安徽省長豐縣高中數(shù)學 第二章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.2 反證法教案 新人教A版選修1-2

安徽省長豐縣高中數(shù)學第二章推理與證明2.2直接證明與間接證明2.2.2反證法教案新人教A版選修1-2學校授課教師課時授課班級授課地點教具課程基本信息1.課程名稱：高中數(shù)學選修1-2第二章推理與證明2.2直接證明與間接證明

2.教學年級和班級：安徽省長豐縣高中一年級（1）班

3.授課時間：2022年10月10日星期二第1課時（45分鐘）

4.教學時數(shù)：1課時（45分鐘）核心素養(yǎng)目標本節(jié)課旨在培養(yǎng)學生的數(shù)學邏輯推理能力和數(shù)學思維能力，使學生理解并掌握反證法的基本概念和運用方法，提升學生的問題解決能力和創(chuàng)新意識。通過本節(jié)課的學習，學生將能夠：

1.理解反證法的定義和基本步驟，能夠運用反證法進行有效的證明。

2.培養(yǎng)學生的批判性思維，使學生能夠?qū)ψC明過程進行合理的評價和反思。

3.培養(yǎng)學生的合作意識，使學生能夠在小組討論中積極交流，共同解決問題。

4.提升學生的數(shù)學語言表達能力，使學生能夠清晰、準確地表述解題思路和證明過程。重點難點及解決辦法重點：

1.反證法的定義和基本步驟。

2.運用反證法進行證明的方法和技巧。

難點：

1.反證法的理解和運用，特別是對反證法的步驟和邏輯關(guān)系的把握。

2.如何正確選擇反證法的適用場景和條件。

解決辦法：

1.通過具體的例題和練習，讓學生反復(fù)練習反證法的步驟和運用，加深對其的理解。

2.通過小組討論和互助學習，讓學生在實踐中交流和分享反證法的運用經(jīng)驗和技巧。

3.教師在教學中注重引導(dǎo)和啟發(fā)，幫助學生建立反證法的邏輯框架，引導(dǎo)學生正確選擇反證法的適用場景和條件。

4.提供充足的練習和反饋，讓學生在實踐中不斷鞏固和提高反證法的運用能力。教學方法與手段教學方法：

1.引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法：教師通過提出問題，引導(dǎo)學生思考和探索，激發(fā)學生的學習興趣和主動性。例如，在講解反證法時，教師可以提出“為什么我們需要反證法？”等問題，讓學生思考并發(fā)現(xiàn)反證法的重要性。

2.合作學習法：學生分組進行討論和合作，共同解決問題。教師可以設(shè)計一些小組討論題目，如“請小組討論反證法的步驟和運用方法”，讓學生在討論中互相交流和學習。

3.實踐操作法：教師設(shè)計一些實際操作題目，讓學生動手實踐，加深對反證法的理解和運用。例如，可以讓學生嘗試證明一些常見的數(shù)學定理，運用反證法進行證明。

教學手段：

1.多媒體教學：利用多媒體設(shè)備，如PPT、視頻等，進行教學。教師可以制作一些反證法的教學PPT，通過圖片、動畫等形式展示反證法的步驟和例題，使學生更直觀地理解和掌握反證法。

2.在線教學平臺：利用在線教學平臺，如學習通、黑板等，進行教學。教師可以在平臺上發(fā)布一些反證法的練習題和討論題目，讓學生在線進行練習和討論。

3.教學軟件：利用教學軟件，如幾何畫板、數(shù)學軟件等，進行教學。教師可以利用這些軟件展示一些幾何圖形和數(shù)學證明過程，讓學生更直觀地理解和掌握反證法。教學實施過程1.課前自主探索

教師活動：

-發(fā)布預(yù)習任務(wù)：通過在線平臺或班級微信群，發(fā)布預(yù)習資料（如PPT、視頻、文檔等），明確預(yù)習目標和要求。

-設(shè)計預(yù)習問題：圍繞反證法課題，設(shè)計一系列具有啟發(fā)性和探究性的問題，引導(dǎo)學生自主思考。

-監(jiān)控預(yù)習進度：利用平臺功能或?qū)W生反饋，監(jiān)控學生的預(yù)習進度，確保預(yù)習效果。

學生活動：

-自主閱讀預(yù)習資料：按照預(yù)習要求，自主閱讀預(yù)習資料，理解反證法知識點。

-思考預(yù)習問題：針對預(yù)習問題，進行獨立思考，記錄自己的理解和疑問。

-提交預(yù)習成果：將預(yù)習成果（如筆記、思維導(dǎo)圖、問題等）提交至平臺或老師處。

教學方法/手段/資源：

-自主學習法：引導(dǎo)學生自主思考，培養(yǎng)自主學習能力。

-信息技術(shù)手段：利用在線平臺、微信群等，實現(xiàn)預(yù)習資源的共享和監(jiān)控。

作用與目的：

-幫助學生提前了解反證法課題，為課堂學習做好準備。

-培養(yǎng)學生的自主學習能力和獨立思考能力。

2.課中強化技能

教師活動：

-導(dǎo)入新課：通過故事、案例或視頻等方式，引出反證法課題，激發(fā)學生的學習興趣。

-講解知識點：詳細講解反證法的定義、步驟和運用方法，結(jié)合實例幫助學生理解。

-組織課堂活動：設(shè)計小組討論、實際練習等活動，讓學生在實踐中掌握反證法技能。

-解答疑問：針對學生在學習中產(chǎn)生的疑問，進行及時解答和指導(dǎo)。

學生活動：

-聽講并思考：認真聽講，積極思考老師提出的問題。

-參與課堂活動：積極參與小組討論、實際練習等活動，體驗反證法的應(yīng)用。

-提問與討論：針對不懂的問題或新的想法，勇敢提問并參與討論。

教學方法/手段/資源：

-講授法：通過詳細講解，幫助學生理解反證法的知識點。

-實踐活動法：設(shè)計實踐活動，讓學生在實踐中掌握反證法技能。

-合作學習法：通過小組討論等活動，培養(yǎng)學生的團隊合作意識和溝通能力。

作用與目的：

-幫助學生深入理解反證法知識點，掌握反證法技能。

-通過實踐活動，培養(yǎng)學生的動手能力和解決問題的能力。

-通過合作學習，培養(yǎng)學生的團隊合作意識和溝通能力。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動：

-布置作業(yè)：根據(jù)反證法課題，布置適量的課后作業(yè)，鞏固學習效果。

-提供拓展資源：提供與反證法課題相關(guān)的拓展資源（如書籍、網(wǎng)站、視頻等），供學生進一步學習。

-反饋作業(yè)情況：及時批改作業(yè)，給予學生反饋和指導(dǎo)。

學生活動：

-完成作業(yè)：認真完成老師布置的課后作業(yè)，鞏固學習效果。

-拓展學習：利用老師提供的拓展資源，進行進一步的學習和思考。

-反思總結(jié)：對自己的學習過程和成果進行反思和總結(jié)，提出改進建議。

教學方法/手段/資源：

-自主學習法：引導(dǎo)學生自主完成作業(yè)和拓展學習。

-反思總結(jié)法：引導(dǎo)學生對自己的學習過程和成果進行反思和總結(jié)。

作用與目的：

-鞏固學生在課堂上學到的反證法知識點和技能。

-通過拓展學習，拓寬學生的知識視野和思維方式。

-通過反思總結(jié)，幫助學生發(fā)現(xiàn)自己的不足并提出改進建議，促進自我提升。拓展與延伸1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料：

-《數(shù)學歸納法與反證法》：介紹數(shù)學歸納法和反證法的原理及其應(yīng)用，深入剖析兩種證明方法的優(yōu)缺點。

-《反證法在幾何證明中的應(yīng)用》：舉例說明反證法在幾何證明中的重要作用，提高學生對反證法的認識。

-《反證法與邏輯推理》：探討反證法在邏輯推理中的應(yīng)用，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力。

2.鼓勵學生進行課后自主學習和探究：

-探究反證法在其他學科領(lǐng)域的應(yīng)用：引導(dǎo)學生了解反證法在物理學、化學等學科中的應(yīng)用，拓寬知識面。

-設(shè)計反證法的小游戲：通過編寫反證法相關(guān)的小游戲，讓學生在游戲中鞏固所學知識，提高運用能力。

-舉辦反證法知識競賽：組織班級或?qū)W校范圍內(nèi)的反證法知識競賽，激發(fā)學生的學習興趣和競爭意識。

-探究數(shù)學史上的反證法經(jīng)典案例：介紹數(shù)學史上一些著名的反證法案例，如歐幾里得的反證法等，讓學生了解反證法的發(fā)展歷程。

教學方法與手段：

-自主學習法：引導(dǎo)學生自主閱讀拓展材料，培養(yǎng)獨立思考和解決問題的能力。

-合作學習法：組織學生進行小組討論，共同探討反證法的應(yīng)用和拓展，培養(yǎng)團隊合作意識。

-實踐活動法：鼓勵學生進行課后實踐，如編寫小游戲、參加知識競賽等，提高學生的動手能力和問題解決能力。

作用與目的：

-通過對拓展閱讀材料的學習，鞏固和拓展學生在本節(jié)課上學到的反證法知識。

-培養(yǎng)學生課后自主學習和探究的習慣，提高學生的學習興趣和主動性。

-通過實踐活動，培養(yǎng)學生的動手能力和問題解決能力，提高學生的綜合素質(zhì)。

-幫助學生了解反證法在各個領(lǐng)域的應(yīng)用，拓寬知識面，提高學生的綜合素質(zhì)。課后作業(yè)1.題目：證明如果一個整數(shù)n大于2，那么n一定可以表示成兩個整數(shù)的和，其中至少有一個是偶數(shù)。

答案：假設(shè)n不能表示成兩個整數(shù)的和，其中至少有一個是偶數(shù)。那么n只能表示成兩個奇數(shù)的和。設(shè)這兩個奇數(shù)分別為2k+1和2m+1（k、m為整數(shù)），則n=（2k+1）+（2m+1）=2（k+m+1）。因為k、m、k+m+1都是整數(shù)，所以n可以表示成2的倍數(shù)，即n是偶數(shù)，與假設(shè)矛盾。因此，原命題成立。

2.題目：已知平行四邊形ABCD的對角線交于點E，證明：對角線AC和BD互相平分。

答案：連接BD，使其與AC相交于點F。因為ABCD是平行四邊形，所以AD//BC，EF//AC。又因為EF是AC的垂線，所以EF平分AC。同理，可以證明EF平分BD。因此，對角線AC和BD互相平分。

3.題目：已知三角形ABC中，∠ABC是直角，AB=AC，證明：三角形ABC是等腰直角三角形。

答案：因為AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形。又因為∠ABC是直角，所以三角形ABC是直角三角形。因此，三角形ABC是等腰直角三角形。

4.題目：已知正方形ABCD的邊長為a，證明：對角線AC和BD的長度相等，且都是a√2。

答案：連接BD，使其與AC相交于點E。因為ABCD是正方形，所以∠ABC=90°。又因為AC是BD的垂線，所以∠DAC=∠BCE=90°。因此，三角形DAC和三角形BCE是全等的直角三角形。所以，DA=BC=a，AC=BE=a√2。因此，對角線AC和BD的長度相等，且都是a√2。

5.題目：已知三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，證明：a2+b2=c2。

答案：假設(shè)a2+b2≠c2。那么三角形ABC不是直角三角形。設(shè)∠C為銳角，則cosC>0。由余弦定理可得：c2=a2+b2-2abcosC。因為a2+b2≠c2，所以-2abcosC≠0，即cosC≠0。然而，當∠C為銳角時，cosC<0，與假設(shè)矛盾。因此，原命題成立，即a2+b2=c2。反思改進措施（一）教學特色創(chuàng)新

1.引入現(xiàn)代教育技術(shù)：在教學過程中，充分利用多媒體教學手段，如PPT、視頻等，直觀展示反證法的應(yīng)用場景，幫助學生更好地理解和掌握反證法的原理和應(yīng)用。

2.設(shè)計實踐性作業(yè)：布置一些實踐性較強的作業(yè)，如編寫反證法的小游戲、設(shè)計反證法的應(yīng)用案例等，讓學生在實踐中鞏固所學知識，提高解決實際問題的能力。

3.組織小組合作學習：鼓勵學生進行小組合作學習，共同探討反證法的應(yīng)用和拓展，培養(yǎng)學生的團隊合作意識和溝通能力。

（二）存在主要問題

1.課堂互動不足：在教學過程中，發(fā)現(xiàn)課堂互動不足，學生參與度不高。這可能與教學方法有關(guān)，如講授法過于單一，未能充分激發(fā)學生的主動性和參與熱情。

2.作業(yè)反饋不及時：在批改作業(yè)時，發(fā)現(xiàn)部分學生的反證法應(yīng)用存在問題，但由于作業(yè)反饋不及時，未能及時發(fā)現(xiàn)和糾正學生的錯誤。

3.拓展資源利用不充分：雖然提供了拓展資源，但部分學生未能充分利用這些資源進行自主學習和探究，影響了學