4-2-1三角恒等變換題型戰(zhàn)法-備戰(zhàn)2023年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型與戰(zhàn)法精準(zhǔn)訓(xùn)練新高考專(zhuān)用

第四章三角函數(shù)與解三角形4.2.1三角恒等變換（題型戰(zhàn)法）知識(shí)梳理一和與差公式兩角和與差的余弦：Cα+β：；Cα-β：.2.兩角和與差的正弦Sα+β：；Sα-β：.3.兩角和與差的正切Tα+β：；Tα-β：.二倍角與半角公式1.倍角公式：需要注意的是，因?yàn)椋砸部梢愿膶?xiě)為：2．半角公式：三降冪升角公式；；.四輔助角公式；.題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一和與差公式的應(yīng)用典例1．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用兩角差的余弦公式化簡(jiǎn)，然后再化弦為切即可得解.【詳解】解：由得，,所以,解得.故選：A.變式1-1．若，則=（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】先求出，再利用差角的正弦公式求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，所以?故選：D．變式1-2．（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦的和角公式即可求解.【詳解】故選:C變式1-3．若，是方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由根與系數(shù)關(guān)系得到兩根之和，兩根之積，代入正切的和角公式即可.【詳解】由韋達(dá)定理得：，，所以故選：A變式1-4．若，則（

）A． B．0 C． D．【答案】D【解析】【分析】由正切兩角差的公式直接求解.【詳解】.故選:D題型戰(zhàn)法二和與差公式的逆用典例2．（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用和角正弦公式即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)和角正弦公式，，故選：C.變式2-1．（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩角差的余弦公式可求出結(jié)果.【詳解】.故選：A變式2-2．=（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】逆用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，然后再計(jì)算．【詳解】．故選：B．變式2-3．（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式及和角正弦公式即可求值.【詳解】.故選：C變式2-4．化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A．x B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式計(jì)算可得；【詳解】解：故選：B題型戰(zhàn)法三巧變角典例3．已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先利用同角三角函數(shù)關(guān)系求得的值，再利用組配角即可求得的值.【詳解】因?yàn)椋裕?，所以，故．故選：A變式3-1．已知、為銳角，且，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】湊角法，利用正弦的差角公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)椤殇J角，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故故選：A變式3-2．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】求出，，由湊角法，利用正弦的差角公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?、為銳角，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，故故選：A.變式3-3．已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用兩角和與差的三角函數(shù)，由求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，又，所以，所以，，，故選：A變式3-4．若，，且，，則的值是（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，進(jìn)而根據(jù)兩角和的余弦公式展開(kāi)，然后結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得答案.【詳解】，又∵，∴.又∵，∴，于是，易得，則.故選：B.題型戰(zhàn)法四倍角公式的應(yīng)用典例4．已知，且是第二象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角公式化簡(jiǎn)求解.【詳解】由題意得，則．故選：B變式4-1．若，則（

）A． B． C．或 D．【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式以及弦化切可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】由已知，則，因?yàn)?，解?故選：B.變式4-2．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式得到，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，所以、，即，又，解得或（舍去）；故選：A變式4-3．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依題意可得利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以故選：B變式4-4．已知，且，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由可求sinθ，由可求tanθ，再由正切二倍角公式可求tan2θ.【詳解】∵，且，∴，∴，∴．故選：B．題型戰(zhàn)法五降冪升角公式的應(yīng)用典例5．（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】結(jié)合倍角公式以及特殊角的三角函數(shù)值即可求出結(jié)果.【詳解】，故選：A.變式5-1．=A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用降次公式求得所求表達(dá)式的值.【詳解】依題意.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查降次公式，屬于基礎(chǔ)題.變式5-2．函數(shù)的最小正周期為A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】利用二倍角降冪公式，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，用最小正周期公式求出最小正周期.【詳解】，最小正周期，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角的降冪公式、最小正周期公式，考查了運(yùn)算能力，逆用公式的能力.變式5-3．若，則A． B． C． D．0【答案】C【解析】【分析】直接利用降冪公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值.【詳解】.故答案為C.【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查降冪公式和誘導(dǎo)公式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2)降冪公式：，這兩個(gè)公式要記準(zhǔn)，不要記錯(cuò)了.變式5-4．已知，則=（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用半角公式和誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解.【詳解】∵，∴．故選：B．題型戰(zhàn)法六輔助角公式的應(yīng)用典例6．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】C【解析】【分析】化簡(jiǎn)，再根據(jù)三角函數(shù)圖象平移的方法求解即可【詳解】，因?yàn)橄蜃笃揭苽€(gè)單位長(zhǎng)度得到故選：C變式6-1．已知，則等于（）A．－ B．± C．－1 D．1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩角差的余弦公式以及輔助角公式即可求解.【詳解】，故選：D變式6-2．函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（

）A．和2 B．和 C．和 D．和2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式，可得，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋院瘮?shù)的最小正周期為；又，所以所以函數(shù)的最大值為.故選：C.變式6-3．函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用輔助角公式可得，應(yīng)用余弦函數(shù)的性質(zhì)求減區(qū)間，結(jié)合題設(shè)確定正確選項(xiàng)即可.【詳解】由題設(shè)，，令，可得，，∴在上的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：C.變式6-4．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再由整體法代入計(jì)算函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，從而得，進(jìn)而可求解.【詳解】因?yàn)椋种本€是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，所以，．又，所以，所以故選：B．題型戰(zhàn)法七化簡(jiǎn)求值典例7．化簡(jiǎn)：（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由倍角公式結(jié)合誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】故選：A變式7-1．化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先利用誘導(dǎo)公式將角變小，再利用倍角公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】故選：D.變式7-2．化簡(jiǎn)

的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用給定角的范圍確定出與的正負(fù)，再利用二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)變形即得.【詳解】因，則，且，即有，所以.故選：A變式7-3．化簡(jiǎn)（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式，代入題干中的分式，并在分子分母中提取公式，進(jìn)行化簡(jiǎn)可得出結(jié)果．【詳解】.故選B．變式7-4．化簡(jiǎn)所得的結(jié)果是（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】【分析】先切化弦并整理得，再結(jié)合展開(kāi)整理即可得答案.【詳解】解：.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查利用三角恒等變換求函數(shù)值，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于先根據(jù)切化弦的方法整理得，再根據(jù)化簡(jiǎn)整理即可求解.題型戰(zhàn)法八三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用典例8．設(shè)函數(shù)(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)在上的最大值與最小值及相應(yīng)的x的值.【答案】(1)最小正周期，單調(diào)遞增區(qū)間為，；(2)時(shí)函數(shù)取得最小值，時(shí)函數(shù)取得最大值；【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）由的取值范圍，求出的取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；(1)解：因?yàn)?，即，所以函?shù)的最小正周期，令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；(2)解：因?yàn)椋?，所以?dāng)，即時(shí)函數(shù)取得最小值，即，當(dāng)，即時(shí)函數(shù)取得最大值，即；變式8-1．已知函數(shù).(1)求求函數(shù)的最小正周期及對(duì)稱(chēng)中心.(2)求函數(shù)在值域.【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】（1）由三角恒等變換可得正弦型三角函數(shù)，據(jù)此求周期、對(duì)稱(chēng)中心即可；（2）利用整體代換法求正弦函數(shù)的值域即可.(1)所以函數(shù)的最小正周期為，令，解得∴的對(duì)稱(chēng)中心是(2)令由，則，則，所以的值域是.變式8-2．設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期和最大值，并指出取得最大值時(shí)的值；(2)將函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，寫(xiě)出表達(dá)式和單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1)最小正周期為，最大值為，(2)，單調(diào)增區(qū)間為【解析】【分析】(1)將函數(shù)化為的形式，再求函數(shù)的最小正周期和最大值，及此時(shí)取得最大值時(shí)的值即可；(2)根據(jù)圖象變換求出的解析式，再求其單調(diào)遞增區(qū)間即可.(1)所以周期；當(dāng)，即時(shí)，.(2)由題意知，，由，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.變式8-3．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；(2)若關(guān)于x的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）首先利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再根據(jù)的取值范圍，求出的取值范圍，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）依題意可得，再由（1）及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；(1)解：因?yàn)椋础?，∴，∴，∴，故的取值范圍為?2)解：∵，∴．由（1）知，∵有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，由正弦函