第一章 第4講 基本不等式

第一章集合、常用邏輯用語與不等式第4講基本不等式目

錄Contents01教材幫讀透教材融會貫通02高考幫研透高考明確方向03練習(xí)幫練透好題精準分層課標要求命題點五年考情命題分析預(yù)測利用基

本不等

式求最

值2021天津T13；

2020新高考卷

ⅠT11；2020天

津T14；2019天

津T13本講是高考的熱點，常作為工具與其他知識綜合考查，主要考查基本不等式及其應(yīng)用，如求最值、證明不等式、求參數(shù)的取值范圍等，解題時要注意應(yīng)用基本不等式的三個前提條件.題型以選擇題、填空題為主，難度不大.預(yù)計2025年高考命題點變化不大，但應(yīng)加強對應(yīng)用基本不等式解決實際問題的重視.基本不

等式的

綜合問

題2022新高考卷

ⅡT12；2021浙

江T8；2020新

高考卷ⅡT12

a

＞0，

b

＞0

a

＝

b

思維拓展

3.利用基本不等式求最值已知

x

＞0，

y

＞0.(1)如果積

xy

等于定值

P

，那么當

x

＝

y

時，和

x

＋

y

取得最小值⑤

(簡記：

積定和最小)；(2)如果和

x

＋

y

等于定值

S

，那么當

x

＝

y

時，積

xy

取得最大值⑥

(簡記：和

定積最大).注意

應(yīng)用基本不等式求最值應(yīng)滿足三個條件“一正”“二定”“三相等”.

1.下列說法正確的是(

C

)C12342.矩形兩邊長分別為

a

，

b

，且

a

＋2

b

＝6，則矩形面積的最大值是(

B

)A.4D.2

B12343.已知

a

，

b

為正數(shù)，則下列不等式中不成立的是(

D

)

D1234

6

1234

A.4B.6C.3D.10D例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3

2

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3角度2

常數(shù)代換法例2

(1)[2023江西省南昌一中模擬]已知正數(shù)

a

，

b

滿足8

a

＋4

b

＝

ab

，則8

a

＋

b

的最

小值為(

C

)A.54B.56C.72D.81

C例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3

8

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3

A.2C.4

C例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3(2)[江蘇高考]已知5

x

2

y

2＋

y

4＝1(

x

，

y

∈R)，則

x

2＋

y

2的最小值是

?.

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3方法技巧1.基本不等式使用的前提是“一正、二定、三相等”.2.配湊、常數(shù)代換、消元的目的都是為了湊出和為定值或者積為定值的形式.3.多次使用基本不等式時，尤其要注意等號能否同時成立.例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3

A.(－1，4)B.(－4，1)C.(－∞，－4)∪(1，＋∞)D.(－∞，－3)∪(0，＋∞)C例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3

1

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3

A.0B.1C.2D.3C例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3(2)[多選/2022新高考卷Ⅱ]若

x

，

y

滿足

x

2＋

y

2－

xy

＝1，則(

BC

)A.x＋y≤1B.x＋y≥－2C.x2＋y2≤2D.x2＋y2≥1[解析]

解法一由題意得，

x

2＋

y

2＝

xy

＋1，所以(

x

＋

y

)2＝3

xy

＋1，當

x

＞0且

y

＞0時，顯然有(

x

＋

y

)2＞1，即

x

＋

y

＞1，故A錯誤.因為

x

2＋

y

2≥2

xy

，所以

xy

＋

1≥2

xy

，所以

xy

≤1，所以

x

2＋

y

2≤2，當且僅當

x

＝

y

時等號成立，故C正確.因為

(

x

＋

y

)2＝

x

2＋

y

2＋2

xy

＝3

xy

＋1≤4，所以｜

x

＋

y

｜≤2，所以－2≤

x

＋

y

≤2，

故B正確.因為

x

2＋

y

2＝

xy

＋1，所以當

xy

＜0時，

x

2＋

y

2＜1，故D錯誤.故選BC.BC例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3例5

[江蘇高考]某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買

x

噸，運費為6萬元/次，一

年的總存儲費用為4

x

萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則

x

的值

是

?.

30

角度2

利用基本不等式解決實際問題例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3

(1)寫出年利潤

W

(

x

)(單位：萬元)關(guān)于年產(chǎn)量

x

(單位：臺)的函數(shù)解析式(利潤＝銷售

收入－成本).例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3

(2)當該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3方法技巧利用基本不等式求解實際問題時，要根據(jù)實際問題設(shè)出變量，注意變量應(yīng)滿足

實際意義，抽象出目標函數(shù)的表達式，建立數(shù)學(xué)模型，再利用基本不等式求得

函數(shù)的最值.例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3

A.6B.7C.8D.9D例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3(2)[2023湖南省部分學(xué)校聯(lián)考]某社區(qū)計劃在一塊空地上種植花卉，已知這塊空地是

面積為1800平方米的矩形

ABCD

，為了方便居民觀賞，在這塊空地中間修了如圖所

示的三條寬度為2米的人行通道，則種植花卉區(qū)域的最大面積是(

C

)A.1208平方米B.1448平方米C.1568平方米D.1698平方米C例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3

思維幫·提升思維

快速解題

20

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3角度2

判斷關(guān)于不等式的命題的真假例8

[2024四川成都聯(lián)考]已知正實數(shù)

m

，

n

滿足

m

＋

n

＝1，則下列不等式中錯誤的

是(

D

)B.2m2＋2n2≥1C.m(n＋1)＜1D例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3方法技巧1.柯西不等式：(

a

2＋

b

2)(

c

2＋

d

2)≥(

ac

＋

bd

)2，當且僅當

ad

＝

bc

時，等號成立.2.無論是均值不等式還是柯西不等式，在使用的時候都要注意“配湊”技巧，還要

注意驗證等號成立的條件.例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3(2)[多選/2024云南省大理模擬]若12

a

＝3，12

b

＝4，則下列結(jié)論正確的是(

ACD

)ACD例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3[解析]由12

a

＝3，12

b

＝4得

a

＝log123，

b

＝log124，

a

＋

b

＝log123＋log124＝

log1212＝1，且

a

＝log123＞log121＝0，

b

＝log124＞log121＝0.

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5例6訓(xùn)練2例7例8訓(xùn)練3

A12345

4

12345

2

123454.[命題點2角度1]已知0＜

a

＜1，

b

＞1，則下列不等式成立的是(

D

)

D12345

12345

(1)用

x

表示

F

.

(2)該合作社修建多大面積的太陽能面板，可使

F

最?。坎⑶蟪鲎钚≈?

12345

(3)要使

F

不超過140萬元，求

x

的取值范圍.12345

1.[2024河北保定模擬]設(shè)

x

，

y

均為正數(shù)，且

x

＋

y

＝4，則

xy

的最大值為(

C

)A.1B.2C.4D.16

C123456789101112131415

A.1C.2D.3

D123456789101112131415

D.4

B123456789101112131415

A.4B.6C.8D.16

C1234567891011121314155.[多選]小王從甲地到乙地往返的速度分別為

a

和

b

(

a

＜

b

)，其全程的平均速度為

v

，則下列選項中正確的是(

AD

)

AD1234567891011121314156.[多選/2023重慶市三檢]已知

x

＞0，

y

＞0，且

x

＋

y

＋

xy

－3＝0，則下列結(jié)論正確

的是(

BC

)A.xy的取值范圍是(0，9]B.x＋y的取值范圍是[2，3)D.x＋4y的最小值是3BC123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

2

1234567891011121314158.[2023濟南市模擬]已知正數(shù)

x

，

y

滿足4

x

＋2

y

＝

xy

，則

x

＋2

y

的最小值為

?.

18

123456789101112131415

10

12345678910111213141510.[2024山東煙臺模擬]如圖，在半徑為4(單位：cm)的半圓形(

O

為圓心)鐵皮上截取

一塊矩形材料

ABCD

，其頂點

A

，

B

在直徑上，頂點

C

，

D

在圓周上，則矩形

ABCD

面積的最大值為

(單位：cm2).16

所以矩形

ABCD

面積的最大值為16cm212