蘇科版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)2.14 第2章 軸對(duì)稱圖形（單元測(cè)試·培優(yōu)卷）（含答案）

第2章軸對(duì)稱圖形（單元測(cè)試·培優(yōu)卷）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．下列安全指示牌分別代表“禁止攀爬”“禁止高空拋物”“注意安全”“注意摔滑”，其中是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．小明用兩個(gè)全等的等腰三角形設(shè)計(jì)了一個(gè)“蝴蝶”的平面圖案．如圖，其中與都是等腰三角形，且它們關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)，分別是底邊，的中點(diǎn)，．下列推斷錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．3．如圖，，，則圖中的等腰三角形的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．4．如圖，為內(nèi)一點(diǎn)，平分，，，若，，則的長為（）A． B． C． D．5．如圖，直線，等邊的頂點(diǎn)在直線上，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．6．如圖，在中，，，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可知（）A． B． C． D．7．在四邊形中，，點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，，，連接，，，則（

）A．25° B．22° C．30° D．32°8．如圖，，，，若，則與間的數(shù)量關(guān)系為（）A． B．C． D．9．如圖，在中，為一個(gè)鈍角，交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在上，且，．則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．10．如圖，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，，，連接．當(dāng)時(shí)，線段的最小值為（

）A． B．1 C． D．2二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．如圖，與關(guān)于直線l對(duì)稱，且，，則的度數(shù)是．12．如圖，長方形沿折疊至點(diǎn)B，若，那么°．13．點(diǎn)F是正五邊形邊DE的中點(diǎn)，連接并延長與CD延長線交于點(diǎn)G，則的度數(shù)為．

14．（23-24七年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期末）如圖，，為，的中點(diǎn)，，，則的長為．

15．已知，在中，，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，若，則．16．如圖，已知是等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，于點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，若，則17．如圖，中，，且點(diǎn)在外，在的垂直平分線上，連接，若，，則．18．如圖，在中，，分別以、和為邊在外部作等邊三角形、等邊三角形和等邊三角形，連接、和交于點(diǎn)P，則、、、中某三條線段存在等量關(guān)系是．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）如圖，在中，分別是上兩點(diǎn)，與關(guān)于軸對(duì)稱，交于點(diǎn)，已知．（1）求的度數(shù)．（2）若，求的度數(shù)．20．（8分）如圖，是AD中點(diǎn)，平分．

（1）若，求證：CE平分．（2）若，求證：．21．（10分）如圖，在中，平分，過點(diǎn)D作于M，的延長線于N，且．（1）求證：點(diǎn)D在的垂直平分線上；（2）若，，求的長．22．（10分）如圖，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合），將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ．（1）證明：CP=CQ；（2）求∠PCQ的度數(shù)；（3）當(dāng)點(diǎn)D是AB中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出△PDQ是何種三角形．23．（10分）在中，，且的頂點(diǎn)E在邊上移動(dòng)，在移動(dòng)過程中，邊，分別與，交于點(diǎn)M，N，（1）當(dāng)且M與A重合時(shí)，求證：（2）當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，連接，求證：24．（12分）在中，，，點(diǎn)E、分別是，上的動(dòng)點(diǎn)（不與，C重合），點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)問與全等嗎？如果全等請(qǐng)證明，如果不是請(qǐng)說明理由；（2）如圖2，在（1）的條件下，過點(diǎn)作，垂足為，若，，請(qǐng)求的長；（3）如圖3，當(dāng)時(shí)，連接，若，，請(qǐng)求的面積．參考答案：1．C【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義判斷選擇即可．本題考查了軸對(duì)稱圖形即沿著某條直線折疊，直線兩旁的部分完全重合；熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵不是軸對(duì)稱圖形，∴不符合題意；∵不是軸對(duì)稱圖形，∴不符合題意；∵是軸對(duì)稱圖形，∴符合題意；∵不是軸對(duì)稱圖形，，∴不符合題意；故選C．2．B【分析】本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等；A.由對(duì)稱的性質(zhì)得，由等腰三角形的性質(zhì)得，，即可判斷；B.不一定等于，即可判斷；C.由對(duì)稱的性質(zhì)得，由全等三角形的性質(zhì)即可判斷；D.過作，可得，由對(duì)稱性質(zhì)得同理可證，即可判斷；掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.，，由對(duì)稱得，點(diǎn)，分別是底邊，的中點(diǎn)，與都是等腰三角形，，，，，結(jié)論正確，故不符合題意；B.不一定等于，結(jié)論錯(cuò)誤，故符合題意；C.由對(duì)稱得，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底邊的中點(diǎn)，，結(jié)論正確，故不符合題意；D.過作，，，，由對(duì)稱得，，同理可證，，結(jié)論正確，故不符合題意；故選：B．3．D【分析】此題主要考查了等腰三角形的判定，根據(jù)三角形內(nèi)角和分別計(jì)算出、、、、的度數(shù)，再根據(jù)等角對(duì)等邊可判斷出等腰三角形的個(gè)數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定方法．【詳解】∵，，∴和是等腰三角形，∵，，∴，∴，∴是等腰三角形，同理是等腰三角形，∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形，同理可得是等腰三角形，綜上所述，等腰三角形有個(gè)，故選：．4．A【分析】延長與交于點(diǎn)，由題意可推出，依據(jù)垂線的定義，角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理，可證得為等腰三角形，于是可得，，根據(jù)，即可推出的長度．【詳解】解：如圖，延長與交于點(diǎn)，，，，，，平分，，又，，為等腰三角形，，，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，垂線的定義，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線，構(gòu)建等腰三角形是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．根據(jù)等邊三角形的三個(gè)角都是可得，根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和求出，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可求解．【詳解】解：如圖：，分別交直線于點(diǎn)，，∵是等邊三角形，∴，又∵，∴，又∵，∴．故選：B．6．C【分析】本題考查三角形外角性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)．先用三角形內(nèi)角和求出，再用角平分線求出，由線段垂直平分線知，然后用外角性質(zhì)求出，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出．【詳解】解：在中，，，，由作圖可知，平分，垂直平分，，，，，故選：C．7．B【分析】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，理解掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．證明，可得，，可得，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：∵，點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，∴，∴，，在中，，同理可得：，∴，∵，∴．故選：B．8．A【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，等邊對(duì)等角．易得，通過證明得出，則，最后根據(jù)在中，，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，在中，，整理得：，故選：A．9．D【分析】垂直得到，角的和差關(guān)系求出的度數(shù)，判斷A，B；延長至點(diǎn)，使，連接，證明，得到，，根據(jù)，推出，進(jìn)而得到，利用四邊形的內(nèi)角和為360度，求出，根據(jù)三角形的外角判斷C，角的倍數(shù)關(guān)系，判斷D．【詳解】解：∵，∴，∵，∴；故選項(xiàng)A，B正確；延長至點(diǎn)，使，連接，如圖，則：，∵，∴，∴，，∵，∴，在四邊形中，，∴，∴，∴；故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，∵是的一個(gè)外角，∴；故選項(xiàng)C正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角，多邊形的內(nèi)角和等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造特殊圖形和全等三角形．10．B【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，找出點(diǎn)P和點(diǎn)F重合時(shí)，最小，最小值為的長度是解本題的關(guān)鍵．如圖：在上取一點(diǎn)E，使，連接，過點(diǎn)E作于F，由，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則當(dāng)（點(diǎn)P和點(diǎn)F重合）時(shí)，最小，然后由含角的直角三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：如圖：在上取一點(diǎn)E，使，連接，過點(diǎn)E作于F，∵，，∴，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，要使最小，則有最小，而點(diǎn)E是定點(diǎn)，點(diǎn)P是上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)（點(diǎn)P和點(diǎn)F重合）時(shí)，最小，即點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，最小，最小值為的長度，在中，，，∴，∵，∴，在中，，∴，故線段長度的最小值是1，故選：B．11．/54度【分析】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：由軸對(duì)稱的性質(zhì)得，，，∴，故答案為：．12．【分析】此題考查了折疊，根據(jù)折疊得到即可．【詳解】解：∵長方形沿折疊至點(diǎn)B，，∴，故答案為：13．/18度【分析】連接，，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)可證，得到，進(jìn)而得到是的垂直平分線，即，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可求出每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，進(jìn)而得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解答．【詳解】解：連接，，

∵五邊形是正五邊形，∴，∴，∴，∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴是的垂直平分線，∴，∵在正五邊形中，，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，內(nèi)角，全等三角形的判定及性質(zhì)，垂直平分線的判定，三角形的內(nèi)角和定理，正確作出輔助線，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14．2【分析】本題考查等腰三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定是解答的關(guān)鍵．先證明得到，，再根據(jù)等角對(duì)等邊得到，，設(shè)，由結(jié)合已知列方程求解x值即可．【詳解】解：為，的中點(diǎn)，，，又，，，，，，，設(shè)，，，，，，解得，，故答案為：2．15．40【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)得出，再由于點(diǎn)可得出的度數(shù)，進(jìn)而得出的度數(shù)，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得出，據(jù)此可得出結(jié)論．【詳解】解：在中，，，．，，，．，，是線段的垂直平分線，，，．故答案為：40．16．【分析】本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，利用含角的直角三角形的性質(zhì)求出的長，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定和性質(zhì)求出的長即可，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，，∴，∵于點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，故答案為：．17．【分析】過作，交的延長線于，過作于，證明，得，求出的度數(shù)，則根據(jù)等腰三角形的內(nèi)角和，可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，過作，交的延長線于，過作于，∵點(diǎn)在的垂直平分線上，∴垂直平分，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),含角直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題時(shí)要熟知等腰三角形的兩個(gè)底角相等，需要作輔助線，構(gòu)建全等三角形，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．18．【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)；證明，，可得，，求出，在上截取，連接，證明，再證，可得，進(jìn)而可得．【詳解】解：∵，是等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴，同理可得，∴，∵，∴，∵，∴，∴，同理可得，∴，如圖，在上截取，連接，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，故答案為：．19．(1)(2)【分析】（1）由軸對(duì)稱的性質(zhì)得，進(jìn)而根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求解；（2）由（1）得，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得，從而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得解．【詳解】（1）解：與軸對(duì)稱，，又，；（2）解：由（1）得，，又，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】本題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì)，靈活做輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)E作，垂足為H，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得，再由角平分線判定即可得出結(jié)論；（2）在上截取，連接．先證明可得，再證可得即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)E作，垂足為H，

∵平分，，∴，又∵是AB中點(diǎn)，即，∴，∵，，∴：CE平分．（2）解：如圖：在上截取，連接．

平分，．在和中，，，．是的中點(diǎn)，．又，，，，在和中．，，，∴21．(1)見解析(2)2【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的判定．（1）連接，，由角平分線性質(zhì)可得，再證明（），可得，即點(diǎn)D在的垂直平分線上．（2）證明（），可得，由線段的和差即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，是的平分線，，，，在和中，（），，點(diǎn)D在的垂直平分線上．（2）解：在和中，（），，，．，．22．（1）見解析；（2）∠PCQ=120°；（3）△PDQ是等邊三角形.【分析】(1)由折疊直接得到結(jié)論；(2)由折疊的性質(zhì)求出∠ACP+∠BCQ=120°，再用周角的意義求出∠PCQ=120°；(3)先判斷出△APD是等邊三角形，△BDQ是等邊三角形，再求出∠PDQ=60°，即可．【詳解】(1)∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，∴CP=CD=CQ；(2)∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，∴∠ACP=∠ACD，∠BCQ=∠BCD，∴∠ACP+∠BCQ=∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°，∴∠PCQ=360°-(∠ACP+BCQ+∠ACB)=360°-(120°+120°)=120°；(3)△PDQ是等邊三角形．理由：∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，∴AD=AP，∠DAC=∠PAC，∵∠DAC=30°，∴∠PAD=60°，∴△APD是等邊三角形，∴PD=AD，∠ADP=60°，同理：△BDQ是等邊三角形，∴DQ=BD，∠BDQ=60°，∴∠PDQ=60°，∵當(dāng)點(diǎn)D在AB的中點(diǎn)，∴A