第一章 第5講 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

第一章集合、常用邏輯用語(yǔ)與不等式第5講二次函數(shù)與一元二次方程、不等式目

錄Contents01教材幫讀透教材融會(huì)貫通02高考幫研透高考明確方向03思維幫提升思維快速解題04練習(xí)幫練透好題精準(zhǔn)分層課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)1.會(huì)結(jié)合一元二次

函數(shù)的圖象，判斷

一元二次方程實(shí)根

的存在性及實(shí)根的

個(gè)數(shù)，了解函數(shù)的

零點(diǎn)與方程根的關(guān)

系.二次函數(shù)的

圖象與性質(zhì)2023新高

考卷ⅠT4；

2020新高

考卷ⅡT7本講很少單獨(dú)命題，常與其他知識(shí)

綜合命題，如作為工具求解集合、

函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線等問(wèn)題，命

題熱點(diǎn)有一元二次不等式的解法及

恒成立問(wèn)題，主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)

運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).預(yù)計(jì)2025年高

考命題點(diǎn)變化不大，復(fù)習(xí)備考時(shí)要

重點(diǎn)掌握一元二次不等式的解法，

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并能充分

運(yùn)用.課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)2.經(jīng)歷從實(shí)際情境

中抽象出一元二次

不等式的過(guò)程，了

解一元二次不等式

的現(xiàn)實(shí)意義.能借

助一元二次函數(shù)求

解一元二次不等

式，并能用集合表

示一元二次不等式

的解集.“三個(gè)二

次”之間的

關(guān)系與一元

二次不等式

的解法本講很少單獨(dú)命題，常與其他知識(shí)

綜合命題，如作為工具求解集合、

函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線等問(wèn)題，命

題熱點(diǎn)有一元二次不等式的解法及

恒成立問(wèn)題，主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)

運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).預(yù)計(jì)2025年高

考命題點(diǎn)變化不大，復(fù)習(xí)備考時(shí)要

重點(diǎn)掌握一元二次不等式的解法，

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并能充分

運(yùn)用.課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)3.借助一元二次函

數(shù)的圖象，了解一

元二次不等式與相

應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)

系.一元二次不

等式的恒成

立問(wèn)題2019天津

T8本講很少單獨(dú)命題，常與其他知識(shí)

綜合命題，如作為工具求解集合、

函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線等問(wèn)題，命

題熱點(diǎn)有一元二次不等式的解法及

恒成立問(wèn)題，主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)

運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).預(yù)計(jì)2025年高

考命題點(diǎn)變化不大，復(fù)習(xí)備考時(shí)要

重點(diǎn)掌握一元二次不等式的解法，

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并能充分

運(yùn)用.

1.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)圖象

開(kāi)口向上的拋物線

開(kāi)口向下的拋物線定義域RR值域函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)單調(diào)性在①

?上單調(diào)遞減，在②

?上單調(diào)遞增在③

?上單調(diào)遞增，在④

?上單調(diào)遞減奇偶性當(dāng)b＝0時(shí)為偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)為非奇非偶函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸直線x＝⑤

?

注意

對(duì)于函數(shù)

y

＝

ax

2＋

bx

＋

c

，要使它是二次函數(shù)，就必須滿足

a

≠0.當(dāng)題中條

件未說(shuō)明

a

≠0時(shí)，要討論

a

＝0和

a

≠0兩種情況.2.二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞

0)的圖象

Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)

根x1，x2(x1＜x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝

⑥

?

?沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集⑦

?

?⑧

?ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集⑨

?

??⑩

?

{x｜x＜x1或x

＞x2}

R

{x｜x1＜x＜

x2}

?

對(duì)于

a

＜0的情況同理可得出相應(yīng)的結(jié)論.注意

(1)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含參時(shí)，需要對(duì)參數(shù)分類討論；(2)對(duì)于含參的一元二次不

等式，需要注意對(duì)應(yīng)的一元二次方程兩根的大小關(guān)系.

A.?B.(2，3)C.(－∞，2)∪(3，＋∞)D.(－∞，＋∞)

B123452.已知函數(shù)

f

(

x

)＝

ax

2＋

ax

＋5的圖象在

x

軸上方，則

a

的取值范圍是(

B

)A.(0，20)B.[0，20)C.[0，20]D.[20，＋∞)B123453.一元二次不等式2

x

2＋

mx

＋

n

＞0的解集是{

x

｜

x

＞3或

x

＜－2}，則

m

＋

n

的值是

(

D

)A.14B.0C.－10D.－14

D123454.[多選]下列說(shuō)法不正確的是(

BCD

)A.若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為(x1，x2)，則必有a＞0B.若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為RC.不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a＜0且b2－4ac≤0BCD12345

[－1，0)∪(0，＋∞)12345

命題點(diǎn)1

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)角度1

二次函數(shù)的圖象及應(yīng)用例1

(1)[2024江蘇省蘇州市模擬]一次函數(shù)

y

＝

ax

－

b

(

a

≠0)與二次函數(shù)

y

＝

ax

2＋

bx

＋

c

(

a

≠0)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是(

B

)B例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4(2)已知二次函數(shù)

f

(

x

)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，3)，且截

x

軸所得的線段長(zhǎng)為2，若對(duì)任意

x

∈R，都有

f

(2－

x

)＝

f

(2＋

x

)，則

f

(

x

)＝

?.[解析]因?yàn)?/p>

f

(2－

x

)＝

f

(2＋

x

)對(duì)任意

x

∈R恒成立，所以

f

(

x

)圖象的對(duì)稱軸為直線

x

＝2.又

f

(

x

)的圖象截

x

軸所得的線段長(zhǎng)為2，所以

f

(

x

)＝0的兩根為1和3.設(shè)

f

(

x

)的解

析式為

f

(

x

)＝

a

(

x

－1)(

x

－3)(

a

≠0)，因?yàn)?/p>

f

(

x

)的圖象過(guò)點(diǎn)(4，3)，所以3

a

＝3，即

a

＝1，所以

f

(

x

)＝(

x

－1)(

x

－3)＝

x

2－4

x

＋3.x

2－4

x

＋3

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4方法技巧識(shí)別二次函數(shù)圖象應(yīng)學(xué)會(huì)“三看”一看符號(hào)看二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，它的正負(fù)決定二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向.若符

號(hào)不確定，要分類討論.二看對(duì)稱軸看對(duì)稱軸和最值，它們決定二次函數(shù)圖象的具體位置.三看特殊點(diǎn)看函數(shù)圖象上的一些特殊點(diǎn)，如函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)、與x軸的交

點(diǎn)，函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)等.例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4角度2

二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用例2

(1)[2024江西景德鎮(zhèn)統(tǒng)考改編]若函數(shù)

f

(

x

)＝

x

2－3

x

－4在區(qū)間[

t

，

t

＋2]上的最

小值為6，則實(shí)數(shù)

t

＝

?.

－4或5

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4命題拓展[變條件]若函數(shù)

f

(

x

)＝

x

2－3

x

－4在區(qū)間[

t

，

t

＋2]上的最大值為6，則實(shí)數(shù)

t

＝

?

?.

(2)若函數(shù)

f

(

x

)＝

ax

2＋(

a

－3)

x

＋1的單調(diào)遞減區(qū)間是[－1，＋∞)，則

a

＝

?.

－2

或3

－3

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4命題拓展[變條件]若函數(shù)

f

(

x

)＝

ax

2＋(

a

－3)

x

＋1在區(qū)間[－1，＋∞)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)

a

的取值范圍是

?.

[－3，0]

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4方法技巧1.二次函數(shù)的單調(diào)性取決于圖象的開(kāi)口方向及對(duì)稱軸.2.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題主要有三種類型：①軸定區(qū)間定；②軸動(dòng)區(qū)間

定；③軸定區(qū)間動(dòng).當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論.例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4訓(xùn)練1

(1)已知函數(shù)

f

(

x

)＝

x

2－2(

a

＋2)

x

＋

a

2，

g

(

x

)＝－

x

2＋2(

a

－2)

x

－

a

2＋8.設(shè)

H

1(

x

)＝max{

f

(

x

)，

g

(

x

)}，

H

2(

x

)＝min{

f

(

x

)，

g

(

x

)}(max{

p

，

q

}表示

p

，

q

中的

較大值，min{

p

，

q

}表示

p

，

q

中的較小值).記

H

1(

x

)的最小值為

A

，

H

2(

x

)的最大

值為

B

，則

A

－

B

＝(

C

)A.a2－2a－16B.a2＋2a－16C.－16D.16C例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4[解析]易知

f

(

x

)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(

a

＋2，－4

a

－4)，

g

(

x

)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(

a

－2，－4

a

＋12)，并且

f

(

x

)與

g

(

x

)的圖象的頂點(diǎn)都在對(duì)方的圖象上，

f

(

x

)與

g

(

x

)的大致圖象如圖所示，所以

A

－

B

＝－4

a

－4－(－4

a

＋12)＝－16，故選C.例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4(2)已知函數(shù)

f

(

x

)＝－

x

2＋2

ax

＋1－

a

在0≤

x

≤1時(shí)有最大值2，則實(shí)數(shù)

a

的值為

?

?.[解析]易知

y

＝－

x

2＋2

ax

＋1－

a

(

x

∈R)的圖象的對(duì)稱軸為直線

x

＝

a

.當(dāng)

a

＜0時(shí)，函數(shù)

f

(

x

)＝－

x

2＋2

ax

＋1－

a

(0≤

x

≤1)的大致圖象如圖1中實(shí)線部分所

示，當(dāng)

x

＝0時(shí)，

f

(

x

)有最大值且

f

(

x

)max＝

f

(0)＝1－

a

，∴1－

a

＝2，即

a

＝－1.－1

或2

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4當(dāng)0≤

a

≤1時(shí)，函數(shù)

f

(

x

)＝－

x

2＋2

ax

＋1－

a

(0≤

x

≤1)的大致圖象如圖2中實(shí)線部

分所示，當(dāng)

x

＝

a

時(shí)，

f

(

x

)有最大值且

f

(

x

)max＝

f

(

a

)＝－

a

2＋2

a

2＋1－

a

＝

a

2－

a

＋1，

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4當(dāng)

a

＞1時(shí)，函數(shù)

f

(

x

)＝－

x

2＋2

ax

＋1－

a

(0≤

x

≤1)的大致圖象如圖3中實(shí)線部分所

示，當(dāng)

x

＝1時(shí)，

f

(

x

)有最大值且

f

(

x

)max＝

f

(1)＝

a

＝2，∴

a

＝2.綜上可知，

a

的值為－1或2.例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4命題點(diǎn)2

“三個(gè)二次”之間的關(guān)系與一元二次不等式的解法角度1

“三個(gè)二次”之間的關(guān)系例3

[多選/2023山東棗莊調(diào)研]已知關(guān)于

x

的不等式(

x

＋2)(

x

－4)＋

a

＜0(

a

＜0)的解

集是(

x

1，

x

2)，則(

ABD

)A.x1＋x2＝2B.x1x2＜－8C.－2＜x1＜x2＜4D.x2－x1＞6ABD例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4[解析]

解法一

(

x

＋2)(

x

－4)＋

a

＜0即(

x

＋2)(

x

－4)＜－

a

，作出

f

(

x

)＝(

x

＋2)(

x

－4)及

y

＝－

a

(

a

＜0)的圖象，如圖.因?yàn)?

x

＋2)(

x

－4)＋

a

＜0的解集是(

x

1，

x

2)，所以

f

(

x

)＝(

x

＋2)·(

x

－4)的圖象與直線

y

＝－

a

的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為

x

1，

x

2，則由圖象易得

x

1＜－2＜4＜

x

2，

x

1＋

x

2＝－2＋4＝2，所以A正確，C錯(cuò)誤.易知

x

2－

x

1＞4－(－2)＝6，所以D正確.因?yàn)椋?/p>

x

1＞2，

x

2＞4，所以－

x

1

x

2＞8，所以

x

1

x

2＜－8，故B正確.故選ABD.例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4方法技巧1.一元二次方程的根就是相應(yīng)二次函數(shù)的零點(diǎn)，也是相應(yīng)一元二次不等式解集的端

點(diǎn)值.2.給出一元二次不等式的解集，相當(dāng)于知道了相應(yīng)二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向及與

x

軸的交點(diǎn)，可以代入根或利用根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù).例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4角度2

一元二次不等式的解法例4

[2024河南省名校調(diào)研]不等式－

x

2－｜

x

｜＋6＞0的解集為(

B

)A.{x｜－2＜x＜3}B.{x｜－2＜x＜2}C.{x｜x＜－2或x＞3}D.{x｜x＜－3或x＞2}[解析]不等式可化為｜

x

｜2＋｜

x

｜－6＜0，即－3＜｜

x

｜＜2，解得－2＜

x

＜2.

故選B.B例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4例5

[2024湖北省孝感市部分學(xué)校模擬]設(shè)

a

∈R，解關(guān)于

x

的不等式：

ax

2－(

a

＋4)

x

＋4≤0.

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4方法技巧1.解不含參數(shù)的一元二次不等式例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練42.解含參數(shù)的一元二次不等式例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4

D例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4(2)[多選/2024甘肅省張掖市模擬]已知關(guān)于

x

的不等式

ax

2＋

bx

＋

c

≥0的解集為{

x

｜

x

≤3或

x

≥4}，則下列結(jié)論中正確的是(

AD

)A.a＞0B.ab＞0D.a＋b＋c＞0AD例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4命題點(diǎn)3

一元二次不等式的恒成立問(wèn)題角度1

在R上恒成立例6

[2023甘肅省酒泉市玉門油田第一中學(xué)期中]已知不等式

x

2－2

x

＋

k

2－1＞0對(duì)一

切實(shí)數(shù)

x

恒成立，則實(shí)數(shù)

k

的取值范圍是(

C

)

C例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4角度2

在給定區(qū)間上恒成立例7

[2023石家莊質(zhì)檢]當(dāng)－2≤

x

≤2時(shí)，不等式

x

2－

mx

＋1＞0恒成立，則實(shí)數(shù)

m

的

取值范圍為(

A

)A.(－2，2)B.(－∞，－2)C.[－2，2]D.(2，＋∞)[解析]設(shè)

f

(

x

)＝

x

2－

mx

＋1，其中－2≤

x

≤2.

A例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4角度3

給定參數(shù)范圍的恒成立例8

[2023廣東省深圳市模擬]對(duì)任意的實(shí)數(shù)

m

∈[0，2]，不等式(

x

－2)(

x

－3＋

m

)＞

0恒成立，則

x

的取值范圍是(

A

)A.(－∞，1)∪(3，＋∞)B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，2)∪(3，＋∞)D.R

A例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4方法技巧1.一元二次不等式在R上恒成立，可以利用判別式判斷.2.一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，一般分離參數(shù)求最值或分類討論.3.一元二次不等式在給定參數(shù)范圍恒成立，可變換主元求解，一般情況下，求誰(shuí)的

范圍，誰(shuí)就是參數(shù).例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4

方法技巧求解不等式恒成立問(wèn)題的常用方法不等式解集法不等式f(x)≥0在集合A中恒成立等價(jià)于集合A是不等式f(x)≥0的解集B的

子集，通過(guò)求不等式的解集，并研究集合間的關(guān)系可以求出參數(shù)的取

值范圍.例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4分離參數(shù)法若不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ為實(shí)參數(shù))恒成立，將f(x，λ)≥0轉(zhuǎn)化為λ≥g(x)或λ≤g(x)(x∈D)恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為λ≥g(x)max或λ≤g(x)min，求g(x)(x∈D)的最值即可.該方法適用于參數(shù)與變量能分離，函數(shù)最值易求的題目.主參換位法變換思維角度，即把主元與參數(shù)變換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原參數(shù)的取值范圍列式求解.一般地，條件給出誰(shuí)的范圍，就看成是有關(guān)誰(shuí)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求解.數(shù)形結(jié)合法結(jié)合函數(shù)圖象將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的對(duì)稱軸、區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值或函數(shù)圖象的位置關(guān)系(相對(duì)于x軸)求解.此外，若涉及的不等式能轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，可結(jié)合相應(yīng)一元二次方程根的分布解決問(wèn)題.例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4訓(xùn)練3

(1)已知

a

∈[－1，1]時(shí)，不等式

x

2＋(

a

－4)

x

＋4－2

a

＞0恒成立，則

x

的取值

范圍為(

C

)A.(－∞，2)∪(3，＋∞)B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)C

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4(2)[2024江蘇省揚(yáng)州市模擬]設(shè)函數(shù)

f

(

x

)＝

mx

2－

mx

－1，若對(duì)于任意的

x

∈{

x

｜1≤

x

≤2}，

f

(

x

)＜－

m

＋4恒成立，則(

C

)A.m≤0

C例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4(3)[2024湖南省長(zhǎng)沙市模擬]已知關(guān)于

x

的不等式

kx

2－3

kx

＋

k

＋5＞0對(duì)任意

x

∈R恒

成立，則

k

的取值范圍為

?.[解析]當(dāng)

k

＝0時(shí)，不等式為5＞0，恒成立，符合題意；當(dāng)

k

＞0時(shí)，若不等式

kx

2

－3

kx

＋

k

＋5＞0對(duì)任意

x

∈R恒成立，則對(duì)應(yīng)方程的Δ＝9

k

2－4

k

(

k

＋5)＜0，解得0

＜

k

＜4；當(dāng)

k

＜0時(shí)，不等式

kx

2－3

kx

＋

k

＋5＞0不能對(duì)任意

x

∈R恒成立.綜上，

k

的取值范圍是[0，4).[0，4)例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4

二次函數(shù)的零點(diǎn)分布的類型及解題方法例9[多選/2024貴州黃平模擬]已知一元二次方程

x

2＋

mx

＋3＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

x

1，

x2，且0＜

x

1＜2＜

x

2＜4，則

m

的值可能為(

ABC

)A.－4B.－4.5C.－4.6D.－5ABC例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4例10

[2023河北省高碑店市崇德實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬]

m

為何值時(shí)，關(guān)于

x

的方程8

x

2－(

m

－1)

x

＋

m

－7＝0的兩根：(1)都為正數(shù)根；

[解析]設(shè)函數(shù)

f

(

x

)＝8

x

2－(

m

－1)

x

＋

m

－7，方程的兩根為

x

1，

x

2.例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4(2)異號(hào)且負(fù)根絕對(duì)值大于正根；

(3)一根大于2，一根小于2；

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4(4)都在區(qū)間(0，2)上.

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4方法技巧設(shè)二次函數(shù)

f

(

x

)＝

ax

2＋

bx

＋

c

(

a

＞0)對(duì)應(yīng)方程

ax

2＋

bx

＋

c

＝0的根為

x

1，

x

2，則根的分布(m＜n＜p，且m，n，p為常數(shù))圖象滿足條件x1＜x2＜m

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4根的分布(m＜n＜p，且m，n，p為常數(shù))圖象滿足條件m＜x1＜x2

x1＜m＜x2

f(m)＜0.例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4根的分布(m＜n＜p，且m，n，p為常數(shù))圖象滿足條件m＜x1＜x2＜n

m＜x1＜n＜x2＜p

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4根的分布(m＜n＜p，且m，n，p為常數(shù))圖象滿足條件只有一根在(m，n)上

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4訓(xùn)練4

[多選/2024廣西貴港市名校入學(xué)檢測(cè)]已知關(guān)于

x

的方程

x

2＋(

m

－3)

x

＋

m

＝

0，則下列說(shuō)法正確的是(

CD

)A.當(dāng)m＝3時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和為0B.方程無(wú)實(shí)數(shù)根的一個(gè)充分條件是m＞1C.方程有兩個(gè)正根的充要條件是0＜m≤1D.方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件是m＜0CD例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3例4例5訓(xùn)練2例6例7例8訓(xùn)練3例9例10訓(xùn)練4

1.[命題點(diǎn)1/2024江蘇省南通市模擬]已知函數(shù)

f

(

x

)＝－

x

2＋4

x

，

x

∈[

m

，4]，若

f

(

x

)的值域是[0，4]，則實(shí)數(shù)

m

的取值范圍是(

C

)A.(－∞，2)B.(0，2]C.[0，2]D.[2，4][解析]畫出函數(shù)

f

(

x

)＝－

x

2＋4

x

的圖象，如圖所示，易知

f

(0)＝

f

(4)＝0，

f

(2)＝

4.因?yàn)?/p>

x

∈[

m

，4]時(shí)，

f

(

x

)的值域是[0，4]，所以由圖可知

m

∈[0，2].故選C.C1234562.[命題點(diǎn)1/2024江蘇省南通市質(zhì)量監(jiān)測(cè)]記函數(shù)

f

(

x

)＝｜

x

2－

ax

｜在區(qū)間[0，1]上

的最大值為

g

(

a

)，則

g

(

a

)的最小值為(

A

)D.1[解析]分析函數(shù)

f

(

x

)＝｜

x

2－

ax

｜在

x

∈[0，1]上的圖象及性質(zhì)，分類討論如下：①當(dāng)

a

≤0時(shí)，如圖1，易知函數(shù)

f

(

x

)在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，

g

(

a

)＝

f

(1)＝1－

a

，此時(shí)

g

(

a

)單調(diào)遞減，

g

(

a

)min＝

g

(0)＝1；A圖1 123456

圖2123456

圖3 圖41234563.[命題點(diǎn)2角度1/多選/2024寧夏育才中學(xué)模擬]已知關(guān)于

x

的不等式

ax

2＋

bx

＋

c

＞0

的解集為{

x

｜－3＜

x

＜2}，則(

ABD

)A.a＜0B.a＋b＋c＞0C.不等式bx＋c＞0的解集為{x｜x＞6}ABD123456

1234564.[命題點(diǎn)2角度2]解關(guān)于

x

的不等式(

a

＋1)

x

2－(2

a

＋3)

x

＋2＜0.[解析]

①當(dāng)

a

＋1＝0，即

a

＝－1時(shí)，原不等式變?yōu)椋?/p>

x

＋2＜0，即

x

＞2.

123456

1234565.[命題點(diǎn)3角度1/2024河南名校聯(lián)考]若對(duì)?

x

∈R，?

a

＞0，使得

x

2＋

ax

－

a

2≥

x

－

am

＋1成立，則實(shí)數(shù)

m

的取值范圍為

?.

[2，＋∞)123456

(1)當(dāng)

a

＝3時(shí)，求函數(shù)

f

(

x

)在區(qū)間[0，1]上的最小值和最大值；

123456(2)若對(duì)?

x

1∈(2，3)，?

x

2∈[1，2]，使不等式

f

(

x

1)＜

g

(

x

2)成立，求實(shí)數(shù)

a

的取值

范圍.

123456

123456

B1234567891011121314152.[2024江蘇無(wú)錫模擬]下列不等式中，解集為R的是(

A

)B.－x2＋4x－3＜0C.x2＋6x＞9

A1234567891011121314153.不等式

ax

2－(

a

＋2)

x

＋2≥0(

a

＜0)的解集為(

A

)

A123456789101112131415

A.{k｜－3＜k＜0}B.{k｜－3≤k＜0}C.{k｜－3≤k≤0}D.{k｜－3＜k≤0}

D1234567891011121314155.[2024山西太原模擬]不等式

ax

2－

bx

＋

c

＞0的解集為{

x

｜－2＜

x

＜1}，則函數(shù)

y

＝

ax

2－

bx

＋

c

的圖象可能為(

A

)ABCDA[解析]因?yàn)?/p>

ax

2－

bx

＋

c

＞0的解集為{

x

｜－2＜

x

＜1}，所以方程

ax

2－

bx

＋

c

＝0

的兩根分別為－2和1，且

a

＜0，則函數(shù)

y

＝

ax

2－

bx

＋

c

的圖象開(kāi)口向下，且與

x

軸

的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)和(－2，0)，故A選項(xiàng)的圖象符合.故選A.1234567891011121314156.[2024陜西咸陽(yáng)模擬]已知當(dāng)

x

＞0時(shí)，不等式

x

2－

mx

＋16＞0恒成立，則實(shí)數(shù)

m

的

取值范圍是(

A

)A.(－∞，8)B.(－∞，8]C.[8，＋∞)D.(6，＋∞)

A1234567891011121314157.[2024天津模擬]若不等式

ax

2－

bx

＋

c

＞0的解集為{

x

｜－2＜

x

＜3}，則不等式

bx

2＋

ax

＋

c

＜0的解集為(

C

)A.{x｜－3＜x＜2}B.{x｜x＜－2或x＞3}C.{x｜x＜－3或x＞2}D.{x｜－2＜x＜3}C123456789101112131415

1234567891011121314158.已知關(guān)于

x

的一元二次方程

x

2＋(

a

2＋1)

x

＋

a

－2＝0的一根比1大，另一根比1

小，則實(shí)數(shù)

a

的取值范圍是(

C

)A.(－3，1)B.(－2，0)C.(－1，0)D.(0，2)[解析]記

f

(

x

)＝

x

2＋(

a

2＋1)

x

＋

a

－2，則其圖象開(kāi)口向上，要使原方程的根一個(gè)

大于1，一個(gè)小于1，則只需要

f

(1)＝1＋

a

2＋1＋

a

－2＜0，解得－1＜

a

＜0，故選C.C1234567891011121314159.[浙江高考]若函數(shù)

f

(

x

)＝

x

2＋

ax

＋

b

在區(qū)間[0，1]上的最大值是

M

，最小值是

m

，則

M

－

m

(

B

)A.與a有關(guān)，且與b有關(guān)B.與a有關(guān)，但與b無(wú)關(guān)C.與a無(wú)關(guān)，且與b無(wú)關(guān)D.與a無(wú)關(guān)，但與b有關(guān)[解析]

解法一由

f

(

x

)＝

x

2＋

ax

＋

b

的圖象可知，

a

決定對(duì)稱軸位置，

b

決定上下平移的距離，則易知

M

－

m

的值與上下平移距離無(wú)關(guān)，與左右平移