蘇教版2024-2025學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)夯實(shí)提煉第一單元專(zhuān)練篇·08：等積變形問(wèn)題“進(jìn)階版”(原卷版+解析)

蘇教版2024-2025學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)夯實(shí)提煉第一單元專(zhuān)練篇·08：等積變形問(wèn)題“進(jìn)階版”1．趙師傅把一塊棱長(zhǎng)的正方體鐵塊鍛造成長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體鐵條，可以鍛造出幾根？2．把一個(gè)棱長(zhǎng)為12厘米的正方體鐵塊鍛造成一根長(zhǎng)9厘米、寬8厘米的長(zhǎng)方體鐵塊，這根長(zhǎng)方體鐵塊的高是多少厘米？3．把一個(gè)長(zhǎng)8厘米、寬4厘米、高2厘米的長(zhǎng)方體橡皮泥，捏成一個(gè)棱長(zhǎng)為4厘米的正方體，長(zhǎng)方體和正方體哪個(gè)體積大？4．把一個(gè)棱長(zhǎng)是6分米的正方體鋼錠鑄造成長(zhǎng)9分米，寬6分米的長(zhǎng)方體鋼錠，長(zhǎng)方體鋼錠的高是多少分米？如果每立方分米的鋼錠重7.8千克，鋼錠重多少千克？5．王官村鄉(xiāng)村振興改造公路，工人叔叔把3立方米的瀝青混凝土鋪在一條寬6米的公路上，鋪了5厘米厚，這些混凝土能鋪多少米長(zhǎng)的公路？6．一個(gè)棱長(zhǎng)為6分米的正方體容器，裝滿水后倒入另一個(gè)空的長(zhǎng)方體容器中，長(zhǎng)方體容器長(zhǎng)9分米，寬4分米，高0.8米，這時(shí)長(zhǎng)方體容器中水面高多少分米？（容器的厚度忽略不計(jì)）7．淘氣將一個(gè)正方體的裝水的容器豎放在桌面上（如圖），這時(shí)容器中的水深多少厘米？8．如圖（單位：厘米），一個(gè)密封的容器中有一部分水。如果把它的左面朝下放，那么水面的高是多少厘米？9．下圖為一個(gè)密封的容器（如圖所示），里面水深8厘米，如果將容器向右側(cè)翻轉(zhuǎn)90°，水深多少厘米？

10．如圖，一個(gè)密閉的長(zhǎng)方體容器內(nèi)裝有15厘米深的水。如果把該容器長(zhǎng)25厘米、寬10厘米的面作為底面放在桌面上，這時(shí)水面的高度是多少厘米？（玻璃的厚度忽略不計(jì)）（圖中單位：厘米）

11．有一個(gè)完全封閉的容器，里面的長(zhǎng)是20厘米，寬是16厘米，高是10厘米，平放時(shí)里面裝了8厘米的水。如果把這個(gè)容器豎起來(lái)放，水的高度是多少？

12．一個(gè)棱長(zhǎng)為30厘米的正方體水箱里盛有25厘米深的水，現(xiàn)把水箱中的水倒一部分到長(zhǎng)40厘米，寬40厘米，使得兩個(gè)水箱里的水的高度相同，正方體水箱倒出了多少升水？13．小丁有一塊長(zhǎng)方體橡皮泥，長(zhǎng)8厘米，橫截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為0.6厘米的正方形，如果要捏一個(gè)棱長(zhǎng)為1.2厘米的小正方體，需要把這個(gè)長(zhǎng)方體橡皮泥削去多少厘米？14．沐蘭湯：沐蘭湯也是端午習(xí)俗之一，是端午日洗的草藥水，蘭湯是用艾葉、菖蒲、佩蘭等草藥煮成湯，有治療皮膚病的功效。如果把一個(gè)長(zhǎng)方體水槽用一塊隔板分成A、B兩部分（如下圖所示）A的底面積為18平方分米，B的底面積為12平方分米，水槽高3分米，往A部分注滿蘭湯，將隔板抽出后，這時(shí)，水槽里的蘭湯有多高？15．如圖，現(xiàn)有空的長(zhǎng)方體容器A和水深24厘米的長(zhǎng)方體容器B（單位：厘米）。（1）如果將容器B中的水全部倒入容器A，容器A中的水深會(huì)是多少厘米？（2）如果將容器B中的水倒一部分給容器A，使兩容器中水的高度相同。這時(shí)水深是多少厘米？16．一個(gè)密封的長(zhǎng)方體容器，里面長(zhǎng)8分米，寬2分米，高4分米，已裝了一部分水，水深2.5分米。

（1）水與容器的接觸面積是多少平方分米？（2）如果以這個(gè)長(zhǎng)方體的右側(cè)面為底面把長(zhǎng)方體豎起來(lái)放在桌子上，這時(shí)水深是多少分米？17．一個(gè)密封的玻璃缸，從里面量長(zhǎng)12分米，寬是3分米，高是6分米，現(xiàn)在缸內(nèi)的水深5分米。（1）制作一個(gè)這樣的玻璃缸至少需要多少平方分米的玻璃？（2）這個(gè)玻璃魚(yú)缸內(nèi)裝了多少升水？（圖1）（3）如果將這個(gè)玻璃魚(yú)缸豎起來(lái)放（圖2），那么魚(yú)缸內(nèi)水深多少分米？蘇教版2024-2025學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)夯實(shí)提煉第一單元專(zhuān)練篇·08：等積變形問(wèn)題“進(jìn)階版”1．趙師傅把一塊棱長(zhǎng)的正方體鐵塊鍛造成長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體鐵條，可以鍛造出幾根？【答案】20根【分析】根據(jù)正方體體積公式：體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，代入數(shù)據(jù)，求出棱長(zhǎng)是20cm的正方體鐵塊的體積，再根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式：體積＝長(zhǎng)×寬×高，代入數(shù)據(jù)，求出長(zhǎng)方體鐵條的體積，再用正方體的體積除以長(zhǎng)方體的體積，即可解答?！驹斀狻浚?0×20×20）÷（8×5×10）＝（400×20）÷（40×10）＝8000÷400＝20（根）答：可以鍛造出20根?！军c(diǎn)睛】熟練掌握長(zhǎng)方體體積公式和正方體體積公式是解答本題的關(guān)鍵。2．把一個(gè)棱長(zhǎng)為12厘米的正方體鐵塊鍛造成一根長(zhǎng)9厘米、寬8厘米的長(zhǎng)方體鐵塊，這根長(zhǎng)方體鐵塊的高是多少厘米？【答案】24厘米【分析】根據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，據(jù)此求出鐵塊的體積，鐵塊的體積不變，再根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：V＝abh，據(jù)此求出長(zhǎng)方體的高即可?！驹斀狻?2×12×12÷（9×8）＝144×12÷72＝1728÷72＝24（厘米）答：這根長(zhǎng)方體鐵塊的高是24厘米。【點(diǎn)睛】本題考查正方體和長(zhǎng)方體的體積，熟記公式是解題的關(guān)鍵。3．把一個(gè)長(zhǎng)8厘米、寬4厘米、高2厘米的長(zhǎng)方體橡皮泥，捏成一個(gè)棱長(zhǎng)為4厘米的正方體，長(zhǎng)方體和正方體哪個(gè)體積大？【答案】長(zhǎng)方體和正方體的體積相等【分析】長(zhǎng)方體體積＝長(zhǎng)×寬×高，正方體體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，將數(shù)據(jù)代入公式，分別求出長(zhǎng)方體和正方體的體積，再比較大小。【詳解】長(zhǎng)方體體積：8×4×2＝64（立方厘米）正方體體積：4×4×4＝64（立方厘米）答：長(zhǎng)方體和正方體的體積相等。【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體和正方體的體積，解題關(guān)鍵是熟記公式。4．把一個(gè)棱長(zhǎng)是6分米的正方體鋼錠鑄造成長(zhǎng)9分米，寬6分米的長(zhǎng)方體鋼錠，長(zhǎng)方體鋼錠的高是多少分米？如果每立方分米的鋼錠重7.8千克，鋼錠重多少千克？【答案】4分米；1684.8千克【分析】根據(jù)題意，把一個(gè)正方體鋼錠鑄造成一個(gè)長(zhǎng)方體鋼錠，表面積變了，體積不變；先根據(jù)正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，求出這個(gè)鋼錠的體積；然后根據(jù)長(zhǎng)方體的高＝體積÷長(zhǎng)÷寬，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，即可求出長(zhǎng)方體鋼錠的高。最后用每立方分米鋼錠的重量乘鋼錠的體積，即可求出鋼錠的重量?！驹斀狻空襟w的體積（鋼錠的體積）：6×6×6＝36×6＝216（立方分米）長(zhǎng)方體的高：216÷9÷6＝24÷6＝4（分米）鋼錠重：7.8×216＝1684.8（千克）答：長(zhǎng)方體鋼錠的高是4分米，鋼錠重1684.8千克?！军c(diǎn)睛】本題考查正方體、長(zhǎng)方體體積公式的靈活運(yùn)用，抓住立體圖形等積變形中的“體積不變”是解題的關(guān)鍵。5．王官村鄉(xiāng)村振興改造公路，工人叔叔把3立方米的瀝青混凝土鋪在一條寬6米的公路上，鋪了5厘米厚，這些混凝土能鋪多少米長(zhǎng)的公路？【答案】10米【分析】瀝青混凝土的體積不變，先統(tǒng)一單位，再通過(guò)長(zhǎng)方體的體積公式：V＝abh，代入數(shù)據(jù)即可求出這些混凝土能鋪多少米長(zhǎng)的公路?！驹斀狻?厘米＝0.05米3÷6÷0.05＝10（米）答：這些混凝土能鋪10米長(zhǎng)的公路。【點(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用長(zhǎng)方體的體積公式求解。6．一個(gè)棱長(zhǎng)為6分米的正方體容器，裝滿水后倒入另一個(gè)空的長(zhǎng)方體容器中，長(zhǎng)方體容器長(zhǎng)9分米，寬4分米，高0.8米，這時(shí)長(zhǎng)方體容器中水面高多少分米？（容器的厚度忽略不計(jì)）【答案】6分米【分析】先利用正方體的體積公式：V＝a3，代入數(shù)據(jù)求出水的體積，倒入到長(zhǎng)方體容器中，體積不變，利用長(zhǎng)方體的體積公式：V＝abh，已知長(zhǎng)方體容器長(zhǎng)9分米，寬4分米以及水的體積，代入數(shù)據(jù)即可求出水面的高度?！驹斀狻?×6×6＝216（立方分米）216÷9÷4＝6（分米）答：這時(shí)長(zhǎng)方體容器中水面高6分米?！军c(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是抓住水的體積不變，靈活運(yùn)用長(zhǎng)方體和正方體的體積公式求解。7．淘氣將一個(gè)正方體的裝水的容器豎放在桌面上（如圖），這時(shí)容器中的水深多少厘米？【答案】10.2厘米【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式：體積＝長(zhǎng)×寬×高，代入數(shù)據(jù)，求出長(zhǎng)方體內(nèi)水的體積，由于水的體積不變，豎放后，把長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是5厘米，寬是9厘米，高＝體積÷（長(zhǎng)×寬），代入數(shù)據(jù)，即可解答。【詳解】17×9×3÷（5×9）＝153×3÷45＝459÷45＝10.2（厘米）答：這時(shí)容器中的水深10.2厘米?！军c(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是明確豎放后的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬，進(jìn)而利用長(zhǎng)方體的體積公式進(jìn)行解答。8．如圖（單位：厘米），一個(gè)密封的容器中有一部分水。如果把它的左面朝下放，那么水面的高是多少厘米？【答案】14厘米【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，用35×22×8即可求出水的體積，如果把容器的左面朝下放，水的體積還是不變，只是水的長(zhǎng)變?yōu)?2厘米，寬變?yōu)?0厘米，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式，用水的體積÷22÷20即可求出現(xiàn)在水面的高度?！驹斀狻?5×22×8＝6160（立方厘米）6160÷22÷20＝14（厘米）答：水面的高是14厘米?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了長(zhǎng)方體體積公式的靈活應(yīng)用，要注意水的體積不變。9．下圖為一個(gè)密封的容器（如圖所示），里面水深8厘米，如果將容器向右側(cè)翻轉(zhuǎn)90°，水深多少厘米？

【答案】12厘米【分析】已知長(zhǎng)方體容器的長(zhǎng)是30厘米，寬是15厘米，水深是8厘米，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式V＝abh，求出容器內(nèi)水的體積；如果將容器向右側(cè)翻轉(zhuǎn)90°，即把右面作為長(zhǎng)方體容器的底面，此時(shí)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是20厘米，寬是15厘米，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式S＝ab，求出容器的底面積；水的體積不變，根據(jù)長(zhǎng)方體的高h(yuǎn)＝V÷S，即可求出此時(shí)水的深度。【詳解】水的體積：30×15×8＝450×8＝3600（立方厘米）容器的右面作為底面時(shí)，水的深度：3600÷（20×15）＝3600÷300＝12（厘米）答：水深12厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體體積公式的靈活運(yùn)用，抓住水的體積不變是解題的關(guān)鍵。10．如圖，一個(gè)密閉的長(zhǎng)方體容器內(nèi)裝有15厘米深的水。如果把該容器長(zhǎng)25厘米、寬10厘米的面作為底面放在桌面上，這時(shí)水面的高度是多少厘米？（玻璃的厚度忽略不計(jì)）（圖中單位：厘米）

【答案】6厘米【分析】根據(jù)題意，水的體積沒(méi)有變，先根據(jù)：長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，計(jì)算出水的體積；把該容器長(zhǎng)25cm、寬10cm的面作為底面放在桌面上，水的高度＝水的體積÷底面積，據(jù)此解答。【詳解】10×10×15＝100×15＝1500（立方厘米）1500÷（25×10）＝1500÷250＝6（厘米）答：這時(shí)水面的高度是6厘米?！军c(diǎn)睛】此題考查了長(zhǎng)方體的體積計(jì)算，關(guān)鍵能夠掌握等體積變形的運(yùn)用。11．有一個(gè)完全封閉的容器，里面的長(zhǎng)是20厘米，寬是16厘米，高是10厘米，平放時(shí)里面裝了8厘米的水。如果把這個(gè)容器豎起來(lái)放，水的高度是多少？

【答案】16厘米【分析】容器豎起來(lái)放之前，容器的底面積是（20×16）平方厘米，水的高度8厘米，利用“長(zhǎng)方體的體積＝底面積×高”求出水的體積，容器豎起來(lái)放之后，容器內(nèi)水的體積不變，容器的底面積是（10×16）平方厘米，利用“高＝長(zhǎng)方體的體積÷底面積”求出此時(shí)水的高度，據(jù)此解答?！驹斀狻?0×16×8÷（10×16）＝20×16×8÷160＝320×8÷160＝2560÷160＝16（厘米）答：水的高度是16厘米?！军c(diǎn)睛】掌握長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式，理解容器豎起來(lái)前后容器內(nèi)水的體積不變是解答題目的關(guān)鍵。12．一個(gè)棱長(zhǎng)為30厘米的正方體水箱里盛有25厘米深的水，現(xiàn)把水箱中的水倒一部分到長(zhǎng)40厘米，寬40厘米，使得兩個(gè)水箱里的水的高度相同，正方體水箱倒出了多少升水？【答案】14.4升【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式：體積＝長(zhǎng)×寬×高，先求出長(zhǎng)是30厘米，寬是30厘米正方體水箱中有水的體積，由于兩個(gè)水箱中水的高度相同，用水的體積除以兩個(gè)水箱的底面積之和，求出水箱水的高度，再用水的高度×長(zhǎng)40厘米，寬40厘米正方體的底面積，求出倒出水的體積，再化成升，即可解答?！驹斀狻浚?0×30×25）÷（30×30＋40×40）＝（900×25）÷（900＋1600）＝22500÷2500＝9（厘米）40×40×9＝1600×9＝14400（立方厘米）14400立方厘米＝14.4升答：正方體水箱倒出了14.4升水。【點(diǎn)睛】本題主要考查長(zhǎng)方體體積的計(jì)算方法，關(guān)鍵是掌握長(zhǎng)方體、正方體的體積的計(jì)算公式。13．小丁有一塊長(zhǎng)方體橡皮泥，長(zhǎng)8厘米，橫截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為0.6厘米的正方形，如果要捏一個(gè)棱長(zhǎng)為1.2厘米的小正方體，需要把這個(gè)長(zhǎng)方體橡皮泥削去多少厘米？【答案】3.2厘米【分析】根據(jù)題意，要捏一個(gè)棱長(zhǎng)為1.2厘米的小正方體，根據(jù)正方體的體積公式V＝a3，即可求出小正方體的體積，也就是要捏成小正方體所需橡皮泥的體積；而這個(gè)正方體是原來(lái)長(zhǎng)方體橡皮泥截下一段后捏成的，所以正方體的體積等于截取一段長(zhǎng)度后的長(zhǎng)方體的體積；又已知長(zhǎng)方體橡皮泥的橫截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為0.6厘米的正方形，根據(jù)正方形的面積公式S＝a2求出橫截面的面積，再根據(jù)h＝V÷S求出長(zhǎng)方體橡皮泥的長(zhǎng)度，再用原來(lái)的長(zhǎng)度減去這個(gè)長(zhǎng)度，即是要削去的長(zhǎng)度?！驹斀狻啃≌襟w的體積：1.2×1.2×1.2＝1.44×1.2＝1.728（立方厘米）長(zhǎng)方體橡皮泥所需的長(zhǎng)度：1.728÷（0.6×0.6）＝1.728÷0.36＝4.8（厘米）應(yīng)削去：8－4.8＝3.2（厘米）答：需要把這個(gè)長(zhǎng)方體橡皮泥削去3.2厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查正方體、長(zhǎng)方體體積公式的靈活運(yùn)用，明確正方體的體積和截取一段長(zhǎng)度后長(zhǎng)方體的體積相等是解題的關(guān)鍵。14．沐蘭湯：沐蘭湯也是端午習(xí)俗之一，是端午日洗的草藥水，蘭湯是用艾葉、菖蒲、佩蘭等草藥煮成湯，有治療皮膚病的功效。如果把一個(gè)長(zhǎng)方體水槽用一塊隔板分成A、B兩部分（如下圖所示）A的底面積為18平方分米，B的底面積為12平方分米，水槽高3分米，往A部分注滿蘭湯，將隔板抽出后，這時(shí)，水槽里的蘭湯有多高？【答案】1.8分米【分析】用A部分底面積＋B部分底面積，求出長(zhǎng)方體水槽的底面積；根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式：體積＝底面積×高，代入數(shù)據(jù)，求出A部分的體積；也就是蘭湯的體積，由于體積不變，用蘭湯的體積÷長(zhǎng)方體水槽的面積，即可求出這時(shí)水槽了蘭湯的高度，據(jù)此解答。【詳解】18×3÷（18＋12）＝18×3÷30＝54÷30＝1.8（分米）答：這時(shí)水槽的高1.8分米。15．如圖，現(xiàn)有空的長(zhǎng)方體容器A和水深24厘米的長(zhǎng)方體容器B（單位：厘米）。（1）如果將容器B中的水全部倒入容器A，容器A中的水深會(huì)是多少厘米？（2）如果將容器B中的水倒一部分給容器A，使兩容器中水的高度相同。這時(shí)水深是多少厘米？【答案】（1）12厘米（2）8厘米【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：V＝Sh，那么h＝V÷S，用容器B中的水的體積除以容器A的底面積即可求出水深。（2）根據(jù)題意，可設(shè)兩個(gè)容器的水深同為x厘米，則容器A中水的體積是（40×30×x）立方厘米，B容器中水的體積是（30×20×x）立方厘米，根據(jù)兩個(gè)容器內(nèi)水的體積等于原來(lái)B容器中水的體積，可得方程：40×30×x＋30×20×x＝30×20×24，解此方程即可。【詳解】（1）30×20×24÷（40×30）＝600×24÷1200＝14400÷1200＝12（厘米）答：容器A中的水深會(huì)是12厘米。（2）解：設(shè)兩個(gè)容器的水深同為x厘米。40×30×x＋30×20×x＝30×20×241200x＋600x＝144001800x＝144001800x÷1800＝14400÷1800x＝8答：這時(shí)水深是8厘米?！军c(diǎn)睛】此題主要考查長(zhǎng)方體的體積（容積）公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。16．一個(gè)密封的長(zhǎng)方體容器，里面長(zhǎng)8分米，寬2分米，高4分米，已裝了一部分水，水深2.5分米。

（1）水與容器的接觸面積是多少平方分米？（2）如果以這個(gè)長(zhǎng)方體的右側(cè)面為底面把長(zhǎng)方體豎起來(lái)放在桌子上，這時(shí)水深是多少分米？【答案】（1）66平方分米（2）5分米【分析】（1）由題意，這個(gè)密封的長(zhǎng)方體容器，里面長(zhǎng)8分米，寬2分米，高4分米，裝的水深2.5分米；要求得水與容器的接觸面積是多少平方分米，就是求下底面、前后面、左右面的面積之和（其中，前后面、左右面的高為實(shí)際水深2.5分米）；列式為：8×2＋（8×2.5＋2×2.5）×2；（2）以右側(cè)面為底面，把這個(gè)長(zhǎng)方體豎起來(lái)放在桌子上，此時(shí)底面的長(zhǎng)為4分米、寬為2分米，要求得此時(shí)水深是多少分米，根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式，V長(zhǎng)方體＝長(zhǎng)×寬×高，可得高＝體積÷（長(zhǎng)×寬），列式為：8×2×2.5÷（4×2）?！驹斀狻浚?）8×2＋（8×2.5＋2×2.5）×2＝16＋（2