）的取值范圍是；（3）的取值范圍是；（4）的取值范圍是.【答案】【解析】由①，②，得：，,由②得：③，由①③得：，由②得：④，由①④得：．故答案為：，，，單選題1．（2023廣西）如圖，在一個(gè)面積為200m2的矩形地基上建造一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，四周是綠地，倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)a大于寬b的4倍，則表示上述的不等關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意知，根據(jù)面積公式可以得到.故選:C．2．（2024浙江杭州·階段練習(xí)）已知且，，則、的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．不能確定【答案】C【解析】已知.則，所以，，因此，.故選:C.3．（24-25高一上·全國(guó)·假期作業(yè)）已知，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，，又，所?故選：D.4．（2023云南）若，下列不等式中不一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】A：，又，知：，但無(wú)法確定符號(hào)，錯(cuò)誤；B：，，故，正確；C：由，知，即，正確；D：由，有，正確；故選：A5．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則【答案】D【解析】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：取滿足，，而，此時(shí)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，則，所以，即，又，所以，D正確.故選：D.6．（2024·新疆克拉瑪依）如果，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】對(duì)A，取，則，故A錯(cuò)；對(duì)B，取，則，故B錯(cuò)；對(duì)C，取，則，故C錯(cuò)；對(duì)D，由于，所以，，且，則，則，故D正確；故選：D.7．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特）我國(guó)經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣的一道題：今有出錢(qián)五百七十六，買(mǎi)竹七十八，欲其大小率之，向各幾何？其意是：今有人出錢(qián)576，買(mǎi)竹子78根，擬分大?小兩種竹子為單位進(jìn)行計(jì)算，每根大竹子比小竹子貴1錢(qián)，問(wèn)買(mǎi)大?小竹子各多少根？每根竹子單價(jià)各是多少錢(qián)？則在這個(gè)問(wèn)題中大竹子每根的單價(jià)可能為（

）A．6錢(qián) B．7錢(qián) C．8錢(qián) D．9錢(qián)【答案】C【解析】依題意可設(shè)買(mǎi)大竹子，每根單價(jià)為，購(gòu)買(mǎi)小竹子，每根單價(jià)為，所以，即，即，因?yàn)?，所以，根?jù)選項(xiàng)，，所以買(mǎi)大竹子根，每根元.故選：C8．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則．【答案】C【解析】A選項(xiàng)，，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，因不清楚的正負(fù)情況，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，故C正確；D選項(xiàng)，，故D錯(cuò)誤.故選：多選題9．（23-24高一上·吉林延邊·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，，則（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】因?yàn)?，，則，，故A、C正確；由題，故，B錯(cuò)誤；，則，故，D正確；故選：ACD.10．（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且，則下列不等式正確的有（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】對(duì)于A，由和不等式性質(zhì)可得，故A正確；對(duì)于B，因，若取，，，，則，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因，若取，，，，則，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，則，又因則，由不等式的同向皆正可乘性得，，故，故D正確．故選：AD．11．（23-24高一下·浙江·期中）已知，下列選項(xiàng)中是“”的充分條件的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A符合題意；對(duì)于B，因?yàn)椋裕?，即，故B符合題意；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，即，故C符合題意；對(duì)于D，取，但有，故D不符合題意.故選：ABC.填空題12．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，則a與b的大小關(guān)系為．【答案】a＜b【解析】因?yàn)閎－a＝2（x＋2）2－（x＋1）（x＋3）＝2x2＋8x＋8－（x2＋4x＋3）＝x2＋4x＋5＝（x＋2）2＋1＞0，所以a＜b.13．（23-24高二下·山東青島·期中）已知，則的取值范圍是.【答案】【解析】由題意可知，，，，則，所以.故答案為：14．（23-24高二下·天津河西·期末）給出下列命題：①若，則；②若，則；③若a，b是非零實(shí)數(shù)，且，則；④若，則其中正確的命題是．（填對(duì)應(yīng)序號(hào)即可）【答案】③④【解析】對(duì)①，當(dāng)時(shí)，結(jié)論錯(cuò)誤，故①錯(cuò)誤；對(duì)②，當(dāng)時(shí)，即，故結(jié)論錯(cuò)誤；對(duì)③，因?yàn)槭欠橇銓?shí)數(shù)，所以，所以即，故③成立；對(duì)④因?yàn)椋约?；即，所以，故④正確.故答案為：③④解答題15．（23-24高一上·云南紅河·期中）比較下列兩式大?。?1)與(2)與（3）已知，試比較與的大小.（4）已知，試比較和的大小.【答案】(1)(2)（3）（4）【解析】（1）解：由，所以.（2）解：由，所以．（3）由，因?yàn)?，，可得，所?（4）（方法1）因?yàn)?，所?所以.因?yàn)?，所以，即；（方?）所以，又，所以,所以.16．（22-23高一上·山東淄博·階段練習(xí)）（1）如果，，求，，的取值范圍.（2）已知，滿足，，求的取值范圍.（3）實(shí)數(shù)a，b滿足，.①求實(shí)數(shù)a，b的取值范圍；②求的取值范圍.【答案】（1），，；（2）（3）①②【解析】（1）因?yàn)?，，所以，，，所以，；?）設(shè)，，則，解得，所以，又，，所以，則，所以的取值范圍是.（3）①∵，∴，.②，因?yàn)椋?，又，所以，所?17．（23-24高一上·山東青島·階段練習(xí)）現(xiàn)有四個(gè)長(zhǎng)方體容器，的底面積均為，高分別為；的底面積均為，高分別為（其中）．現(xiàn)規(guī)定一種兩人的游戲規(guī)則：每人從四種容器中取兩個(gè)盛水，盛水多者為勝．問(wèn)先取者在未能確定與大小的情況下有沒(méi)有必勝的方案？若有，有幾種？請(qǐng)加以證明.【答案】有，只有1種，證明見(jiàn)詳解【解析】設(shè)A，，，的體積分別為，，，，每人從四種容器中取兩個(gè)容器有三種對(duì)應(yīng)情況：，因?yàn)?，因?yàn)?，的大小關(guān)系不確定，故與大小無(wú)法確定，故不管先取者取，還是，都不能確保勝利；因?yàn)?，因?yàn)?，的大小關(guān)系不確定，故與大小無(wú)法確定，故不管先取者取，還是，都不能確保勝利；因?yàn)?，所以，即先取者先取，必可保證勝利；綜上，先取者有必勝方案，且只有種，就是先?。?8．（22-23高一·全國(guó)·課堂例題）糖水在日常生活中經(jīng)常見(jiàn)到，可以說(shuō)大部分人都喝過(guò)糖水.下列關(guān)于糖水濃度的問(wèn)題，能提煉出一個(gè)怎樣