7.2.2定理與證明課件北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

7.2.2定理與證明1.知道什么是公理，什么是定理，理解證明的概念.

2.了解真命題的證明、公理化思想，以及證明的出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)具體事例感受證明的基本步驟和書(shū)寫(xiě)格式.3.經(jīng)歷實(shí)際情境，初步體會(huì)公理化思想和方法，了解本教材所采用的公理．重點(diǎn)難點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)幾位小朋友在交流“如何證實(shí)一個(gè)命題是真命題”時(shí)產(chǎn)生了困惑，我們一起來(lái)看看吧~新課引入其實(shí)，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，數(shù)學(xué)家們也遇到過(guò)類(lèi)似的問(wèn)題.公元前3世紀(jì)，人們已經(jīng)積累了大量知識(shí)，在此基礎(chǔ)上，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得(公元前300前后)編寫(xiě)了一本書(shū)，書(shū)名叫《原本》.歐幾里得新知學(xué)習(xí)為了說(shuō)明每一結(jié)論的正確性，他在編寫(xiě)這本書(shū)時(shí)進(jìn)行了大膽創(chuàng)新，挑選了一部分?jǐn)?shù)學(xué)名詞和一部分公認(rèn)的真命題作為證實(shí)其他命題的起始依據(jù)，其中的數(shù)學(xué)名詞稱(chēng)為原名，公認(rèn)的真命題稱(chēng)為公理，除了公理外，其他命題的真假都需要通過(guò)演繹推理的方法進(jìn)行判斷.演繹推理的過(guò)程稱(chēng)為證明，經(jīng)過(guò)證明的真命題稱(chēng)為定理，每個(gè)定理都只能用公理、定義和已經(jīng)證明為真的命題來(lái)證明.而證明所需要的定義、公理和其他定理都編寫(xiě)在要證明的這個(gè)定理的前面.《原本》問(wèn)世之前，世界上還沒(méi)有一本數(shù)學(xué)書(shū)籍像《原本》這樣編排，因此，《原本》是一部具有劃時(shí)代意義的著作.幾何原本歸納公認(rèn)的真命題稱(chēng)為公理.除了公理外，其他命題的真假都需要通過(guò)演繹推理的方法進(jìn)行判斷.演繹推理的過(guò)程稱(chēng)為證明，經(jīng)過(guò)證明的真命題稱(chēng)為定理.每個(gè)定理都只能用公理、定義和已經(jīng)證明為真的命題來(lái)證明.在初中階段，我們需要學(xué)總共9條公理，目前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了其中的8條，下面是我們已學(xué)過(guò)的公理匯總.1.兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn).2.兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短.3.同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直.4.兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果同位角相等，那么這兩條直線(xiàn)平行．5.過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與這條直線(xiàn)平行.6.兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．7.兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．8.三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．此外，數(shù)與式的運(yùn)算律和運(yùn)算法則、等式的有關(guān)性質(zhì)，以及反映大小關(guān)系的有關(guān)性質(zhì)都可以作為證明的依據(jù).例如，如果a=b，b=c，那么a=c，這一性質(zhì)也可以作為證明的依據(jù)，稱(chēng)為“等量代換”.又如，如果a>b，b>c，那么a>c，這一性質(zhì)同樣可以作為證明的依據(jù).思考公理與定理的區(qū)別是什么？定理是經(jīng)過(guò)受邏輯限制的證明為真的陳述.公理是指依據(jù)人類(lèi)理性的不證自明的基本事實(shí)，經(jīng)過(guò)人類(lèi)長(zhǎng)期反復(fù)實(shí)踐的考驗(yàn)，不需要再加證明的基本命題.總結(jié)：公理是不需要認(rèn)證的，是大家公認(rèn)的，可以直接拿來(lái)用的.定理是需要證明它是對(duì)的，才可以拿來(lái)用的.你能分別舉例說(shuō)出公理和定理嗎？從以上這些基本的事實(shí)出發(fā)，就可以證明已經(jīng)探索過(guò)的結(jié)論了.例如：以下三個(gè)定理就是可證明的.1.同角(等角)的補(bǔ)角相等.2.同角(等角)

的余角相等.3.三角形的任意兩邊之和大于第三邊.例1 已知：如圖，直線(xiàn)AB

與直線(xiàn)CD

相交于點(diǎn)O，∠AOC

與∠BOD

是對(duì)頂角.求證：∠AOC=∠BOD.證明：∵直線(xiàn)AB

與直線(xiàn)CD

相交于點(diǎn)O(已知)∴∠AOB

和∠COD

都是平角(平角的定義).∴∠AOC

與∠BOD

都是∠AOD

的補(bǔ)角(補(bǔ)角的定義).∴∠AOC=∠BOD

(同角的補(bǔ)角相等).ADCBO由上面的例題，我們可以得到定理：對(duì)頂角相等.例2 已知：b∥c，a⊥b

．求證：a⊥c．a(chǎn)bc12證明：∵a⊥b(已知)∴∠1=90°(垂直的定義)又b∥c(已知)∴∠2=∠1=90°(兩直線(xiàn)平行，同位角相等)∴a⊥c(垂直的定義).證實(shí)其他命題的正確性推理的過(guò)程叫證明經(jīng)過(guò)證明的真命題叫定理原名、公理?xiàng)l件推理公理、定理和證明的關(guān)系

課堂小結(jié)1.“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”這個(gè)語(yǔ)句是()A.定理B.公理C.定義D.只是命題B

隨堂練習(xí)2.“同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線(xiàn)叫做平行線(xiàn)”這個(gè)語(yǔ)句是()A.定理B.公理C.定義D.只是命題C3.下列命題中，屬于定義的是()A.兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)；B.同角的余角相等；C.互補(bǔ)的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角；D.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是該點(diǎn)到這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度.D4.下列句子中，是定理的是()，是公理的是().A.若a=b，b=c，則a=c；B.對(duì)頂角相等C.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等B,CA5.請(qǐng)你完成定理“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”的證明.已知：如圖，△ABC.求證：AB+BC>AC，BC+CA>AB，CA+AB>BC.證明：∵AC

是以點(diǎn)A、點(diǎn)C

為端點(diǎn)的線(xiàn)段，∴AB+BC>AC(兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短).同理BC+AC>AB，CA+AB>BC.ABC6.

下面關(guān)于公理和定理的說(shuō)法正確的是(

C

)A.

公理是真命題，但定理不是B.

公理就是定理，定理也是公理C.

公理和定理都可以作為推理論證的依據(jù)D.

公理和定理都應(yīng)經(jīng)過(guò)證明后才能使用C7.

下列命題中，屬于定理的是(

D

)A.

有理數(shù)一定是整數(shù)B.

同位角相等，兩直線(xiàn)平行C.

一個(gè)角的余角不等于它本身D.

等角的補(bǔ)角相等D8.一村莊積極響應(yīng)國(guó)家“燃?xì)庠O(shè)備村村通”的政策號(hào)召，修建天然氣管道，在規(guī)劃天然氣管道路線(xiàn)時(shí)，盡量讓?xiě)襞c戶(hù)之間的管道走直線(xiàn)，節(jié)省修建費(fèi)用，這樣做所依據(jù)的基本事實(shí)是

?.兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短9.

在證明過(guò)程中，不能用來(lái)作為推理依據(jù)的是(

D

)A.

公理B.

定理C.

定義D.

命題D10.

小明在證明“同角的余角相等”時(shí)，給出了如下推理過(guò)程：已知：如圖，AO⊥BO，CO⊥DO.

求證：∠AOC＝∠BOD.

證明：∵AO⊥BO(已知)，∴

#

＋∠COB＝90°(垂直的定義)，∴∠AOC＝90°－∠COB(

&

)，同理，∠BOD＝

*

，∴∠AOC＝∠BOD(

☆

).第10題圖則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

D

)A.

#代表∠AOCC.

*代表90°－∠COBD第10題圖B.

&代表等式的性質(zhì)D.

☆代表余角的定義11.根據(jù)題意，把下列推理所依據(jù)的命題寫(xiě)出來(lái)，并指出其是公理還是定理.(1)在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，∠A＝∠A'，∠C＝∠C'，則

△ABC≌△A'B'C'；解：依據(jù)：兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等，

是定理；(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c；解：依據(jù)：等量代換，是公理；(3)三角形的任意兩邊之和大于第三邊.解