第七章 第6講 空間角和空間距離

第七章立體幾何與空間向量第6講空間角和空間距離

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)1.能用向量語(yǔ)

言表述直線

與直線、直

線與平面、

平面與平面

的夾角.求異面直線

所成的角2021全國(guó)卷乙T5該講每年必

考，主要考查

利用幾何法或

向量法求解線

線角、求線面角2023全國(guó)卷乙T9；2023全國(guó)卷甲

T18；2022全國(guó)卷乙T18；2022全國(guó)

卷甲T7；2022全國(guó)卷甲T18；2020新

高考卷ⅠT20；2020新高考卷ⅡT20；

2020全國(guó)卷ⅡT20課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)2.能用向量

方法解決

點(diǎn)到直

線、點(diǎn)到

平面、相

互平行的

直線、求二面

角2023新高考卷ⅠT18；2023新高考卷ⅡT20；

2023全國(guó)卷乙T19；2023天津T17；2022新高

考卷ⅠT19；2022新高考卷ⅡT20；2021新高考

卷ⅠT20；2021新高考卷ⅡT19；2021全國(guó)卷乙

T18；2021全國(guó)卷甲T19；2020全國(guó)卷ⅠT18；

2020全國(guó)卷ⅢT19；2019全國(guó)卷ⅠT18；2019

全國(guó)卷ⅡT17；2019全國(guó)卷ⅢT19線面角、面面

角、空間距離

等問(wèn)題，課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)相互平行的平面的距離

問(wèn)題和簡(jiǎn)單夾角問(wèn)題，

并能描述解決這一類(lèi)問(wèn)

題的程序，體會(huì)向量方

法在研究幾何問(wèn)題中的

作用.求空間距離2023天津T17；2023上

海春季T17；2022新高

考卷ⅠT19方法比較固定，備

考時(shí)注意對(duì)空間角

與向量夾角關(guān)系的

梳理.

1.空間角(1)異面直線所成的角：已知兩條異面直線

a

，

b

，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)

O

分別作直線

a'∥

a

，b'∥

b

，我們把a(bǔ)'與b'所成的角叫做異面直線

a

與

b

所成的角(或夾角).異面直線夾角的范圍是①

?.

(2)直線與平面所成的角a.平面的一條斜線和它在平面上的②

?所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面

所成的角.一條直線垂直于平面，則它們所成的角是③

?；一條直線和平面平

行或直線在平面內(nèi)，則它們所成的角是④

?.b.線面角θ的取值范圍：⑤

?.c.最小角定理：平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)

任一條直線所成角中最小的角.射影

90°

0°

(3)二面角與兩個(gè)平面的夾角a.從一條直線出發(fā)的兩個(gè)⑥

所組成的圖形叫做二面角.b.二面角的平面角：如圖，在二面角α－

l

－β的棱

l

上任取一點(diǎn)

P

，以點(diǎn)

P

為垂足，

在半平面α，β內(nèi)分別作垂直于棱

l

的射線

PA

和

PB

，則射線

PA

和

PB

構(gòu)成的∠

APB

叫做二面角α－

l

－β的平面角.c.二面角的范圍：⑦

?.半平面

[0，π]

2.利用向量法求空間角空間角求法注意事項(xiàng)異面直

線所成

角設(shè)異面直線l，m的方向向量分別為a，b，

若直線l與m的夾角為θ，則cosθ＝⑧

?

?.角θ的范圍為⑨

?，所以線線角的余弦

值非負(fù).線面角設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為

n，若直線l與平面α所成的角為θ，則sinθ

＝⑩

?.角θ的范圍為?

，注意θ與＜a，n＞的

關(guān)系.｜

cos＜a，b＞｜

｜c(diǎn)os＜a，n＞｜

空間角求法注意事項(xiàng)兩個(gè)平

面的夾

角平面α，β的法向量分別為n1，n2，若設(shè)平面

α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝｜c(diǎn)os＜

n1，n2＞｜.兩個(gè)平面夾角的范圍為

?

?，二面角的

范圍是?

?.

[0，π]

易錯(cuò)警示1.線面角θ與向量夾角＜

a

，

n

＞的關(guān)系

圖12.二面角θ與兩平面法向量夾角＜

n

1，

n

2＞的關(guān)系圖2(2)(4)中θ＝π－＜

n

1，

n

2＞；圖2(1)(3)中θ＝＜

n

1，

n

2＞.圖2

(5)如圖，異面直線

a

，

b

之間的距離即直線

a

上一點(diǎn)

P

到a'與

b

所確定的平面α的距

離(a'∥

a

，a'∩

b

＝

O

).

1.[教材改編]如圖，正四棱柱

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為4的正方

形，則在正四棱柱

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，異面直線

AK

和

LM

所成的角的大小為

(

D

)A.30°B.45°C.60°D.90°D1234

12342.[教材改編]在長(zhǎng)方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝3，

AD

＝4，

AA

1＝4，過(guò)點(diǎn)

D

1作直線

l

，與直線

A

1

B

，

AC

所成的角均為60°，則這樣的直線

l

有(

C

)A.2條B.3條C.4條D.無(wú)數(shù)條C1234

1234

30°

12344.已知空間直角坐標(biāo)系

Oxyz

中，過(guò)點(diǎn)

P

(

x

0，

y

0，

z

0)且一個(gè)法向量為

n

＝(

a

，

b

，

c

)的平面α的方程為

a

(

x

－

x

0)＋

b

(

y

－

y

0)＋

c

(

z

－

z

0)＝0.用以上知識(shí)解決下面問(wèn)

題：已知平面α的方程為

x

＋2

y

－2

z

＋1＝0，直線

l

是兩個(gè)平面

x

－

y

＋3＝0與

x

－2

z

－1＝0的交線，試寫(xiě)出直線

l

的一個(gè)方向向量

，直線

l

與平面α所成角

的余弦值為

?.(2，2，1)

1234

1234

命題點(diǎn)1

求異面直線所成的角例1

[2021全國(guó)卷乙]在正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

P

為

B

1

D

1的中點(diǎn)，則直線

PB

與

AD

1所成的角為(

D

)D例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5

例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5

例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5

例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5方法技巧求異面直線所成角的方法幾何法將兩直線平移到同一平面內(nèi)，構(gòu)造三角形，利用勾股定理或解三角形求兩

異面直線的夾角或其余弦值.向量法例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5

C例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5

例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5

例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5

例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5

(1)證明：

BD

⊥

PA

.

例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5[解析]

如圖所示，取

AB

的中點(diǎn)

O

，連接

DO

，

CO

，則

OB

＝

DC

＝1.又

DC

∥

OB

，所以四邊形

DCBO

為平行四邊形.又

BC

＝

OB

＝1，所以四邊形

DCBO

為菱形，所以

BD

⊥

CO

.

同理可得，四邊形

DCOA

為菱形，所以

AD

∥

CO

，所以

BD

⊥

AD

.

因?yàn)?/p>

PD

⊥底面

ABCD

，

BD

?底面

ABCD

，所以

PD

⊥

BD

，又

AD

∩

PD

＝

D

，

AD

，

PD

?平面

ADP

，所以

BD

⊥平面

ADP

.

因?yàn)?/p>

PA

?平面

ADP

，所以

BD

⊥

PA

.

例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5

(2)求

PD

與平面

PAB

所成的角的正弦值.例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5

例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5

例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5方法技巧求直線與平面所成角的方法幾何法利用直線與平面所成角的定義求解，具體步驟：(1)尋找過(guò)斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角即為所

求的角；(3)通過(guò)解該角所在的三角形求解.注意

直線與平面平行或垂直的特殊情況.向量法例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5訓(xùn)練2

[2023全國(guó)卷乙]已知△

ABC

為等腰直角三角形，

AB

為斜邊，△

ABD

為等邊三

角形，若二面角

C

－

AB

－

D

為150°，則直線

CD

與平面

ABC

所成角的正切值為(

C

)[解析]如圖所示，取

AB

的中點(diǎn)

M

，連接

CM

，

DM

，則

CM

⊥

AB

，

DM

⊥

AB

，

故∠

CMD

即為二面角

C

－

AB

－

D

的平面角，于是∠

CMD

＝150°.又

CM

，

DM

?平面

CMD

，

CM

∩

DM

＝

M

，所以

AB

⊥平面

CMD

.

C例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5

例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5訓(xùn)練3

[新高考卷Ⅰ]如圖，四棱錐

P

－

ABCD

的底面為正方形，

PD

⊥底面

ABCD

.

設(shè)

平面

PAD

與平面

PBC

的交線為

l

.(1)證明：

l

⊥平面

PDC

.

例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5[解析]因?yàn)?/p>

PD

⊥底面

ABCD

，所以

PD

⊥

AD

.

又底面

ABCD

為正方形，所以

AD

⊥

DC

.

又

PD

∩

DC

＝

D

，

PD

，

DC

?平面

PDC

，因此

AD

⊥平面

PDC

.

因?yàn)?/p>

AD

∥

BC

，

AD

?平面

PBC

，

BC

?平面

PBC

，所以

AD

∥平面

PBC

.

又

AD

?平面

PAD

，平面

PBC

∩平面

PAD

＝

l

，所以

l

∥

AD

.

因此

l

⊥平面

PDC

.

例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5

(2)已知

PD

＝

AD

＝1，

Q

為

l

上的點(diǎn)，求

PB

與平面

QCD

所成角的正弦值的最大值.例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5

可取

n

＝(－1，0，

a

).

例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5

(1)證明：

EF

∥平面

ADO

.

例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5

又

E

，

D

分別為

AP

，

BP

的中點(diǎn)，所以

EF

∥

PC

，

OD

∥

PC

，所以

EF

∥

OD

，又

OD

?平面

ADO

，

EF

?平面

ADO

，所以

EF

∥平面

ADO

.

例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5

(2)證明：平面

ADO

⊥平面

BEF

.

例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5

(3)求二面角

D

－

AO

－

C

的正弦值.例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5

設(shè)平面

DAO

的法向量為

n

1＝(

a

，

b

，

c

)，例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5

易知平面

CAO

的一個(gè)法向量為

n

2＝(0，0，1)，

例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5解法二如圖，過(guò)點(diǎn)

O

作

OH

∥

BF

交

AC

于點(diǎn)

H

，設(shè)

AD

∩

BE

＝

G

，連接

GF

，

DH

.

由(2)知

DO

⊥

AO

，又

DO

∩

HO

＝

O

，

DO

?平面

DOH

，

HO

?平面

DOH

，所以

AO

⊥平面

DOH

，故∠

DOH

為二面角

D

－

AO

－

C

的平面角.∵

D

，

E

分別為

PB

，

PA

的中點(diǎn)，∴

AD

，

BE

的交點(diǎn)

G

為△

PAB

的重心，

例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5

例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5方法技巧求二面角常用的方法幾何法根據(jù)定義作出二面角的平面角求解.向量

法例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5訓(xùn)練4

[2023新高考卷Ⅰ]如圖，在正四棱柱

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝2，

AA

1＝

4.點(diǎn)

A

2，

B

2，

C

2，

D

2分別在棱

AA

1，

BB

1，

CC

1，

DD

1上，

AA

2＝1，

BB

2＝

DD

2

＝2，

CC

2＝3.(1)證明：

B

2

C

2∥

A

2

D

2.例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5

解法二以點(diǎn)

C

為坐標(biāo)原點(diǎn)，

CD

，

CB

，

CC

1所在直線分別為

x

軸、

y

軸、

z

軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

B

2(0，2，2)，

C

2(0，0，3)，

A

2(2，2，1)，

D

2(2，0，2)，

例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5

(2)點(diǎn)

P

在棱

BB

1上，當(dāng)二面角

P

－

A

2

C

2－

D

2為150°時(shí)，求

B

2

P

.

例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5

例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5命題點(diǎn)4

求空間距離例4

[2023天津高考]如圖，在三棱臺(tái)

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，已知

A

1

A

⊥平面

ABC

，

AB

⊥

AC

，

AB

＝

AC

＝

AA

1＝2，

A

1

C

1＝1，

N

為線段

AB

的中點(diǎn)，

M

為線段

BC

的中點(diǎn).(1)求證：

A

1

N

∥平面

C

1

MA

.

例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5

解法二(向量法)以

A

為坐標(biāo)原點(diǎn)，

AB

，

AC

，

AA

1所在的直線分別為

x

軸、

y

軸、

z

軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

Axyz

，例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5

又

A

1

N

?平面

C

1

MA

，所以

A

1

N

∥平面

C

1

MA

.

則有

A

(0，0，0)，

M

(1，1，0)，

N

(1，0，0)，

A

1(0，0，2)，

C

1(0，1，2).

例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5

(2)求平面

C

1

MA

與平面

ACC

1

A

1所成角的余弦值.(3)求點(diǎn)

C

到平面

C

1

MA

的距離.例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5方法技巧1.求點(diǎn)到平面的距離的常用方法幾何

法找到點(diǎn)到平面的距離，通過(guò)解三角形求出距離，若點(diǎn)到平面的距離不易求，還可轉(zhuǎn)化為過(guò)已知點(diǎn)且與相關(guān)平面平行的直線上的其他點(diǎn)到平面的距離求解.等體

積法利用已知的點(diǎn)和平面構(gòu)造四面體，利用四面體能夠以任何一個(gè)面作為底面去求體積的特征，把四面體的體積以不同面為底表示兩次，列出方程，解方程即可求出距離.向

量

法2.求直線到平面的距離以及兩平行平面的距離時(shí)，往往轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離.例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5訓(xùn)練5

[2023上海春季高考改編]如圖，已知三棱錐

P

－

ABC

中，

PA

⊥平面

ABC

，

AB

⊥

AC

，

PA

＝

AB

＝3，

AC

＝4，

M

為

BC

的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

M

分別作平行于平面

PAB

的直線交

AC

，

PC

于點(diǎn)

E

，

F

.

(1)求直線

PM

與平面

ABC

所成角的正切值.例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5[解析]

如圖，連接

AM

.

因?yàn)?/p>

PA

⊥平面

ABC

，所以∠

PMA

即直線

PM

與平面

ABC

所成的角.因?yàn)?/p>

AB

⊥

AC

，

AB

＝3，

AC

＝4，

例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5[解析]

因?yàn)?/p>

ME

∥平面

PAB

，

MF

∥平面

PAB

，

ME

∩

MF

＝

M

，且

ME

，

MF

?平面

MEF

，所以平面

MEF

∥平面

PAB

.

因?yàn)?/p>

PA

⊥平面

ABC

，

AE

?平面

ABC

，所以

PA

⊥

AE

.

又

AB

⊥

AC

，即

AE

⊥

AB

，而

AB

，

PA

?平面

PAB

，

AB

∩

PA

＝

A

，所以

AE

⊥平面

PAB

，所以直線

ME

到平面

PAB

的距離等于

AE

的長(zhǎng).(2)證明：平面

MEF

∥平面

PAB

，并求直線

ME

到平面

PAB

的距離.

例3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4訓(xùn)練5

1.[命題點(diǎn)1/2023河南省重點(diǎn)中學(xué)測(cè)試]正四棱錐

S

－

ABCD

的所有棱長(zhǎng)都相等，

E

為

SC

的中點(diǎn)，則

BE

與

SA

所成角的余弦值為(

C

)C1234

12342.[命題點(diǎn)1]如圖所示，在四棱錐

E

－

ABCD

中，底面

ABCD

是菱形，∠

ADC

＝60°，

AC

與

BD

交于點(diǎn)

O

，

EC

⊥底面

ABCD

，

F

為

BE

的中點(diǎn)，

AB

＝

CE

.

(1)求證：

DE

∥平面

ACF

.

[解析]如圖，連接

OF

，由題可知

O

為

BD

的中點(diǎn)，又

F

為

BE

的中點(diǎn)，所以

OF

∥

DE

，又

OF

?平面

ACF

，

DE

?平面

ACF

，所以

DE

∥平面

ACF

.

1234

(2)求異面直線

EO

與

AF

所成角的余弦值.1234

12343.[命題點(diǎn)2，3/2022天津高考]如圖，直三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，

AA

1＝

AB

＝

AC

＝2，

AC

⊥

AB

，

D

為

A

1

B

1中點(diǎn)，

E

為

AA

1中點(diǎn)，

F

為

CD

中點(diǎn).(Ⅰ)求證：

EF

∥平面

ABC

.

1234[解析]因?yàn)?/p>

ABC

－

A

1

B

1

C

1是直三棱柱，且

AC

⊥

AB

，所以

AB

，

AA

1，

AC

兩

兩垂直，所以分別以

AB

，

AA

1，

AC

所在直線為

x

，

y

，

z

軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖所示.因?yàn)?/p>

AB

＝

AC

＝

AA

1＝2，且

D

，

E

分別為

A

1

B

1，

AA

1中點(diǎn)，所以

E

(0，1，0)，

C

(0，0，2)，

D

(1，2，0).

易知平面

ABC

的一個(gè)法向量為

n

＝(0，1，0)，

1234

(Ⅱ)求直線

BE

與平面

CC

1

D

所成角的正弦值；

1234

令

y

2＝1，則

z

2＝1，所以平面

A

1

CD

的一個(gè)法向量為

n

2＝(0，1，1).

(Ⅲ)求平面

A

1

CD

與平面

CC

1

D

夾角的余弦值.12344.[命題點(diǎn)4]如圖，正四棱柱

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AA

1＝3，

AB

＝2，

E

，

F

分

別為棱

BC

，

B

1

C

1的中點(diǎn).(1)求證：平面

BD

1

F

∥平面

C

1

DE

.

1234[解析]

解法一在正四棱柱

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，因?yàn)?/p>

E

，

F

分別為

BC

，

B

1C

1的中點(diǎn)，所以

FC

1∥

BE

，且

FC

1＝

BE

，所以四邊形

FC

1

EB

為平行四邊形，所以

BF

∥

C

1

E

.

又因?yàn)?/p>

BF

?平面

C

1

DE

，所以

BF

∥平面

C

1

DE

.

連接

EF

，則有

EF

∥

CC

1∥

DD

1，且

EF

＝

CC

1＝

DD

1，所以四邊形

DD

1

FE

為平行四邊形，所以

D

1

F

∥

DE

，又因?yàn)?/p>

D

1

F

?平面

C

1

DE

，所以

D

1

F

∥平面

C

1

DE

.

因?yàn)?/p>

BF

∩

D

1

F

＝

F

，所以平面

BD

1

F

∥平面

C

1

DE

.

1234解法二如圖，分別以

DA

，

DC

，

DD

1所在直線為

x

，

y

，

z

軸建立空間直角坐

標(biāo)系，則

D

(0，0，0)，

C

(0，2，0)，

D

1(0，0，3)，

C

1(0，2，3)，

B

1(2，2，3)，

B

(2，2，0)，

E

(1，2，0)，

F

(1，2，3)，

1234

因?yàn)?/p>

D

1

F

?平面

C

1

DE

，所以

D

1

F

∥平面

C

1

DE

.

因?yàn)?/p>

BF

?平面

C

1

DE

，所以

BF

∥平面

C

1

DE

.

又

D

1

F

∩

BF

＝

F

，

D

1

F

?平面

BD

1

F

，

BF

?平面

BD

1

F

，所以平面

BD

1

F

∥平面

C

1

DE

.

1234

(2)求平面

BD

1

F

與平面

C

1

DE

間的距離.1234

1234

1.[2023廣西聯(lián)考]如圖，直三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，

AC

⊥

BC

，若

AA

1＝

AC

＝

BC

＝1，則異面直線

A

1

C

與

AB

所成角的大小是(

C

)C123456789

圖1圖1123456789

圖2123456789

1234567892.[2024河北邢臺(tái)南宮中學(xué)模擬]在四棱錐

P

－

ABCD

中，底面

ABCD

為菱形，

PB

⊥

底面

ABCD

，

AC

＝8，

BD

＝

PB

＝4，

E

為棱

PB

的中點(diǎn)，

F

為線段

CE

的中點(diǎn)，則

點(diǎn)

F

到平面

PAD

的距離為(

B

)B.2B123456789

1234567893.[2024湖北羅田一中模擬]如圖，在平行六面體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝

AD

＝

AA

1＝1，∠

BAD

＝∠

A

1

AB

＝∠

A

1

AD

＝60°，

E

為

CC

1的中點(diǎn)，則點(diǎn)

E

到直線

AC

1的距離為(

D

)D123456789

1234567894.[2024青島市檢測(cè)]如圖，在長(zhǎng)方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝

BB

1＝2，

BC

＝

4，

AB

1與

A

1

B

交于點(diǎn)

E

，點(diǎn)

F

為

BC

的中點(diǎn).(1)求證：

AE

⊥平面

A

1

BC

.

[解析]因?yàn)?/p>

BC

⊥平面

ABB

1

A

1，

AE

?平面

ABB

1

A

1，所以

BC

⊥

AE

.

因?yàn)樗倪呅?/p>

ABB

1

A

1為正方形，所以

AE

⊥

A

1

B

，又

BC

∩

A

1

B

＝

B

，

BC

，

A

1

B

?平面

A

1

BC

，所以

AE

⊥平面

A

1

BC

.

123456789(2)求平面

AEF

與平面

AA

1

C

的夾角的余弦值.

123456789

123456789

5.[2023新高考卷Ⅱ]如圖，三棱錐

A

－

BCD

中，

DA

＝

DB

＝

DC

，

BD

⊥

CD

，∠

ADB

＝∠

ADC

＝60°，

E

為

BC

的中點(diǎn).(1)證明：

BC

⊥

DA

.

123456789[解析]如圖，連接

DE

，

AE

，因?yàn)?/p>

DC

＝

DB

，

且

E

為

BC

的中點(diǎn)，所以

DE

⊥

BC

.

因?yàn)椤?/p>

ADB

＝∠

ADC

＝60°，

DA

＝

DA

，

DC

＝

DB

，所以△

ADB

≌△

ADC

(SAS).可得

AC

＝

AB

，

故

AE

⊥

BC

.

因?yàn)?/p>

DE

∩

AE

＝

E

，

DE

，

AE

?平面

ADE

，所以

BC

⊥平面

ADE

.

又

DA

?平面

ADE

，所以

BC

⊥

DA

.

123456789

123456789

123456789

1234567896.[2024安徽六校聯(lián)考]如圖，圓臺(tái)

O

1

O

2的軸截面為等腰梯形

A

1

ACC

1，

AC

＝2

AA

1

＝2

A

1

C

1＝4，

B

為下底面圓周上異于

A

，

C

的點(diǎn).(1)點(diǎn)

P

為線段

BC

的中點(diǎn)，證明：直線

PC

1∥平面

AA

1

B

.

圖1在等腰梯形

A

1

ACC

1中，

AC

＝2

A

1

C

1，所以

HP

∥

A

1

C

1，

HP

＝

A

1

C

1，則四邊形

A

1

C

1

PH

為平行四邊形，所以

C

1

P

∥

A

1

H

，又

A

1

H

?平面

A

1

AB

，

C

1

P

?平面

A

1

AB

，圖1所以

C

1

P

∥平面

A

1

AB

.

123456789

[解析]過(guò)點(diǎn)

B

作BO'⊥

AC

，交

AC

于點(diǎn)O'，易知BO'⊥平面

A

1

ACC

1.

123456789圖2

圖2

123456789

設(shè)直線

AB

與平面

C

1

CB

的夾角為α，

1234567897.[2024濟(jì)南市摸底考試]如圖，在四棱錐

P

－

ABCD

中，底面

ABCD

是正方形，

PA

⊥底面

ABCD

，

PA

＝

AD

＝3，點(diǎn)

F

是棱

PD

的中點(diǎn)，點(diǎn)

E

是棱

DC

上一點(diǎn).(1)證明：

AF

⊥

EF

；123456789[解析]在正方形

ABCD

中，有

AD

⊥

CD

.

因?yàn)?/p>

PA

⊥底面

ABCD

，

CD

?底面

ABCD

，所以

PA

⊥

CD

.

又

AD

∩

PA

＝

A

，

AD

，

PA

?平面

PAD

，所以

CD

⊥平面

PAD

，又

AF

?平面

PAD

，所以

CD

⊥

AF

.

因?yàn)?/p>

PA

＝

AD

，點(diǎn)

F

是棱

PD

的中點(diǎn)，所以

AF

⊥

PD

.

又

CD

∩

PD

＝

D

，

CD

，

PD

?平面

PDC

，所以

AF

⊥平面

PDC

，又

EF

?平面

PDC

，所以

AF

⊥

EF

.

123456789

123456789

123456789

(1)證明：平面

BCE

⊥平面

ABCD

.

123456789

[解析]因?yàn)?/p>

BC

⊥

BE

，結(jié)合(1)易得

AB

，

BC

，

BE

兩兩垂直，所以建立如