第一章 第5講 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

第一章集合、常用邏輯用語與不等式第5講二次函數(shù)與一元二次方程、不等式目

錄Contents01教材幫讀透教材融會貫通02高考幫研透高考明確方向03思維幫提升思維快速解題04練習(xí)幫練透好題精準(zhǔn)分層課標(biāo)要求命題點五年考情命題分析預(yù)測1.會結(jié)合一元二次

函數(shù)的圖象，判斷

一元二次方程實根

的存在性及實根的

個數(shù)，了解函數(shù)的

零點與方程根的關(guān)

系.二次函數(shù)的

圖象與性質(zhì)2023新高

考卷ⅠT4；

2020新高

考卷ⅡT7本講很少單獨命題，常與其他知識

綜合命題，如作為工具求解集合、

函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線等問題，命

題熱點有一元二次不等式的解法及

恒成立問題，主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)

運算和邏輯推理素養(yǎng).預(yù)計2025年高

考命題點變化不大，復(fù)習(xí)備考時要

重點掌握一元二次不等式的解法，

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并能充分

運用.課標(biāo)要求命題點五年考情命題分析預(yù)測2.經(jīng)歷從實際情境

中抽象出一元二次

不等式的過程，了

解一元二次不等式

的現(xiàn)實意義.能借

助一元二次函數(shù)求

解一元二次不等

式，并能用集合表

示一元二次不等式

的解集.“三個二

次”之間的

關(guān)系與一元

二次不等式

的解法本講很少單獨命題，常與其他知識

綜合命題，如作為工具求解集合、

函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線等問題，命

題熱點有一元二次不等式的解法及

恒成立問題，主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)

運算和邏輯推理素養(yǎng).預(yù)計2025年高

考命題點變化不大，復(fù)習(xí)備考時要

重點掌握一元二次不等式的解法，

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并能充分

運用.課標(biāo)要求命題點五年考情命題分析預(yù)測3.借助一元二次函

數(shù)的圖象，了解一

元二次不等式與相

應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)

系.一元二次不

等式的恒成

立問題2019天津

T8本講很少單獨命題，常與其他知識

綜合命題，如作為工具求解集合、

函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線等問題，命

題熱點有一元二次不等式的解法及

恒成立問題，主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)

運算和邏輯推理素養(yǎng).預(yù)計2025年高

考命題點變化不大，復(fù)習(xí)備考時要

重點掌握一元二次不等式的解法，

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并能充分

運用.

1.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)圖象

開口向上的拋物線

開口向下的拋物線定義域RR值域函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)單調(diào)性在①

?上單調(diào)遞減，在②

?上單調(diào)遞增在③

?上單調(diào)遞增，在④

?上單調(diào)遞減奇偶性當(dāng)b＝0時為偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時為非奇非偶函數(shù)頂點坐標(biāo)對稱軸直線x＝⑤

?

注意

對于函數(shù)

y

＝

ax

2＋

bx

＋

c

，要使它是二次函數(shù)，就必須滿足

a

≠0.當(dāng)題中條

件未說明

a

≠0時，要討論

a

＝0和

a

≠0兩種情況.2.二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞

0)的圖象

Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩個相異的實數(shù)

根x1，x2(x1＜x2)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝

⑥

?

?沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集⑦

?

?⑧

?ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集⑨

?

??⑩

?

{x｜x＜x1或x

＞x2}

R

{x｜x1＜x＜

x2}

?

對于

a

＜0的情況同理可得出相應(yīng)的結(jié)論.注意

(1)當(dāng)二次項系數(shù)含參時，需要對參數(shù)分類討論；(2)對于含參的一元二次不

等式，需要注意對應(yīng)的一元二次方程兩根的大小關(guān)系.

A.?B.(2，3)C.(－∞，2)∪(3，＋∞)D.(－∞，＋∞)

B123452.已知函數(shù)

f

(

x

)＝

ax

2＋

ax

＋5的圖象在

x

軸上方，則

a

的取值范圍是(

B

)A.(0，20)B.[0，20)C.[0，20]D.[20，＋∞)B123453.一元二次不等式2

x

2＋

mx

＋

n

＞0的解集是{

x

｜

x

＞3或

x

＜－2}，則

m

＋

n

的值是

(

D

)A.14B.0C.－10D.－14

D123454.[多選]下列說法不正確的是(

BCD

)A.若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為(x1，x2)，則必有a＞0B.若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為RC.不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a＜0且b2－4ac≤0BCD12345

[－1，0)∪(0，＋∞)12345

命題點1

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)角度1

二次函數(shù)的圖象及應(yīng)用例1

(1)[2024江蘇省蘇州市模擬]一次函數(shù)

y

＝

ax

－

b

(

a

≠0)與二次函數(shù)

y

＝

ax

2＋

bx

＋

c

(

a

≠0)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是(

B

)B例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4(2)已知二次函數(shù)

f

(

x

)的圖象經(jīng)過點(4，3)，且截

x

軸所得的線段長為2，若對任意

x

∈R，都有

f

(2－

x

)＝

f

(2＋

x

)，則

f

(

x

)＝

?.[解析]因為

f

(2－

x

)＝

f

(2＋

x

)對任意

x

∈R恒成立，所以

f

(

x

)圖象的對稱軸為直線

x

＝2.又

f

(

x

)的圖象截

x

軸所得的線段長為2，所以

f

(

x

)＝0的兩根為1和3.設(shè)

f

(

x

)的解

析式為

f

(

x

)＝

a

(

x

－1)(

x

－3)(

a

≠0)，因為

f

(

x

)的圖象過點(4，3)，所以3

a

＝3，即

a

＝1，所以

f

(

x

)＝(

x

－1)(

x

－3)＝

x

2－4

x

＋3.x

2－4

x

＋3

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4方法技巧識別二次函數(shù)圖象應(yīng)學(xué)會“三看”一看符號看二次項系數(shù)的符號，它的正負決定二次函數(shù)圖象的開口方向.若符

號不確定，要分類討論.二看對稱軸看對稱軸和最值，它們決定二次函數(shù)圖象的具體位置.三看特殊點看函數(shù)圖象上的一些特殊點，如函數(shù)圖象與y軸的交點、與x軸的交

點，函數(shù)圖象的最高點或最低點等.例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4角度2

二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用例2

(1)[2024江西景德鎮(zhèn)統(tǒng)考改編]若函數(shù)

f

(

x

)＝

x

2－3

x

－4在區(qū)間[

t

，

t

＋2]上的最

小值為6，則實數(shù)

t

＝

?.

－4或5

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4命題拓展[變條件]若函數(shù)

f

(

x

)＝

x

2－3

x

－4在區(qū)間[

t

，

t

＋2]上的最大值為6，則實數(shù)

t

＝

?

?.

(2)若函數(shù)

f

(

x

)＝

ax

2＋(

a

－3)

x

＋1的單調(diào)遞減區(qū)間是[－1，＋∞)，則

a

＝

?.

－2

或3

－3

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4命題拓展[變條件]若函數(shù)

f

(

x

)＝

ax

2＋(

a

－3)

x

＋1在區(qū)間[－1，＋∞)上單調(diào)遞減，則實數(shù)

a

的取值范圍是

?.

[－3，0]

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4方法技巧1.二次函數(shù)的單調(diào)性取決于圖象的開口方向及對稱軸.2.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題主要有三種類型：①軸定區(qū)間定；②軸動區(qū)間

定；③軸定區(qū)間動.當(dāng)含有參數(shù)時，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系進行分類討論.例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4訓(xùn)練1

(1)已知函數(shù)

f

(

x

)＝

x

2－2(

a

＋2)

x

＋

a

2，

g

(

x

)＝－

x

2＋2(

a

－2)

x

－

a

2＋8.設(shè)

H

1(

x

)＝max{

f

(

x

)，

g

(

x

)}，

H

2(

x

)＝min{

f

(

x

)，

g

(

x

)}(max{

p

，

q

}表示

p

，

q

中的

較大值，min{

p

，

q

}表示

p

，

q

中的較小值).記

H

1(

x

)的最小值為

A

，

H

2(

x

)的最大

值為

B

，則

A

－

B

＝(

C

)A.a2－2a－16B.a2＋2a－16C.－16D.16C例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4[解析]易知

f

(

x

)的圖象的頂點坐標(biāo)為(

a

＋2，－4

a

－4)，

g

(

x

)的圖象的頂點坐標(biāo)為(

a

－2，－4

a

＋12)，并且

f

(

x

)與

g

(

x

)的圖象的頂點都在對方的圖象上，

f

(

x

)與

g

(

x

)的大致圖象如圖所示，所以

A

－

B

＝－4

a

－4－(－4

a

＋12)＝－16，故選C.例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4(2)已知函數(shù)

f

(

x

)＝－

x

2＋2

ax

＋1－

a

在0≤

x

≤1時有最大值2，則實數(shù)

a

的值為

?

?.[解析]易知

y

＝－

x

2＋2

ax

＋1－

a

(

x

∈R)的圖象的對稱軸為直線

x

＝

a

.當(dāng)

a

＜0時，函數(shù)

f

(

x

)＝－

x

2＋2

ax

＋1－

a

(0≤

x

≤1)的大致圖象如圖1中實線部分所

示，當(dāng)

x

＝0時，

f

(

x

)有最大值且

f

(

x

)max＝

f

(0)＝1－

a

，∴1－

a

＝2，即

a

＝－1.－1

或2

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4當(dāng)0≤

a

≤1時，函數(shù)

f

(

x

)＝－

x

2＋2

ax

＋1－

a

(0≤

x

≤1)的大致圖象如圖2中實線部

分所示，當(dāng)

x

＝

a

時，

f

(

x

)有最大值且

f

(

x

)max＝

f

(

a

)＝－

a

2＋2

a

2＋1－

a

＝

a

2－

a

＋1，

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4當(dāng)

a

＞1時，函數(shù)

f

(

x

)＝－

x

2＋2

ax

＋1－

a

(0≤

x

≤1)的大致圖象如圖3中實線部分所

示，當(dāng)

x

＝1時，

f

(

x

)有最大值且

f

(

x

)max＝

f

(1)＝

a

＝2，∴

a

＝2.綜上可知，

a

的值為－1或2.例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4命題點2

“三個二次”之間的關(guān)系與一元二次不等式的解法角度1

“三個二次”之間的關(guān)系例3

[多選/2023山東棗莊調(diào)研]已知關(guān)于

x

的不等式(

x

＋2)(

x

－4)＋

a

＜0(

a

＜0)的解

集是(

x

1，

x

2)，則(

ABD

)A.x1＋x2＝2B.x1x2＜－8C.－2＜x1＜x2＜4D.x2－x1＞6ABD例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4[解析]

解法一

(

x

＋2)(

x

－4)＋

a

＜0即(

x

＋2)(

x

－4)＜－

a

，作出

f

(

x

)＝(

x

＋2)(

x

－4)及

y

＝－

a

(

a

＜0)的圖象，如圖.因為(

x

＋2)(

x

－4)＋

a

＜0的解集是(

x

1，

x

2)，所以

f

(

x

)＝(

x

＋2)·(

x

－4)的圖象與直線

y

＝－

a

的交點的橫坐標(biāo)分別為

x

1，

x

2，則由圖象易得

x

1＜－2＜4＜

x

2，

x

1＋

x

2＝－2＋4＝2，所以A正確，C錯誤.易知

x

2－

x

1＞4－(－2)＝6，所以D正確.因為－

x

1＞2，

x

2＞4，所以－

x

1

x

2＞8，所以

x

1

x

2＜－8，故B正確.故選ABD.例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4方法技巧1.一元二次方程的根就是相應(yīng)二次函數(shù)的零點，也是相應(yīng)一元二次不等式解集的端

點值.2.給出一元二次不等式的解集，相當(dāng)于知道了相應(yīng)二次函數(shù)圖象的開口方向及與

x

軸的交點，可以代入根或利用根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù).例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4角度2

一元二次不等式的解法例4

[2024河南省名校調(diào)研]不等式－

x

2－｜

x

｜＋6＞0的解集為(

B

)A.{x｜－2＜x＜3}B.{x｜－2＜x＜2}C.{x｜x＜－2或x＞3}D.{x｜x＜－3或x＞2}[解析]不等式可化為｜

x

｜2＋｜

x

｜－6＜0，即－3＜｜

x

｜＜2，解得－2＜

x

＜2.

故選B.B例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4例5

[2024湖北省孝感市部分學(xué)校模擬]設(shè)

a

∈R，解關(guān)于

x

的不等式：

ax

2－(

a

＋4)

x

＋4≤0.

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4方法技巧1.解不含參數(shù)的一元二次不等式例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練42.解含參數(shù)的一元二次不等式例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4

D例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4(2)[多選/2024甘肅省張掖市模擬]已知關(guān)于

x

的不等式

ax

2＋

bx

＋

c

≥0的解集為{

x

｜

x

≤3或

x

≥4}，則下列結(jié)論中正確的是(

AD

)A.a＞0B.ab＞0D.a＋b＋c＞0AD例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4命題點3

一元二次不等式的恒成立問題角度1

在R上恒成立例6

[2023甘肅省酒泉市玉門油田第一中學(xué)期中]已知不等式

x

2－2

x

＋

k

2－1＞0對一

切實數(shù)

x

恒成立，則實數(shù)

k

的取值范圍是(

C

)

C例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4角度2

在給定區(qū)間上恒成立例7

[2023石家莊質(zhì)檢]當(dāng)－2≤

x

≤2時，不等式

x

2－

mx

＋1＞0恒成立，則實數(shù)

m

的

取值范圍為(

A

)A.(－2，2)B.(－∞，－2)C.[－2，2]D.(2，＋∞)[解析]設(shè)

f

(

x

)＝

x

2－

mx

＋1，其中－2≤

x

≤2.

A例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4角度3

給定參數(shù)范圍的恒成立例8

[2023廣東省深圳市模擬]對任意的實數(shù)

m

∈[0，2]，不等式(

x

－2)(

x

－3＋

m

)＞

0恒成立，則

x

的取值范圍是(

A

)A.(－∞，1)∪(3，＋∞)B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，2)∪(3，＋∞)D.R

A例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4方法技巧1.一元二次不等式在R上恒成立，可以利用判別式判斷.2.一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，一般分離參數(shù)求最值或分類討論.3.一元二次不等式在給定參數(shù)范圍恒成立，可變換主元求解，一般情況下，求誰的

范圍，誰就是參數(shù).例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4

方法技巧求解不等式恒成立問題的常用方法不等式解集法不等式f(x)≥0在集合A中恒成立等價于集合A是不等式f(x)≥0的解集B的

子集，通過求不等式的解集，并研究集合間的關(guān)系可以求出參數(shù)的取

值范圍.例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4分離參數(shù)法若不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ為實參數(shù))恒成立，將f(x，λ)≥0轉(zhuǎn)化為λ≥g(x)或λ≤g(x)(x∈D)恒成立，進而轉(zhuǎn)化為λ≥g(x)max或λ≤g(x)min，求g(x)(x∈D)的最值即可.該方法適用于參數(shù)與變量能分離，函數(shù)最值易求的題目.主參換位法變換思維角度，即把主元與參數(shù)變換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原參數(shù)的取值范圍列式求解.一般地，條件給出誰的范圍，就看成是有關(guān)誰的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求解.數(shù)形結(jié)合法結(jié)合函數(shù)圖象將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的對稱軸、區(qū)間端點的函數(shù)值或函數(shù)圖象的位置關(guān)系(相對于x軸)求解.此外，若涉及的不等式能轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，可結(jié)合相應(yīng)一元二次方程根的分布解決問題.例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4訓(xùn)練3

(1)已知

a

∈[－1，1]時，不等式

x

2＋(

a

－4)

x

＋4－2

a

＞0恒成立，則

x

的取值

范圍為(

C

)A.(－∞，2)∪(3，＋∞)B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)C

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4(2)[2024江蘇省揚州市模擬]設(shè)函數(shù)

f

(

x

)＝

mx

2－

mx

－1，若對于任意的

x

∈{

x

｜1≤

x

≤2}，

f

(

x

)＜－

m

＋4恒成立，則(

C

)A.m≤0

C例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4(3)[2024湖南省長沙市模擬]已知關(guān)于

x

的不等式

kx

2－3

kx

＋

k

＋5＞0對任意

x

∈R恒

成立，則

k

的取值范圍為

?.[解析]當(dāng)

k

＝0時，不等式為5＞0，恒成立，符合題意；當(dāng)

k

＞0時，若不等式

kx

2

－3

kx

＋

k

＋5＞0對任意

x

∈R恒成立，則對應(yīng)方程的Δ＝9

k

2－4

k

(

k

＋5)＜0，解得0

＜

k

＜4；當(dāng)

k

＜0時，不等式

kx

2－3

kx

＋

k

＋5＞0不能對任意

x

∈R恒成立.綜上，

k

的取值范圍是[0，4).[0，4)例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4

二次函數(shù)的零點分布的類型及解題方法例9[多選/2024貴州黃平模擬]已知一元二次方程

x

2＋

mx

＋3＝0有兩個實數(shù)根

x

1，

x2，且0＜

x

1＜2＜

x

2＜4，則

m

的值可能為(

ABC

)A.－4B.－4.5C.－4.6D.－5ABC例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4例10

[2023河北省高碑店市崇德實驗中學(xué)模擬]

m

為何值時，關(guān)于

x

的方程8

x

2－(

m

－1)

x

＋

m

－7＝0的兩根：(1)都為正數(shù)根；

[解析]設(shè)函數(shù)

f

(

x

)＝8

x

2－(

m

－1)

x

＋

m

－7，方程的兩根為

x

1，

x

2.例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4(2)異號且負根絕對值大于正根；

(3)一根大于2，一根小于2；

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4(4)都在區(qū)間(0，2)上.

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4方法技巧設(shè)二次函數(shù)

f

(

x

)＝

ax

2＋

bx

＋

c

(

a

＞0)對應(yīng)方程

ax

2＋

bx

＋

c

＝0的根為

x

1，

x

2，則根的分布(m＜n＜p，且m，n，p為常數(shù))圖象滿足條件x1＜x2＜m

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4根的分布(m＜n＜p，且m，n，p為常數(shù))圖象滿足條件m＜x1＜x2

x1＜m＜x2

f(m)＜0.例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4根的分布(m＜n＜p，且m，n，p為常數(shù))圖象滿足條件m＜x1＜x2＜n

m＜x1＜n＜x2＜p

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4根的分布(m＜n＜p，且m，n，p為常數(shù))圖象滿足條件只有一根在(m，n)上

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4訓(xùn)練4

[多選/2024廣西貴港市名校入學(xué)檢測]已知關(guān)于

x

的方程

x

2＋(

m

－3)

x

＋

m

＝

0，則下列說法正確的是(

CD

)A.當(dāng)m＝3時，方程的兩個實數(shù)根之和為0B.方程無實數(shù)根的一個充分條件是m＞1C.方程有兩個正根的充要條件是0＜m≤1D.方程有一個正根和一個負根的充要條件是m＜0CD例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4

1.[命題點1/2024江蘇省南通市模擬]已知函數(shù)

f

(

x

)＝－

x

2＋4

x

，

x

∈[

m

，4]，若

f

(

x

)的值域是[0，4]，則實數(shù)

m

的取值范圍是(

C

)A.(－∞，2)B.(0，2]C.[0，2]D.[2，4][解析]畫出函數(shù)

f

(

x

)＝－

x

2＋4

x

的圖象，如圖所示，易知

f

(0)＝

f

(4)＝0，

f

(2)＝

4.因為

x

∈[

m

，4]時，

f

(

x

)的值域是[0，4]，所以由圖可知

m

∈[0，2].故選C.C1234562.[命題點1/2024江蘇省南通市質(zhì)量監(jiān)測]記函數(shù)

f

(

x

)＝｜

x

2－

ax

｜在區(qū)間[0，1]上

的最大值為

g

(

a

)，則

g

(

a

)的最小值為(

A

)D.1[解析]分析函數(shù)

f

(

x

)＝｜

x

2－

ax

｜在

x

∈[0，1]上的圖象及性質(zhì)，分類討論如下：①當(dāng)

a

≤0時，如圖1，易知函數(shù)

f

(

x

)在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，

g

(

a

)＝

f

(1)＝1－

a

，此時

g

(

a

)單調(diào)遞減，

g

(

a

)min＝

g

(0)＝1；A圖1 123456

圖2123456

圖3 圖41234563.[命題點2角度1/多選/2024寧夏育才中學(xué)模擬]已知關(guān)于

x

的不等式

ax

2＋

bx

＋

c

＞0

的解集為{

x

｜－3＜

x

＜2}，則(

ABD

)A.a＜0B.a＋b＋c＞0C.不等式bx＋c＞0的解集為{x｜x＞6}ABD123456

1234564.[命題點2角度2]解關(guān)于

x

的不等式(

a

＋1)

x

2－(2

a

＋3)

x

＋2＜0.[解析]

①當(dāng)

a

＋1＝0，即

a

＝－1時，原不等式變?yōu)椋?/p>

x

＋2＜0，即

x

＞2.

123456

1234565.[命題點3角度1/2024河南名校聯(lián)考]若對?

x

∈R，?

a

＞0，使得

x

2＋

ax

－

a

2≥

x

－

am

＋1成立，則實數(shù)

m

的取值范圍為

?.

[2，＋∞)123456

(1)當(dāng)

a

＝3時，求函數(shù)

f

(

x

)在區(qū)間[0，1]上的最小值和最大值；

123456(2)若對?

x

1∈(2，3)，?

x

2∈[1，2]，使不等式

f

(

x

1)＜

g

(

x

2)成立，求實數(shù)

a

的取值

范圍.

123456

123456

B1234567891011121314152.[2024江蘇無錫模擬]下列不等式中，解集為R的是(

A

)B.－x2＋4x－3＜0C.x2＋6x＞9

A1234567891011121314153.不等式

ax

2－(

a

＋2)

x

＋2≥0(

a

＜0)的解集為(

A

)

A123456789101112131415

A.{k｜－3＜k＜0}B.{k｜－3≤k＜0}C.{k｜－3≤k≤0}D.{k｜－3＜k≤0}

D1234567891011121314155.[2024山西太原模擬]不等式

ax

2－

bx

＋

c

＞0的解集為{

x

｜－2＜

x

＜1}，則函數(shù)

y

＝

ax

2－

bx

＋

c

的圖象可能為(

A

)ABCDA[解析]因為

ax

2－

bx

＋

c

＞0的解集為{

x

｜－2＜

x

＜1}，所以方程

ax

2－

bx

＋

c

＝0

的兩根分別為－2和1，且

a

＜0，則函數(shù)

y

＝

ax

2－

bx

＋

c

的圖象開口向下，且與

x

軸

的交點坐標(biāo)為(1，0)和(－2，0)，故A選項的圖象符合.故選A.1234567891011121314156.[2024陜西咸陽模擬]已知當(dāng)

x

＞0時，不等式

x

2－

mx

＋16＞0恒成立，則實數(shù)

m

的

取值范圍是(

A

)A.(－∞，8)B.(－∞，8]C.[8，＋∞)D.(6，＋∞)

A1234567891011121314157.[2024天津模擬]若不等式

ax

2－

bx

＋

c

＞0的解集為{

x

｜－2＜

x

＜3}，則不等式

bx

2＋

ax

＋

c

＜0的解集為(

C

)A.{x｜－3＜x＜2}B.{x｜x＜－2或x＞3}C.{x｜x＜－3或x＞2}D.{x｜－2＜x＜3}C123456789101112131415

1234567891011121314158.已知關(guān)于

x

的一元二次方程

x

2＋(

a

2＋1)

x

＋

a

－2＝0的一根比1大，另一根比1

小，則實數(shù)

a

的取值范圍是(

C

)A.(－3，1)B.(－2，0)C.(－1，0)D.(0，2)[解析]記

f

(

x

)＝

x

2＋(

a

2＋1)

x

＋

a

－2，則其圖象開口向上，要使原方程的根一個

大于1，一個小于1，則只需要

f

(1)＝1＋

a

2＋1＋

a

－2＜0，解得－1＜

a

＜0，故選C.C1234567891011121314159.[浙江高考]若函數(shù)

f

(

x

)＝

x

2＋

ax

＋

b

在區(qū)間[0，1]上的最大值是

M

，最小值是

m

，則

M

－

m

(

B

)A.與a有關(guān)，且與b有關(guān)B.與a有關(guān)，但與b無關(guān)C.與a無關(guān)，且與b無關(guān)D.與a無關(guān)，但與b有關(guān)[解析]

解法一由

f

(

x

)＝

x

2＋

ax

＋

b

的圖象可知，

a

決定對稱軸位置，

b

決定上下平移的距離，則易知

M

－

m

的值與上下平移距離無關(guān)，與左右平移