蘇科版2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊2.9等邊三角形的軸對稱性知識梳理與考點(diǎn)分類講解(知識梳理與考點(diǎn)分類講解)(學(xué)生版+解析)

專題2.9等邊三角形的軸對稱性（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識點(diǎn)歸納】【知識點(diǎn)一】等邊三角形定義

三邊都相等的三角形叫等邊三角形.【要點(diǎn)提示】由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說等腰三角形包括等邊三角形．【知識點(diǎn)二】等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形三個內(nèi)角都相等，并且每一個內(nèi)角都等于60°.【知識點(diǎn)三】等邊三角形的判定

（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．【知識點(diǎn)四】含30°的直角三角形

在直角三角形中，如果有一個銳角是30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.【要點(diǎn)提示】這個定理的前提條件是“在直角三角形中”，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜邊）的一半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數(shù)關(guān)系.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】利用等邊三角形性質(zhì)求值與證明【例1】（22-23八年級上·山東臨沂·期中）如圖，在等邊中，點(diǎn)D、E分別在邊上，且，過點(diǎn)E作，交的延長線于點(diǎn)F．（1）求的度數(shù)；（2）若，求的長．【變式1】（23-24八年級上·遼寧大連·期末）如圖，是等邊三角形，為中線，為上一點(diǎn)，且，則等于（

）A． B． C． D．【變式2】（22-23八年級上·湖南長沙·期末）如圖，在等邊中，是邊的中點(diǎn)，AD是邊上的中線，是AD上的動點(diǎn)，若，則最小值．【題型2】利用等邊三角形判定求值與證明【例2】（24-25八年級上·全國·假期作業(yè)）等邊中，點(diǎn)P在內(nèi)，點(diǎn)Q在外，且，問是什么形狀的三角形？試說明你的結(jié)論．【變式1】（23-24七年級下·湖南衡陽·階段練習(xí)）在中，，，則是（

）A．銳角且不等邊三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形【變式2】（2024八年級·全國·競賽）的三邊長為，且滿足等式，則的形狀是三角形．【題型3】利用含30度的直角三角形邊的關(guān)系求值與證明【例3】如圖，．（1）在中，______，______；（2）求證：是等邊三角形．【變式1】（22-23八年級上·廣西柳州·期中）如圖，在中，，，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，若，則的長度為（

）

A． B． C． D．【變式2】（湖北省武漢市經(jīng)開區(qū)2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，若，則的長度是．【題型4】直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半【例4】（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在銳角中，為邊上的高，為的中點(diǎn)，連接，在上找到一點(diǎn)，使，連接，試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．【變式1】（22-23八年級上·廣西柳州·期中）如圖，在等腰直角三角形中，，為邊上中點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于，交于，若，，則的長度為（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【變式2】（22-23八年級上·浙江溫州·期中）如圖，在中，，AD是邊上的中線，若，則的度數(shù)為．【題型5】利用等邊三角形性質(zhì)與判定求值與證明【例5】（23-24八年級下·遼寧丹東·期末）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)D為邊延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E為線段上一點(diǎn)，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，點(diǎn)F恰好落線段AB上．過點(diǎn)E作交邊AB于點(diǎn)G．（1）證明：；（2）若，求長．【變式1】（22-23八年級上·甘肅平?jīng)觥て谀┤粢粋€等腰三角形一腰上的高等于腰的一半，則這個等腰三角形的底角為（

）A． B． C．或 D．或【變式2】（23-24八年級上·全國·單元測試）如圖，在四邊形中，，，，為邊上一點(diǎn)，連接、，與交于點(diǎn)，且，若，，則的長為.第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，在中，D是的中點(diǎn)，，，則的長是（

）A．3 B．6 C． D．【例2】（2024·四川巴中·中考真題）如圖，在中，是的中點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，且．下列說法錯誤的是（

）

A．的垂直平分線一定與相交于點(diǎn)B．C．當(dāng)為中點(diǎn)時，是等邊三角形D．當(dāng)為中點(diǎn)時，2、拓展延伸【例1】（2020·新疆·中考真題）如圖，在中，，若D是邊上的動點(diǎn)，則的最小值為．【例2】（2021·山東德州·中考真題）如圖，在等邊三角形各邊上分別截取，交延長線于點(diǎn)，交延長線于點(diǎn)，交延長線于點(diǎn)；直線，，兩兩相交得到，若，則．專題2.9等邊三角形的軸對稱性（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識點(diǎn)歸納】【知識點(diǎn)一】等邊三角形定義

三邊都相等的三角形叫等邊三角形.【要點(diǎn)提示】由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說等腰三角形包括等邊三角形．【知識點(diǎn)二】等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形三個內(nèi)角都相等，并且每一個內(nèi)角都等于60°.【知識點(diǎn)三】等邊三角形的判定

（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．【知識點(diǎn)四】含30°的直角三角形

在直角三角形中，如果有一個銳角是30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.【要點(diǎn)提示】這個定理的前提條件是“在直角三角形中”，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜邊）的一半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數(shù)關(guān)系.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】利用等邊三角形性質(zhì)求值與證明【例1】（22-23八年級上·山東臨沂·期中）如圖，在等邊中，點(diǎn)D、E分別在邊上，且，過點(diǎn)E作，交的延長線于點(diǎn)F．（1）求的度數(shù)；（2）若，求的長．【答案】(1)(2)8【分析】本題主要考查的是等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）證明中的三個角均為，然后再求得；（2）先求得，然后由進(jìn)行求解即可．解：（1）是等邊三角形，．，，，，，，．（2），，，由（1）可知，．又，．．【變式1】（23-24八年級上·遼寧大連·期末）如圖，是等邊三角形，為中線，為上一點(diǎn)，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，由等邊三角形的性質(zhì)可求解，，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可得的度數(shù)，進(jìn)而可求解．解：為等邊三角形，，是等邊三角形的中線，，，，，，，，故選：．【變式2】（22-23八年級上·湖南長沙·期末）如圖，在等邊中，是邊的中點(diǎn)，AD是邊上的中線，是AD上的動點(diǎn)，若，則最小值．【答案】【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，連接，由等邊三角形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而得到AD為的垂直平分線，即得，得到，可知當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時，的值最小，最小值即為線段的長，又由等邊三角形的性質(zhì)可得，由三角形的面積可得，即可求解，掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解：連接，∵為等邊三角形，AD是邊上的中線，∴，，∴AD為的垂直平分線，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時，的值最小，最小值即為線段的長，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴最小值為，故答案為：．【題型2】利用等邊三角形判定求值與證明【例2】（24-25八年級上·全國·假期作業(yè)）等邊中，點(diǎn)P在內(nèi)，點(diǎn)Q在外，且，問是什么形狀的三角形？試說明你的結(jié)論．【答案】是等邊三角形，見解析【分析】本題考查等邊三角形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，先證，得，再證，從而得出是等邊三角形．解：是等邊三角形．證明：∵為等邊三角形，∴．在與中，∵，∴，∴．∵，∴，∴是等邊三角形．【變式1】（23-24七年級下·湖南衡陽·階段練習(xí)）在中，，，則是（

）A．銳角且不等邊三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的三個內(nèi)角的和等于；熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出和的度數(shù)，判斷的形狀即可．解：∵，，∴，∴；∵，，∴，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，故選：D．【變式2】（2024八年級·全國·競賽）的三邊長為，且滿足等式，則的形狀是三角形．【答案】等邊【分析】本題考查完全平方公式，等邊三角形的判定，根據(jù)完全平方公式變形得出，求出，進(jìn)而可得出答案．解：根據(jù)題意得：，∴，整理為，∴，∴三角形為等邊三角形．故答案為：等邊．【題型3】利用含30度的直角三角形邊的關(guān)系求值與證明【例3】如圖，．（1）在中，______，______；（2）求證：是等邊三角形．【答案】(1)，2(2)見解析【分析】本題考查等邊對等角，含30度角的直角三角形，等邊三角形的判定：（1）等邊對等角，求出的度數(shù)，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，得到即可；（2）根據(jù)3個角都是60度的三角形是等邊三角形，即可得出結(jié)論．解：（1）∵，∴，∵，∴，∴；故答案為：，2；（2）由（1）知：，∴，∴是等邊三角形．【變式1】（22-23八年級上·廣西柳州·期中）如圖，在中，，，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，若，則的長度為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)．掌握含角的直角三角形中，角所對的邊等于斜邊的一半是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可求出，即推出．在中，利用含角的直角三角形的性質(zhì)即可求出CD長．解：∵，，∴．∵，，∴，∴，∴，在中，，，．∴．故選：B．【變式2】（湖北省武漢市經(jīng)開區(qū)2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，若，則的長度是．【答案】4.5【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，以及角平分線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，證明是的角平分線，得到，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，得到，由此即可得解．解：如圖所示，連接，是的垂直平分線，，，，，，.是的角平分線，又，.在中，，，，，．故答案為：．【題型4】直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半【例4】（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在銳角中，為邊上的高，為的中點(diǎn)，連接，在上找到一點(diǎn)，使，連接，試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】BN⊥AC，理由見解析【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，然后求出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理解答．解：．為邊上的高，為的中點(diǎn)，，，，∴，，∴，．【變式1】（22-23八年級上·廣西柳州·期中）如圖，在等腰直角三角形中，，為邊上中點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于，交于，若，，則的長度為（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線．熟練掌握等腰三角形三線合一，直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及等腰三角形三線合一，證明，求出，從而求出，即可得出結(jié)果．解：連接BD，如圖所示：

等腰直角三角形中，為邊上中點(diǎn)，∴，，，∴，∴，又∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，則，∴，故選：B．【變式2】（22-23八年級上·浙江溫州·期中）如圖，在中，，AD是邊上的中線，若，則的度數(shù)為．【答案】130【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．解：在中，，是邊上的中線，，，，，．故答案為：．【題型5】利用等邊三角形性質(zhì)與判定求值與證明【例5】（23-24八年級下·遼寧丹東·期末）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)D為邊延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E為線段上一點(diǎn)，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，點(diǎn)F恰好落線段AB上．過點(diǎn)E作交邊AB于點(diǎn)G．（1）證明：；（2）若，求長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，然后證明即可得到結(jié)論；（2）由（1）知，可得，得到為等邊三角形即可解題．解：（1）證明：∵為等邊三角形，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，∴，∴；（2）由（1）知，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∵為等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【變式1】（22-23八年級上·甘肅平?jīng)觥て谀┤粢粋€等腰三角形一腰上的高等于腰的一半，則這個等腰三角形的底角為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．當(dāng)是銳角三角形時，然后證明出，得到，證明出是等邊三角形，得到，然后利用三角形內(nèi)角和定理和等邊對等角求解即可，當(dāng)鈍角三角形時，同理求解即可．解：如圖①：是等腰三角形，，，延長使，∵，∴，又∵，∴∴∵，∴∴是等邊三角形∴∵∴∵∴；如圖②：是等腰三角形，，，延長使，同理可得，是等邊三角形∴∴∵∴綜上所述，這個三角形的底角為或．故選：D．【變式2】（23-24八年級上·全國·單元測試）如圖，在四邊形中，，，，為邊上一點(diǎn)，連接、，與交于點(diǎn)，且，若，，則的長為.【答案】6【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)及等角對等邊，綜合運(yùn)用等邊三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行線段間等量關(guān)系的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．由，得出垂直平分，是等邊三角形，可連接交于點(diǎn)，確定是等邊三角形，是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)對三角形中的線段進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換即可得出結(jié)果．解：如圖，連接交于點(diǎn)，∵，，，∴垂直平分，是等邊三角形，∴，，，∵，∴，，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，故答案為：6．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，在中，D是的中點(diǎn)，，，則的長是（

）A．3 B．6 C． D．【答案】A【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半結(jié)合等邊三角形的判定得到等邊三角形，據(jù)此求解即可．解：∵在中，，D是的中點(diǎn)，∴，∵，∴等邊三角形，∴．故選：A．【例2】（2024·四川巴中·中考真題）如圖，在中，是的中點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，且．下列說法錯誤的是（

）

A．的垂直平分線一定與相交于點(diǎn)B．C．當(dāng)為中點(diǎn)時，是等邊三角形D．當(dāng)為中點(diǎn)時，【答案】D【分析】連接，根據(jù)，點(diǎn)是的中點(diǎn)得，則，進(jìn)而得點(diǎn)在線段的垂直平分線上，由此可對選項(xiàng)Ａ進(jìn)行判斷；設(shè)，根據(jù)得，的，再根據(jù)得，則，由此可對選項(xiàng)Ｂ進(jìn)行判斷；當(dāng)為中點(diǎn)時，則，是線段的垂直平分線，由此得，然后根據(jù)，，得，由此可對選項(xiàng)Ｃ進(jìn)行判斷；連接并延長交于，根據(jù)是等邊三角形得，則，進(jìn)而得，，由此得，，由此可對選項(xiàng)Ｄ進(jìn)行判斷，綜上所述即可得出答案．解：連接，如圖1所示：

，點(diǎn)是的中點(diǎn)，為斜邊上的中線，，，，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，即線段的垂直平分線一定與相交于點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；設(shè)，，，，，，，即，故選B正確，不符合題意；當(dāng)為中點(diǎn)時，則，，是線段的垂直平分線，，，，，，，是等邊三角形，故選C正確，不符合題意；連接，并延長交于，如圖2所示：

當(dāng)為中點(diǎn)時，點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)三角形三條中線交于一點(diǎn)得：點(diǎn)為的中點(diǎn)，當(dāng)為中點(diǎn)時，是等邊三角形，，，平分，平分，，，在中，，，，，，，故選項(xiàng)D不正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)撥】此題主要考查了直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，理解直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．2、拓展延伸【例1】（2020·新疆·中考真題）如圖，在中，