第十章 突破1 概率、統(tǒng)計中的開放性與決策問題

第十章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布突破1概率、統(tǒng)計中的開放性與決策問題

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2附：若隨機變量

X

～

N

(μ，σ2)，則

P

(μ－σ≤

X

≤μ＋σ)≈0.6827，

P

(μ－2σ≤

X

≤μ

＋2σ)≈0.9545，

P

(μ－3σ≤

X

≤μ＋3σ)≈0.9973.(2)已知該闖關(guān)活動參賽者的累計得分服從正態(tài)分布，且滿分為450分，現(xiàn)要根據(jù)得分給2500名參賽者中得分前400名發(fā)放獎勵.①假設(shè)該闖關(guān)活動平均分?jǐn)?shù)為171分，351分以上共有57人，已知甲的得分為270

分，問甲能否獲得獎勵.并說明理由.②丙得知他的分?jǐn)?shù)為430分，乙告訴丙：“這次闖關(guān)活動平均分?jǐn)?shù)為201分，351分

以上共有57人”，請結(jié)合統(tǒng)計學(xué)知識幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)?例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2

[解析]

(2)設(shè)此次闖關(guān)活動參賽者的累計得分為

X

，

X

～

N

(μ，σ2).例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練1[2023湖南長沙雅禮中學(xué)模擬]某學(xué)校為了減輕同學(xué)們的學(xué)習(xí)壓力，班上決定進

行一次減壓游戲.班主任把8個小球(只是顏色不同，其他無任何區(qū)別)放入一個袋子

里，其中白色球與黃色球各3個，紅色球與綠色球各1個.現(xiàn)甲、乙兩位同學(xué)進行摸球

得分比賽，摸到白色球每個記1分，黃色球每個記2分，紅色球每個記3分，綠色球

每個記4分，摸球人得分不低于8分為勝，否則為負(fù).并規(guī)定如下：①一人摸球，另一人不摸球.②摸出的球不放回.③摸球的人先從袋子中摸出1個球，若摸出的是綠色球，則再從袋子里摸出2個球；

若摸出的不是綠色球，則再從袋子里摸出3個球，摸球人的得分為兩次摸出的球的

記分之和.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2(1)若由甲摸球，甲先摸出了綠色球，求該局甲獲勝的概率；

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2(2)若由乙摸球，乙先摸出了紅色球，求該局乙得分ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望

E

(ξ)；

ξ67891011P

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2(3)有同學(xué)提出比賽不公平，提出你的看法，并說明理由.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2命題點2

統(tǒng)計中的開放性與決策問題例2[全國卷Ⅱ]下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額

y

(單位：億元)的

折線圖.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2(2)你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2(ii)從計算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的

預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理，說

明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.說明：以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練2某醫(yī)生計劃購買某種品牌的電動牙刷，預(yù)計使用壽命為5年，該電動牙刷的刷

頭在使用過程中需要更換.若購買該品牌電動牙刷的同時購買刷頭，則每個刷頭20

元；若單獨購買刷頭，則每個刷頭30元.某經(jīng)銷商隨機調(diào)查了使用該品牌電動牙刷的

100名醫(yī)生在5年使用期內(nèi)更換刷頭的個數(shù)，得到下表：更換刷頭的個數(shù)14151617181920頻數(shù)881024281210用

n

(

n

∈N)表示1個該品牌電動牙刷在5年使用期內(nèi)需更換刷頭的個數(shù)，

y

表示購買

刷頭的費用(單位：元).例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2(1)求這100名醫(yī)生在5年使用期內(nèi)更換刷頭的個數(shù)的中位數(shù)；

(2)若購買1個該品牌電動牙刷的同時購買了18個刷頭，求

y

關(guān)于

n

的函數(shù)解析式；

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2

(3)假設(shè)這100名醫(yī)生購買1個該品牌電動牙刷的同時都購買了17個刷頭或18個刷頭，

分別計算這100名醫(yī)生購買刷頭費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，判斷購買1個該

品牌電動牙刷的同時應(yīng)購買17個刷頭還是18個刷頭.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2

若這100名醫(yī)生購買1個該品牌電動牙刷的同時都購買了18個刷頭，則其中有78名醫(yī)生購買刷頭的費用均為360元，12名醫(yī)生購買刷頭的費用均為390元，例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2

[命題點1/2023安徽十校聯(lián)考]國慶節(jié)期間，某大型服裝店舉辦了一次“你消費我促

銷”活動，顧客消費滿300元(含300元)可抽獎一次，抽獎方案有兩種(顧客只能選擇

其中的一種).方案一：從裝有5個形狀、大小完全相同的小球(其中紅球1個，黑球4個)的抽獎盒

中，有放回地摸出3個球，每摸出1次紅球，立減100元.方案二：從裝有10個形狀、大小完全相同的小球(其中紅球2個，白球1個，黑球7個)

的抽獎盒中，不放回地摸出3個球，中獎規(guī)則為若摸出2個紅球，1個白球，則享受

免單優(yōu)惠，若摸出2個紅球，1個黑球，則打5折，若摸出1個紅球，1個白球和1個黑

球，則打7.5折，其余情況不打折.(1)某顧客恰好消費300元，選擇抽獎方案一，求他實付金額的分布列和數(shù)學(xué)期望；

X0100200300P

(2)若顧客消費500元，試從實付金額的期望值分析顧客選擇哪種抽獎方案更合理？η0250375500P

故η的分布列為

學(xué)生用書·作業(yè)幫P3961.[2024河南名校模擬]在實施鄉(xiāng)村振興的進程中，某地政府引領(lǐng)廣大農(nóng)戶發(fā)展特色

農(nóng)業(yè)，種植優(yōu)良品種柑橘.現(xiàn)在實驗基地中種植了相同數(shù)量的

A

，

B

兩種柑橘.為了比

較

A

，

B

兩種柑橘品種的優(yōu)劣，在柑橘成熟后隨機選取

A

，

B

兩種柑橘各100株，并

根據(jù)株產(chǎn)量

X

(單位：kg)繪制了如圖所示的頻率分布直方圖(數(shù)據(jù)分組為[65，70)，

[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)，[90，95]).1234[解析]

(1)由題中

A

品種柑橘的頻率分布直方圖可知，(0.01×2＋0.03＋

a

＋0.06＋0.05)×5＝1，解得

a

＝0.04.由題中

B

品種柑橘的頻率分布直方圖可知，(0.05＋0.06＋

b

＋0.03＋0.01×2)×5＝1，解得

b

＝0.04.(1)求

a

，

b

的值；(2)將頻率當(dāng)作概率，在所有柑橘中隨機抽取一株，求其株產(chǎn)量不低于80kg的概率；

1234[解析]

(3)設(shè)

A

品種柑橘株產(chǎn)量平均數(shù)的估計值為

MA

，則

MA

＝(0.01×67.5＋0.01×72.5＋0.03×77.5＋0.04×82.5＋0.06×87.5＋0.05×92.5)×5＝84.5.設(shè)

B

品種柑橘株產(chǎn)量平均數(shù)的估計值為

MB

，則

MB

＝(0.05×67.5＋0.06×72.5＋0.04×77.5＋0.03×82.5＋0.01×87.5＋0.01×92.5)×5＝75.5.

A

品種的柑橘更好.理由一

A

品種柑橘的株產(chǎn)量平均數(shù)的估計值大于

B

品種柑橘的株產(chǎn)量平均數(shù)的估計值，故

A

品種的柑橘更好.理由二由(2)可知，

A

品種柑橘株產(chǎn)量不低于80kg的占比為75％，

B

品種柑橘株產(chǎn)

量不低于80kg的占比為25％，故

A

品種的柑橘更好.(注：答案不唯一，有道理的答案均給分)(3)求兩種柑橘株產(chǎn)量平均數(shù)的估計值(同一組數(shù)據(jù)中的平均數(shù)用該組區(qū)間的中點值

作為代表)，并從產(chǎn)量角度分析，哪個品種的柑橘更好？說明理由.12342.[2023廣東一模]某商場為了回饋廣大顧客，設(shè)計了一個抽獎活動，在抽獎箱中放

10個大小相同的小球，其中5個為紅色，5個為白色.抽獎方式為：每名顧客進行兩次

抽獎，每次抽獎從抽獎箱中一次性摸出兩個小球.如果每次抽獎摸出的兩個小球顏色

相同為中獎，兩個小球顏色不同為不中獎.(1)若規(guī)定第一次抽獎后將球放回抽獎箱，再進行第二次抽獎，求中獎次數(shù)

X

的分布

列和數(shù)學(xué)期望.

1234

X012P

1234

Y012P

(2)若規(guī)定第一次抽獎后不將球放回抽獎箱，直接進行第二次抽獎，求中獎次數(shù)

Y

的

分布列和數(shù)學(xué)期望.1234

回答一：若商場老板希望中兩次獎的顧客多，產(chǎn)生宣傳效應(yīng)，則選擇按第(2)問方式

進行抽獎.回答二：若商場老板希望中獎的顧客多，則選擇按第(1)問方式進行抽獎.(注：答案不唯一，選擇符合商場老板的預(yù)期即可)(3)如果你是商場老板，如何在上述兩問的兩種抽獎方式中進行選擇？請寫出你的選

擇及簡要理由.1234

[解析]

(1)若甲指定第一局由乙丙比賽，“只進行三局甲就成為冠軍”共有兩

種情況：

1234

(2)請幫助甲進行第一局的決策(甲乙、甲丙或乙丙比賽)，使得甲最終獲得冠軍的概

率最大.1234

12344.[2024山東棗莊模擬]某企業(yè)擁有甲、乙兩條零件生產(chǎn)線，為了解零件質(zhì)量情況，

采用隨機抽樣的方法從兩條生產(chǎn)線上共抽取180個零件，測量其尺寸(單位：mm)，

得到如下統(tǒng)計表，其中尺寸位于[55，58)內(nèi)的零件為一等品，位于[54，55)內(nèi)和

[58，59)內(nèi)的零件為二等品，否則為三等品.生產(chǎn)線[53，54)[54，55)[55，56)[56，57)[57，58)[58，59)[59，60]甲49232824102乙2141517161511234(1)完成下列2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，能否認(rèn)為零件為一等

品與生產(chǎn)線有關(guān)聯(lián)？單位：個一等品非一等品合計甲乙合計1234