蘇科版2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊2.3線段、角的軸對稱性知識梳理與考點分類講解(知識梳理與考點分類講解)(學(xué)生版+解析)

專題2.3線段、角的軸對稱性（知識梳理與考點分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點一】線段的軸對稱性

1.線段是軸對稱圖形：線段的垂直平分線和它本身所在的直線是它的對稱軸；2.線段的垂直平分線定義：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線．3.線段的垂直平分線的性質(zhì)：性質(zhì)1：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；

性質(zhì)2：與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．【要點提示】線段的垂直平分線的性質(zhì)是證明兩線段相等的常用方法之一.同時也給出了引輔助線的方法，那就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件.【知識點二】角的軸對稱性角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸（1）角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.

【要點提示】用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：如圖，若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.

（2）角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.【要點提示】用符號語言表示角的平分線的判定：如圖，若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB

（3）角平分線的尺規(guī)作圖

（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C.

（3）畫射線OC.射線OC即為所求.第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】角平分線的性質(zhì)定理【例1】（22-23八年級下·陜西咸陽·期中）如圖，在四邊形中，點是的中點，平分．求證：．【變式1】（23-24七年級下·陜西榆林·期末）如圖，在中，，平分，交于點，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·四川達(dá)州·模擬預(yù)測）如圖，在中，于E，于F，為的平分線，的面積是，，，．【題型2】角平分線的判定定理【例2】（22-23七年級下·吉林長春·期末）如圖，在中，為邊上一點，于點，于點，．（1）求證：平分；（2）若，，，則的長為．【變式1】（23-24八年級下·陜西榆林·期末）如圖，在中，，點在上，連接，，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24八年級上·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，已知點分別是的三邊上的點，，，且，則的值是．【題型3】尺規(guī)作圖——作角平分線【例3】（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）請你完成命題“三角形兩個角的平分線的交點一定在另一個角的平分線上”的證明．已知：如圖，在中，的平分線交于點D，連接．求證：__________．請你用無刻度直尺和圓規(guī)完成作圖，將“求證”補(bǔ)充完整，并寫出證明過程．【變式1】（23-24七年級下·河北保定·期末）如圖，在中，，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點M，N；②再分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點O；③作射線，交于點E．已知，，則的面積為（

）A．5 B．7 C．9 D．14【變式2】（23-24七年級下·廣東深圳·期末）如圖，在中，，利用尺規(guī)作圖，得到直線和射線．若，則°．【題型4】線段垂直平分線的性質(zhì)定理【例4】（22-23八年級下·甘肅張掖·期末）如圖，在中，點E是邊上的一點，連接，垂直平分，垂足為F，交于點D．連接．

（1）若的周長為19，的周長為7，求的長．（2）若，，求的度數(shù)．【變式1】（23-24七年級下·山東東營·期末）如圖，在中，，，，分別以A、B為圓心，兩弧分別交于E、F，直線交于點D，則的周長等于（

）A．7 B．8 C．9 D．10【變式2】（23-24七年級下·安徽宿州·期末）如圖，在中，，，分別以點A，C為圓心，以大于為半徑作弧，兩弧分別交于點M，N，過點M，N作直線交于點P，連接．若的周長比的周長大，則的周長為．【題型5】線段垂直平分線的判定定理【例5】（2024·湖南長沙·一模）如圖，中，，平分，于E．求證：（1)；（2）直線是線段的垂直平分線．【變式1】（23-24八年級上·河南南陽·期末）如圖，在中，以點A為圓心，的長為半徑作弧，與交于點E，分別以點E和點C為圓心、大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點P，作射線交于點D．若，，則的度數(shù)為(

)

A． B． C． D．【變式2】（22-23七年級下·陜西咸陽·期末）如圖，在中，，點D是內(nèi)部一點，，點E是邊上一點，若平分，，則的度數(shù)為．

【題型6】尺規(guī)作圖——作垂直平分線和垂線【例6】（23-24七年級下·遼寧阜新·期中）現(xiàn)有兩條高速公路、和C，D兩個城鎮(zhèn)（如圖），準(zhǔn)備建立一個燃?xì)庵行恼綧使中心站到兩條公路距離相等，并且到兩個城鎮(zhèn)距離相等，請你畫出中心站位置．【變式1】（23-24七年級下·山東濟(jì)南·期末）如圖，在中，，，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可知（）A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級下·遼寧朝陽·期末）如圖，的周長為，分別以A、B為圓心，以大于的長為半徑畫圓弧，兩弧交于點D、E，直線與邊交于點F，與邊交于點G，連接，的周長為，則的長為．

【題型7】軸對稱的綜合變換【例7】（20-21七年級上·黑龍江大慶·期末）如圖，點P是外一點，點M、N分別是兩邊上的點，點P關(guān)于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關(guān)于OB的對稱點R落在線段MN的延長線上．若，，，則線段QR的長為多少．【變式1】（21-22七年級下·全國·單元測試）如圖，中，，，，點在上，且，點在的平分線上運動，則的長度最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】（20-21七年級下·四川成都·期末）如圖，分別以線段AB的兩個端點為圓心，以大于AB長為半徑作弧，兩弧交于點M和點N，在直線MN上取一點C，連接CA，CB，點D是線段AC的延長線上一點，且CD＝AC，點P是直線MN上一動點，連接PD，PB，若BC＝4，則PD+PB的最小值為．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川眉山·中考真題）如圖，在中，，，分別以點，點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點，，過點，作直線交于點，連接，則的周長為（

）A．7 B．8 C．10 D．12【例2】（2024·四川廣元·中考真題）點F是正五邊形邊的中點，連接并延長與延長線交于點G，則的度數(shù)為．

2、拓展延伸【例1】（23-24七年級下·湖北武漢·期末）如圖，的角平分線交的角平分線的反向延長線于點P，直線交于點N，若，則°【例2】（23-24七年級下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）如圖1，在中，為邊上的高，是的角平分線，點為上一點，連接，．（1）求證：平分（2）如圖2，連接交于點，若與的面積相等，求證：專題2.3線段、角的軸對稱性（知識梳理與考點分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點一】線段的軸對稱性

1.線段是軸對稱圖形：線段的垂直平分線和它本身所在的直線是它的對稱軸；2.線段的垂直平分線定義：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線．3.線段的垂直平分線的性質(zhì)：性質(zhì)1：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；

性質(zhì)2：與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．【要點提示】線段的垂直平分線的性質(zhì)是證明兩線段相等的常用方法之一.同時也給出了引輔助線的方法，那就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件.【知識點二】角的軸對稱性角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸（1）角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.

【要點提示】用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：如圖，若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.

（2）角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.【要點提示】用符號語言表示角的平分線的判定：如圖，若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB

（3）角平分線的尺規(guī)作圖

（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C.

（3）畫射線OC.射線OC即為所求.第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】角平分線的性質(zhì)定理【例1】（22-23八年級下·陜西咸陽·期中）如圖，在四邊形中，點是的中點，平分．求證：．【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．如圖所示，作于點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)中點的性質(zhì)可得，再根據(jù)全等三角形的判定可得，，由此可得，，由此即可求解．解：證明：如圖所示，作于點，則，∵，∴，∵平分，∴，∵點是的中點，∴，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，且，∴．【變式1】（23-24七年級下·陜西榆林·期末）如圖，在中，，平分，交于點，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線上的點到兩邊的距離相等．過點作垂線交于點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到的長度，再根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計算即可．解：過點作垂線交于點，∵平分，，，∴，∴的面積為．故選：B．【變式2】（2024·四川達(dá)州·模擬預(yù)測）如圖，在中，于E，于F，為的平分線，的面積是，，，．【答案】2【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)的面積是，列式得，即可得到答案．解：在中，于E，于F，為的平分線，，的面積是，，即，，，故答案為：．【題型2】角平分線的判定定理【例2】（22-23七年級下·吉林長春·期末）如圖，在中，為邊上一點，于點，于點，．（1）求證：平分；（2）若，，，則的長為．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)和判定，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．（1）連接，證明，得，再利用角平分線的性質(zhì)即可解決問題；（2）結(jié)合（1），根據(jù)，代入值計算即可解決問題．解：（1）證明：如圖，連接，于點，于點，，在和中，，，，于點，于點，平分；（2）解：，，，，，，，，故答案為：4．【變式1】（23-24八年級下·陜西榆林·期末）如圖，在中，，點在上，連接，，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了角平分線的判定以及三角形的內(nèi)角和性質(zhì)，根據(jù)，以及，得出，證明是的角平分線，結(jié)合，，得出，即可作答．解：如圖：過點D作∵∴∵∴∴是的角平分線∴∵，∴∴的度數(shù)為故選：C．【變式2】（23-24八年級上·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，已知點分別是的三邊上的點，，，且，則的值是．【答案】/84度【分析】本題考查了三角形面積公式、角平分線的判定與性質(zhì)，作于，于，由三角形面積公式得出，從而得出平分，再由角平分線的性質(zhì)即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．解：如圖，作于，于，，，，，，，，，平分，，故答案為：．【題型3】尺規(guī)作圖——作角平分線【例3】（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）請你完成命題“三角形兩個角的平分線的交點一定在另一個角的平分線上”的證明．已知：如圖，在中，的平分線交于點D，連接．求證：__________．請你用無刻度直尺和圓規(guī)完成作圖，將“求證”補(bǔ)充完整，并寫出證明過程．【分析】本題考查尺規(guī)作圖—角平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)，命題與證明，根據(jù)命題可知求證：點在的平分線上．過點作，證明可得，即可得到結(jié)論．解：完成作圖如圖所示．求證：點在的平分線上．證明：過點作，如圖所示．是的角平分線，．，又，．，即點在的平分線上．【變式1】（23-24七年級下·河北保定·期末）如圖，在中，，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點M，N；②再分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點O；③作射線，交于點E．已知，，則的面積為（

）A．5 B．7 C．9 D．14【答案】B【分析】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到點E到和的距離相等，點E到的距離等于的長度，利用三角形面積公式即可得到答案．解：由基本作圖得到平分B，∴點E到和的距離相等，∴點到的距離等于的長度，即點到的距離為，∴．故選：B．【變式2】（23-24七年級下·廣東深圳·期末）如圖，在中，，利用尺規(guī)作圖，得到直線和射線．若，則°．【答案】40【分析】本題考查了作圖—基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理等知識，由作圖可知，為線段的垂直平分線，為的平分線，則，，從而得到，由三角形內(nèi)角和定理求出，即可得到答案．解：由作圖可知，為線段的垂直平分線，為的平分線，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案為：40．【題型4】線段垂直平分線的性質(zhì)定理【例4】（22-23八年級下·甘肅張掖·期末）如圖，在中，點E是邊上的一點，連接，垂直平分，垂足為F，交于點D．連接．

（1）若的周長為19，的周長為7，求的長．（2）若，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先證明，，結(jié)合的周長為19，的周長為7，可得，從而可得答案；（2）先求解，證明，再利用全等三角形的性質(zhì)可得答案．解：（1）解：∵是線段的垂直平分線，∴，，∵的周長為19，的周長為7，∴，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點撥】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的外角的性質(zhì)，掌握以上基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵．【變式1】（23-24七年級下·山東東營·期末）如圖，在中，，，，分別以A、B為圓心，兩弧分別交于E、F，直線交于點D，則的周長等于（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】本題考查作圖﹣基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．證明，推出的周長的周長，即可得結(jié)論．解：以為圓心，兩弧分別交于，直線交于點D，是的中垂線，，，的周長，故選：A．【變式2】（23-24七年級下·安徽宿州·期末）如圖，在中，，，分別以點A，C為圓心，以大于為半徑作弧，兩弧分別交于點M，N，過點M，N作直線交于點P，連接．若的周長比的周長大，則的周長為．【答案】8【分析】本題考查了尺規(guī)作圖-作垂直平分線，根據(jù)作圖可得，根據(jù)的周長比的周長大，求得，再根據(jù)周長公式計算即可得到答案．解：由作圖可知是線段的垂直平分線，，，的周長為，，的周長為，的周長比的周長大，，，的周長為，故答案為：8．【題型5】線段垂直平分線的判定定理【例5】（2024·湖南長沙·一模）如圖，中，，平分，于E．求證：（1)；（2）直線是線段的垂直平分線．【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的判定；（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，從而證明，即可證明；（2）根據(jù)垂直平分線的判定證明即可．解：（1）證明：∵，平分，，∴，∴，∴；（2）∵，∴點A在線段的垂直平分線上，∵，∴點D在線段的垂直平分線上，∴是線段的垂直平分線．【變式1】（23-24八年級上·河南南陽·期末）如圖，在中，以點A為圓心，的長為半徑作弧，與交于點E，分別以點E和點C為圓心、大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點P，作射線交于點D．若，，則的度數(shù)為(

)

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了用直尺和圓規(guī)作角平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．由作法可知，，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理，可得，，又因為，根據(jù)直角三角形兩銳角互余，可求得，即，再求出的度數(shù)，即得答案．解：以點A為圓心，的長為半徑作弧，，分別以點E和點C為圓心、大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點P，，且，，，，，，，，．故選D．【變式2】（22-23七年級下·陜西咸陽·期末）如圖，在中，，點D是內(nèi)部一點，，點E是邊上一點，若平分，，則的度數(shù)為．

【答案】【分析】如圖所示，取的中點F，連接，則可證明在的垂直平分線上，得到，證明得到，同理可得，設(shè)，則，由三角形外角的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出答案即可．解：如圖所示，取的中點F，連接，∵，∴在的垂直平分線上，∴三點共線，且，∴，又∵，∴，∴，同理可得，∵平分，∴，設(shè)，∴，∵，∴，∴．

故答案為：．【點撥】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題．【題型6】尺規(guī)作圖——作垂直平分線和垂線【例6】（23-24七年級下·遼寧阜新·期中）現(xiàn)有兩條高速公路、和C，D兩個城鎮(zhèn)（如圖），準(zhǔn)備建立一個燃?xì)庵行恼綧使中心站到兩條公路距離相等，并且到兩個城鎮(zhèn)距離相等，請你畫出中心站位置．【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)及垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結(jié)合對應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖．到兩條公路的距離相等，則要畫兩條公路的夾角的角平分線，到C，D兩點的距離相等又要畫線段的垂直平分線，兩線的交點就是點M的位置．解：如圖：（1）做出的角平分線；（2）連接，作的垂直平分線；（3）的垂直平分線和的交點，即為所求點M．【變式1】（23-24七年級下·山東濟(jì)南·期末）如圖，在中，，，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可知（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查三角形外角性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)．先用三角形內(nèi)角和求出，再用角平分線求出，由線段垂直平分線知，然后用外角性質(zhì)求出，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出．解：在中，，，，由作圖可知，平分，垂直平分，，，，，故選：C．【變式2】（23-24七年級下·遼寧朝陽·期末）如圖，的周長為，分別以A、B為圓心，以大于的長為半徑畫圓弧，兩弧交于點D、E，直線與邊交于點F，與邊交于點G，連接，的周長為，則的長為．

【答案】/厘米【分析】本題考查了作圖基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可求解．解：由畫圖可知：是的垂直平分線，，，的周長為，即，，的周長為，即，，故答案為：．【題型7】軸對稱的綜合變換【例7】（20-21七年級上·黑龍江大慶·期末）如圖，點P是外一點，點M、N分別是兩邊上的點，點P關(guān)于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關(guān)于OB的對稱點R落在線段MN的延長線上．若，，，則線段QR的長為多少．【答案】，理由見解析【分析】由題意根據(jù)對稱性可得，，進(jìn)而利用線段間的等量代換得出進(jìn)行計算即可．解：，理由如下：點P關(guān)于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關(guān)于OB的對稱點R落在MN的延長線上，，．，，，，，．．【點撥】本題考查對稱問題，熟練掌握利用線段間的等量代換進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．【變式1】（21-22七年級下·全國·單元測試）如圖，中，，，，點在上，且，點在的平分線上運動，則的長度最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用最短路徑直接將點對稱，然后連線求兩線段和的最小值即可．解：將關(guān)于對稱至點，連接，∴，∴，∴，∵，，，且，∴是中點，∴．∴故選：B【點撥】此題考查最短路徑，解題關(guān)鍵是將一個定點對稱，當(dāng)三點共線時線段之和最短．【變式2】（20-21七年級下·四川成都·期末）如圖，分別以線段AB的兩個端點為圓心，以大于AB長為半徑作弧，兩弧交于點M和點N，在直線MN上取一點C，連接CA，CB，點D是線段AC的延長線上一點，且CD＝AC，點P是直線MN上一動點，連接PD，PB，若BC＝4，則PD+PB的最小值為．【答案】6【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)判斷即可；解：由作法得MN垂直平分AB，∴CA＝CB＝4，PA＝PB，∵CD＝AC＝2，∴AD＝6，∵PA+PD≤AD（點A、P、D共線時取等號），∴PA+PD的最小值為6，∴PB+PD的最小值為6．故答案為6．【點撥】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)和軸對稱最短距離問題，準(zhǔn)確分析計算是解題的關(guān)鍵．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川眉山·中考真題）如圖，在中，，，分別以點，點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點，，過點，作直線交于點，連接，則的周長為（