4.2 指數函數（解析版）

.2指數函數知識點一指數函數的概念【【解題思路】1.判斷一個函數是否為指數函數的方法(1)底數的值是否符合要求．(2)ax前的系數是否為1.(3)指數是否符合要求．2.求指數函數的解析式時，一般采用待定系數法，即先設出函數的解析式，然后利用已知條件，求出解析式中的參數，從而得到函數的解析式?！纠?-1】（24-25高一上·上?！るS堂練習）下列函數中，指數函數是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】指數函數的概念：函數且叫做指數函數，其中指數是自變量，定義域是R.對A,選項不滿足形式；對B，符合定義；對C,系數為,不滿足定義；對D，指數為,不滿足定義.故選：B.【例1-2】（23-24高一上·青海西寧·期中）函數是指數函數，則有（

）A．或 B．C． D．且【答案】C【解析】由已知得，即得.故選：C【例1-3】．（23-24高一上·陜西西安·階段練習）若指數函數的圖象過點，則的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，因的圖象過點，則，得，所以，故選：C.【變式】1．（23-24高一上·江西新余·期中）（多選）若函數是指數函數，則實數的值為（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】因為函數是指數函數，所以，解得或.故選：AB2．（24-25高一上·上?！るS堂練習）下列函數①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是冪函數的是；是指數函數的是.【答案】冪函數②指數函數①⑤【解析】因為指數函數為（且），故①⑤是指數函數；由冪函數定義知，是冪函數，故②是冪函數；由指數函數的定義知，③④⑥⑦均不是冪函數，也不是指數函數；對于⑧，當時，，不是冪函數，也不是指數函數.故答案為：②；①⑤.3．（23-24高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）在下列函數中，是指數函數的有.①

②

③

④⑤

⑥

⑦【答案】①⑥【解析】指數函數：且函數定義域為，的系數為1；①是指數函數；②的指數不是，故不是指數函數；③指數式的系數不為1，故不是指數函數；④的定義域不是；⑤不是指數函數；⑥是指數函數；⑦的底數不是常數，不是指數函數；故答案為：①⑥4．（24-25高一上·上?！ふn堂例題）若函數為指數函數，則．【答案】【解析】因為函數為指數函數，所以且且，解得.故答案為：知識點二指數型函數的定點【例2-1】（24-25高一上·上?！るS堂練習）函數（且）的圖象經過一定點，則該定點坐標為．【答案】【解析】當，即時，，所以的圖象經過定點.故答案為：【例2-2】（23-24高二下·重慶·階段練習）直線和函數的圖象均恒過同一定點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，解得，由題意可知：點在直線上，可得，即，則，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：B.【變式】1．（24-25高一上·上?！卧獪y試）若函數（且）經過的定點是P，則P點的坐標是．【答案】【解析】的圖象過點，圖象由的圖象右移3個單位、上移7個單位得到，故過定點．故答案為：．2．（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）函數（且）的圖象必經過點．【答案】【解析】因為函數（且）的圖象必經過點，所以函數的圖象必經過點.故答案為：.3．（23-24高一上·江蘇南京·階段練習）已知函數的圖像恒過定點，且點在直線上，則的最小值為（

）A．4 B．1 C． D．【答案】C【解析】由函數的圖像恒過定點，再由點在直線上，則，而，取等號條件是,此時，故選：C.4．（2024高三·全國·專題練習）函數的圖象過定點，且定點的坐標滿足方程，其中，，則的最小值為（）A． B．9 C． D．8【答案】B【解析】對于函數，令，得，，所以函數的圖象恒過定點，又定點的坐標滿足方程，所以，即，又，，所以，當且僅當，即，時取等號，的最小值為.故選：B.知識點三指數函數的圖象及應用【【解題思路】處理函數圖象問題的思路(1)抓住特殊點：指數函數的圖象過定點(0,1)，求指數型函數圖象所過的定點時，只要令指數為0，求出對應的x，y的值，即可得函數圖象所過的定點．(2)巧用圖象變換：函數圖象的平移變換(左右平移、上下平移)．(3)利用函數的性質：奇偶性與單調性．【例3-1】（24-25高一上·上海·隨堂練習）若函數（且）的圖象在第二、三、四象限內，則（）A． B．且C．且 D．【答案】C【解析】如圖所示，圖象與y軸的交點在y軸的負半軸上（縱截距小于零），即，且，，且．故選：．【例3-2】．（24-25高一上·上?！ふn堂例題）若函數（且）的圖像不經過第二象限，則有（）A．且 B．且C．且 D．且【答案】D【解析】由指數函數圖像的特征可知當時，函數（且）的圖像必經過第二象限，故排除選項B、C．又函數（且）的圖像不經過第二象限，則其圖像與軸的交點不在軸上方，所以當時，，即，故選：D．【變式】1．（24-25高一上·上?！るS堂練習）在下圖中，二次函數與指數函數的圖像只可能是（

）A．B．C． D．【答案】A【解析】因為為指數函數，所以，且，所以，因為二次函數的對稱軸為直線，所以排除BD，由指數函數的圖象可知，所以，所以二次函數圖象頂點的橫坐標在內，所以C錯誤，故選：A2．（22-23高一上·廣東·階段練習）（多選）函數的圖象如圖所示，其中為常數，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由的圖象可以觀察出函數在定義域上單調遞減，所以，函數的圖象是在的圖象的基礎上向左平移得到的，所以.故選：AC3．（23-24高一上·四川·期中）（多選）已知函數（且的圖象如圖所示，則函數的大致圖象不可能為（

）A．B．C． D．【答案】AD【解析】根據題意可得，的圖象是向上平移a個單位得到的，結合冪函數的性質可知在上為單調遞增函數，當a為奇數時，圖象如C選項所示；當a為偶數時，圖象如B選項所示，選項A，D不符合題意．故選：AD.重難點一指數函數的定義域和值域【【解題思路】1.函數y＝af(x)定義域的求法形如y＝af(x)形式的函數的定義域是使得f(x)有意義的x的取值集合．2.函數y＝af(x)值域的求法①換元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定義域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的單調性求y＝at，t∈M的值域．注意：(1)通過建立不等關系求定義域時，要注意解集為各不等關系解集的交集．(2)當指數型函數的底數含字母時，在求定義域、值域時要注意分類討論．【例4-1】（22-23高一·全國·隨堂練習）求下列函數的定義域和值域：(1)；(2)；(3)；(4)(5)(6)【答案】(1)定義域為R，值域為(2)定義域為R，值域為(3)定義域為R，值域為(4)定義域為，值域為(5)定義域為，值域為(6)定義域為，值域為【解析】（1）的定義域為R，值域為；（2）的定義域為R，值域為；（3）的定義域為R，值域為；（4）中分母不等于0，故的定義域為，由于，故，又，故值域為；（5）中分母不等于0，故，的定義域為，由于，故，又，的值域為（6）中中分母不等式0，故，的定義域為，由于，故，又，故的值域為.【例4-2】（2024廣西）函數（且）的值域是，則實數（

）A．3 B． C．3或 D．或【答案】C【解析】函數（且）的值域為，又由指數函數的單調性可知，當時，函數在上單調遞減，值域是所以有，即，解得；當時，函數在上單調遞增，值域是所以有，即，解得.綜上所述，或.故選：C.【例4-3】（2024·四川成都·二模）已知函數的值域為．若，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當時，，符合題意；當時，因為函數的值域為滿足，由指數函數的單調性可知，即二次函數的最小值小于或等于零；若時，依題意有的最小值，即，若時，不符合題意；綜上：，故選：B.【變式】1．（2023高一·江蘇·專題練習）求下列函數的定義域和值域：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)定義域，值域為且(2)定義域為，值域為(3)定義域為R，值域為(4)定義域為R，值域為【解析】（1）要使函數式有意義，則，解得.所以函數的定義域為.因為，所以，即函數的值域為且.（2）由題意知，所以，所以，所以函數的定義域為.因為，所以，所以，即，所以函數的值域為.（3）由題意知函數的定義域為R.因為，所以，又，所以函數的值域為.（4）由題意易知函數的定義域為R，因為，又，所以，故函數的值域為.2．（23-24高三上·陜西咸陽·階段練習）若函數（且）在區(qū)間上的值域為，則實數的值為（

）A． B．2 C．3 D．【答案】B【解析】①當時，單調遞增，故，解得；②當時，單調遞減，，無解，綜上可知.故選：B3．（23-24高一上·全國·期末）如果函數且在區(qū)間上的最大值是，則的值為（

）A．3 B． C． D．3或【答案】D【解析】令，則．當時，因為，所以，又因為函數在上單調遞增，所以，解得（舍去）．當時，因為，所以，又函數在上單調遞增，則，解得（舍去）．綜上知或．故選：D.重難點二指數型函數的單調性【【解題思路】指數型函數的單調性的解題思路(1)求復合函數的單調區(qū)間，首先求出函數的定義域，然后把函數分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通過考察f(u)和φ(x)的單調性，利用同增異減原則，求出y＝f(φ(x))的單調性．(2)關于指數型函數y＝af(x)(a>0，且a≠1)的單調性由兩點決定，一是底數a>1還是0<a<1；二是f(x)的單調性，它由兩個函數y＝au，u＝f(x)復合而成．【例5-1】（23-24高二下·湖南衡陽·期中）的單調遞減區(qū)間為【答案】/【解析】復合函數可以分為：外部函數與內部函數,因為外部函數在公共定義域內單調遞減，根據復合函數單調性“同增異減”的性質，所以求的減區(qū)間，等價于求內部函數的增區(qū)間，易知的增區(qū)間為，故的減區(qū)間為，由于端點不影響函數的單調性，所以的減區(qū)間也可以為，故答案為：.【例5-2】（24-25高一上·上?！るS堂練習）已知指數函數在上是嚴格減函數，則實數a的取值范圍是．【答案】【解析】由指數函數在上是嚴格減函數，則，得.故答案為：【例5-3】（23-24高二上·浙江·期末）函數在區(qū)間上單調遞減，則a的取值范圍是．【答案】【解析】函數由和復合而成，由于是單調遞增，函數在區(qū)間上單調遞減，所以在區(qū)間上單調遞減.當時，不符合題意；當時，單調遞減，滿足題意；當時，開口向下，對稱軸為，故需要滿足，顯然成立，滿足題意，綜上：.故答案為：.【變式】1．（23-24高一下·四川成都·開學考試）函數的單調遞減區(qū)間為．【答案】【解析】函數的定義域為，又二次函數，開口向下，對稱軸為，所以在上單調遞增，在上單調遞減，又在定義域上單調遞減，所以的單調遞增區(qū)間為.故答案為：2．（23-24高一上·江蘇無錫·階段練習）計算：函數的單調遞減區(qū)間為.【答案】【解析】，的定義域為，根據“同增異減”法則：求函數的單調遞減區(qū)間，即求的單調遞減區(qū)間，而要求函數的單調遞減區(qū)間，即要求函數的單調遞增區(qū)間，的對稱軸為，的單調遞增區(qū)間為，故的單調遞減區(qū)間為.故答案為：.3．（24-25高一上·上海·隨堂練習）已知指數函數在R上是嚴格增函數，則實數a的取值范圍為．【答案】【解析】因為指數函數在R上是嚴格增函數，所以，即，解得或，即實數a的取值范圍為.故答案為：4．（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）已知函數在上是嚴格增函數，則實數的取值范圍是．【答案】【解析】在上是嚴格增函數，,解得．故答案為：5．（23-24高一上·江西·期中）若函數在上單調遞增，則實數m的最小值為．【答案】3【解析】因為，作函數函數的圖象如下，結合圖象可知，函數在單調遞增，所以，則實數m的最小值為3，故答案為:3.重難點三比較大小【【解題思路】比較冪值大小的3種類型及處理方法1.底數相同指數不同：利用指數函數的單調性判斷2.底數不同指數相同：利用冪函數的單調性判斷3.底數不同指數不同：通過中間量比較【例6】（23-24高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）比較下列各組數的大小:(1)和；(2)和；(3)和；(4)和；(5)和；(6)和.【答案】(1)>(2)(3)>(4)答案見解析(5)>(6)<【解析】（1）由于單調遞減，所以；（2）由于單調遞減，所以；（3），，故（4）當時，，故，當時，，故，（5）由于函數為單調遞增函數，所以（6）由于為單調遞減函數，所以【變式】1．（23-24高二下·貴州畢節(jié)·期末）已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，結合對應冪指數函數單調性，知，所以.故選：A2．（23-24高一上·四川樂山·期中）在，，，這四個數中，最大的數為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函數與在上單調遞減，可知，，只需比較與的大小，由于冪函數在上單調遞增，所以，所以這四個數中，最大的數為.故選：C.3．（23-24高一下·安徽·階段練習）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為在第一象限為增函數，，所以，因為在第一象限為增函數，，所以，所以，故選：B.4．（2024高一上·湖南邵陽）已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為在定義域上是增函數，所以，因為在定義域上是減函數，所以，所以,即.故選：A.5．（23-24高一下·河北張家口·開學考試）已知，則的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，，，又，所以的大小關系是.故選：B重難點四簡單的指數不等式的解法【【解題思路】簡單的指數不等式的解法(1)利用指數型函數的單調性解不等式，需將不等式兩邊都湊成底數相同的指數式．(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依據是指數型函數的單調性，要養(yǎng)成判斷底數取值范圍的習慣，若底數不確定，就需進行分類討論，即af(x)>ag(x)?f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)．【例7-1】（2024·江蘇宿遷）已知函數，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解法一：函數的定義域為R，函數分別是R上的增函數和減函數，因此函數是R上的增函數，由，得，解得，所以原不等式的解集是.故選：A解法二：特值當時，，排除B，D，當時，，排除C，對A：當時，，因為函數是R上的增函數，所以，故A成立.故選A．【例7-2】（23-24貴州六盤水·期中）已知定義在上的奇函數為單調遞增函數，若恒成立，則t的取值范圍是．【答案】【解析】由得，因為為上的奇函數，所以，故，又因在上單調遞增，所以即，設，則恒成立，則，因，當且僅當即，時等號成立,故.故答案為：【變式】1．（2023春·遼寧）已知函數（且），若，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為函數定義域為，且，所以函數為偶函數，則，因為，則，即，所以，所以可以轉化為，則，所以，故選：B.2．（2024陜西咸陽）已知函數若，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】得，當以及時，均為單調遞增函數，且當時，當時，因此為上的單調遞增函數，由得，故選：D3．（2024·黑龍江鶴崗）已知函數，若，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，，所以為奇函數，不等式，等價于，即，因為為奇函數，所以，因為均為減函數，根據單調性的性質可知，為減函數，則，解得：故選：B重難點五指數函數的綜合運用【例8】（23-24高一上·河北石家莊·期中）已知函數．(1)若函數是定義在上的奇函數，求函數的解析式；(2)在（1）的前提下，函數滿足，若對任意且，不等式恒成立，求實數的最大值．【答案】(1)(2)【解析】（1）函數是定義在上的奇函數，所以，即恒成立.所以，，解得，或.當時，，無意義，不滿足定義域為，舍去.當時，，滿足題意.故.（2），所以.所以，因為任意且，不等式恒成立，，當且僅當時，等號成立.令，得到恒成立，即恒成立.因為，當且僅當時，等號成立，故，所以的最大值為.【變式】1．（23-24高一上·天津濱海新·期中）已知函數，．(1)證明函數在上單調遞減；(2)若，，使得，求實數a的取值范圍；(3)若關于x的不等式：在上有解，求實數a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】（1）證明：任取，，,,即函數在上單調遞減.（2）由（1）的結論知在上單調遞減，則，因為在上單調遞增，所以若，使得，則即，解得.（3）由題意得在上有解，即在上有解，所以，設，因為在單調遞減，在單調遞減，所以在上單調遞減，所以，所以.2．（23-24高一上·廣東廣州·期中）函數，．(1)若，求的最大值．(2)若時，圖象恒在圖象的上方，求實數的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【解析】（1），設，，，故，函數對稱軸為，當，即時，最大值為；當，即時，最大值為；綜上所述：當時，函數最大值為；當時，函數最大值為.（2）圖象恒在圖象的上方，即恒成立，即，設，，則.，即恒成立，，當且僅當時等號成立故，即.單選題1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）函數，則的值域是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為在上單調遞減，所以在上的值域為.故選：C2．（23-24高一上·甘肅定西·期末）函數的單調遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】內函數，其在上單調遞增，而外函數在上單調遞減，則根據復合函數單調性“同增異減”的原則知的單調遞減區(qū)間為，故選：B.3．（2024·湖南邵陽·三模）“”是“函數（且）在上單調遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，則的圖象為：可知在上單調遞增；若，則的圖象為：可知在上單調遞減；綜上所述：“”是“函數（且）在上單調遞減”的充要條件.故選：C．4．（2023春·湖南長沙）已知的值域為，則x的取值范圍可以為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，則，由題知，，解得或，即或，解得或.故選：D5．（2024北京）函數（）的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當時，，因此，且函數在上單調遞增，故A、B均不符合；當時，，因此，且函數在上單調遞減，故C符合，D不符合．故選：C．6．（2024·江西·模擬預測）函數的一個單調遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，由復合函數的單調性可知：的單調遞減區(qū)間為函數的單調遞減區(qū)間，又函數，即函數為偶函數，結合圖象，如圖所示，可知函數的單調遞減區(qū)間為和，即的單調遞減區(qū)間為和．故選：C．7．（23-24江西鷹潭·階段練習）若函數在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，因為在定義域上單調遞減，要使函數在區(qū)間上單調遞增，則在區(qū)間上單調遞減，所以，解得，所以的取值范圍為.故選：C8．（2024·全國·模擬預測）已知函數，則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，，則，所以為奇函數．又，則的圖象是由的圖象向右平移個單位長度得到的，所以圖象的對稱中心為，所以．因為在上單調遞增，在上單調遞減，所以在上單調遞增，則在上單調遞增，因為，所以，所以，解得，故滿足的的取值范圍為．故選：B多選題9．（23-24高一上·廣東茂名·階段練習）函數且，當時，值域為，則的值可能是（

）A． B． C． D．2【答案】BC【解析】當時，函數單調遞減，，解得當時，函數單調遞增，，解得．故選：BC．10．（23-24高一上·湖北宜昌·期中）已知函數是常數，且在區(qū)間上有最大值3，最小值，則的可能取值是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】令，因為，可得，當時，可得，所以，因為函數在區(qū)間上有最大值，最小值，可得，解得；當時，可得，所以，因為函數在區(qū)間上有最大值，最小值，可得，解得，綜上可得，或.故選:AD.11（2024高三·全國·專題練習）已知函數，則（

）A．函數的定義域為RB．函數的值域為C．函數在上單調遞增D．【答案】ABD【解析】令，則．對于選項A，的定義域為，故A正確；對于選項B，因為，的值域為，所以函數的值域為,故B正確；對于選項C，因為在上單調遞增，且在上單調遞減，所以根據復合函數單調性法則，得函數在上單調遞減，故C不正確；對于選項D，由于函數在上單調遞減，則，故D正確．故選:ABD．填空題12．（22-23高一下·青海西寧·開學考試）若函數的值域為，則a的取值范圍是.【答案】【解析】若，則，不滿足題意；若，則，當，即時，的值域為，滿足題意.故答案為：.13．（24-25高一上·上?！卧獪y試）已知，，，則、、三者的大小關系是．【答案】【解析】因為，所以；因為，所以；所以，故答案為：.14．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）若函數的圖像不經過第二象限，則的取值范圍是．【答案】【解析】指數函數過點，則函數過點，若圖像不經過第二象限，則，即．故答案為